基礎代數/解方程/含多個變數的方程

有時，一個方程中會有多個需要求解的變數。數學家使用了一些系統來求解這些未知量，下面將討論這些系統。

詞彙

變數: 一個代表數字的字母（A-Z）。

表示式: 一個由數字和變數組成的集合，透過加、乘、減或除運算連線在一起（例如： $2,7x,8x-7,{\sqrt {x}}+4$ )

方程: 一個表示式等於另一個表示式

係數: 乘以變數的數字（在 $3x$ 中是 3）

課程

有三種簡單的方法可以解含兩個變數的方程。

方程中變數的個數對應著求解這些變數所需的方程個數。

繪圖

求解變數最簡單的方法是將兩個方程都畫出來，找到它們相交的點。這種方法並不十分精確，除非我們用尺子測量，因為我們無法確定交點的位置，除非我們進行測量。

代入法

在這些方法中，第一步是將一個變數隔離在方程的一邊。完成此步驟後，可以將等號另一側的表示式代入我們第一步中求解的變數。現在，這個第二個方程只有一個變數。我們簡化方程，求解剩餘的變數。然後我們將這個值代回原始方程之一，並求解第一個變數。

消元法

要使用消元法，我們需要透過乘除方程兩邊以所需的數字，使一個變數的係數互為相反數。完成此操作後，我們將方程排列起來，使每個變數在另一個方程中位於相同變數之上。此後，我們將每個變數的係數加在一起，得到一個新的方程，其中只有一個變數（因為一組變數的係數將抵消）。然後按照代入法中列出的步驟來求解剩餘的變數。（參見示例 3 以瞭解此方法的實際應用）

示例問題

示例 1

${\begin{cases}3x+2=y\\4x-6=2y\end{cases}}$
$4x-6=2(3x+2)$	在第二個方程中將 (3x + 2) 代入 y
$4x-6=6x+4$	將 2 分配到括號裡
$4x=6x+10$	在等式兩邊加上 6
$-2x=10$	在等式兩邊減去 6x
$x=-5$	兩邊除以-2
現在，將-5代入其中一個原始方程的x中，並求解y
$3(-5)+2=y$
$-15+2=y$	簡化
$-13=y$	簡化得到答案

所以，解為 $x=-5$ 和 $y=-13$ 。（如果你繪製了這些直線，它們的交點將在 $(-5,-13)$ 點處）

示例 2

${\begin{cases}5x+3y=12\\x-y=4\end{cases}}$
${\begin{cases}5x+3y=12\\3x-3y=12\end{cases}}$	將第二個方程的兩邊都乘以3，使y的係數分別為3和-3
$8x+0y=24$	使用加法消元法將兩個方程“相加”
$x=3$	將等式兩邊都除以8
將3代回到第一個方程的x中，並求解y
$(3)-y=4$ $-y=1$ $y=-1$

所以，x=3，y=-1

示例 3

${\begin{cases}2y=3x+20\\4y=6x+24\end{cases}}$
${\begin{cases}y={\frac {3}{2}}x+10\\y={\frac {3}{2}}x+6\end{cases}}$	分別將兩個方程除以 2 和 4
${\frac {3}{2}}x+10={\frac {3}{2}}x+6$	代入
$10=6$	從等式兩邊減去 ${\frac {3}{2}}x$