基礎代數/比例與比例推理/比例

詞彙

比率：兩個數字的比較。

倒數：一個數字的乘法逆元 - 當分數的分子和分母顛倒時。

等價比率：化簡為相同比率的兩個比率。

比例：表示兩個比率相等的方程。

交叉相乘：見下文。

課程

有幾種方法可以表達“比率”。讓我們比較特定教室裡男生和女生的數量。假設我們的教室有 25 名學生，其中 10 名是男生。這意味著有 15 名女生。因此，男生與女生的比率為 10 比 15。

寫比率

有三種表達比率的方法。你可以像上面一樣簡單地使用文字，或者你可以使用冒號或分數（數學家選擇）來分隔這兩個數字。

10:15 或 10/15 或 ${\frac {10}{15}}$

在數學中，我們總是使用分數來表示比率。在這個教室的例子中，可以做出許多其他比率

${\frac {10}{25}}$，總學生人數中的男生人數

${\frac {15}{25}}$，總學生人數中的女生人數

${\frac {15}{10}}$，女生人數與男生人數的比率

簡化比率

由於我們使用分數來表示比率，因此比率有時可以被簡化。例如，我們假設的教室裡男生與女生的比率為 ${\frac {10}{15}}$，但可以簡化為 ${\frac {2}{3}}$。因此，如果我們說我們假設的教室裡男生與女生的比率為 2:3，或者每 3 名女生就有 2 名男生，那麼我們就是正確的。

比例

以下方程是一個比例

${\frac {10}{15}}={\frac {2}{3}}$

任何比例都只是一個方程，它說明兩個比率彼此相等。有時，比例可能包含變數

${\frac {2}{3}}={\frac {x}{30}}$

如果我們想解這樣的方程，我們可以使用一種叫做交叉相乘的方法。

使用交叉相乘解比例

如果 ${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$，則在等號兩側對角線形成的乘積也相等： $ad=bc$。請注意，這等同於說 $bc=ad$。

示例問題

1) 比例 ${\frac {4}{6}}$ 等於比例 ${\frac {12}{16}}$ 嗎？

我們可以透過交叉相乘來測試。如果交叉乘積相等，那麼原始兩個比率也相等。

$4\cdot 16$ ?= $6\cdot 12$

$64$ ?= $72$

不，$64\not =72$，所以 ${\frac {4}{6}}\not ={\frac {12}{16}}$.

---

2) 解以下比例，求 x 的值。

${\frac {3}{4}}={\frac {x}{10}}$

交叉相乘。

$3\cdot 10=4x$

$30=4x$

透過將等式兩邊除以 4 來求解 x。結果：$x={\frac {30}{4}}=7.5$.

---

3) 求解 x

${\frac {x+1}{4}}={\frac {3}{8}}$

交叉相乘

$8\cdot (x+1)=3\cdot 4$

$8x+8=12$

現在，求解 x

從等式兩邊減去 8：$8x=4$

將等式兩邊除以 8：$x={\frac {1}{2}}$

---

4) 一個九年級代數教室的男生與女生的比例為 \frac{1} {2}。如果有 14 個女生，教室裡有幾個男生？

我們可以建立一個比例來比較男生與女生的比率，其中 x 代表教室裡的男生人數

${\frac {1}{2}}={\frac {x}{14}}$

透過交叉相乘解比例。

$2x=14$

$x=7$

班上有 7 個男孩。

練習遊戲

關於比率的線上遊戲/資源：關於比率的一切

關於比率和比例的遊戲/資源列表：eThemes 的比率和比例

練習題

使用 / 作為分數線，並在整體和分數之間加空格！

簡化每個比率。

1

${\frac {2}{10}}=$

2

${\frac {12}{48}}=$

3

${\frac {3x}{9x}}=$

解每個比例。

4 ${\frac {x}{4}}={\frac {8}{12}}$

x=

5 ${\frac {10}{17}}={\frac {14}{x}}$

x=

6 ${\frac {2}{x-2}}={\frac {3}{7}}$

x=

建立一個比例來回答以下問題。

7 如果某個教室的男生與女生之比為 2:3，有 12 個男生，那麼班上有多少個女生？

8

披薩麵糰的食譜要求 10 杯麵粉和 2 杯水。如果蘇珊想只用 3 杯麵粉，她需要用多少杯水？