核醫學基礎物理/傅立葉方法

傅立葉方法在下面以相當通用的術語描述。我們將看到，任何波形都可以使用正弦波透過傅立葉變換在數學上分解成具有不同振幅和頻率的正弦波。我們還將看到，由此產生的傅立葉頻譜可以被修改以增強和/或抑制感興趣的頻率。本練習的目的是更詳細地討論調製傳遞函式 (MTF) 以及斷層影像重建過程中的濾波階段，而不是之前。

週期函式

一個週期波形是一個在給定時間或空間間隔內定期重複自身的函式。一個很好的例子是正弦波或方波。當波形隨時間波動時，該波可以透過其頻率（見下圖）來表徵，它被定義為每秒經過給定點處的週期數。頻率以每秒週期數或赫茲 (Hz) 為單位表示。醫學中這種週期波形的一個很好的例子是心電圖 (ECG)。

當波形隨距離波動時（見下圖），該波可以透過其空間頻率來表徵，它被定義為每單位距離的週期數，例如每毫米週期數。

這種後一種波動型別的醫學成像示例是 Pb 條紋圖案，它被廣泛用於確定成像系統的空間解析度（見下圖）。在這種情況下，空間頻率以例如每毫米線對表示，因為每個 Pb 部分及其相鄰的空隙被稱為線對。

傅立葉級數

醫學成像中幾乎所有感興趣的週期函式都可以用傅立葉級數表示。這種方法認為，任何週期波形都可以用以下一系列正弦和餘弦波之和來表示

f(x)={\frac {1}{2}}a_{0}+a_{1}\cos(x)+a_{2}\cos(2x)...+a_{n}\cos(nx)+b_{1}\sin(x)+b_{2}\sin(2x)...+b_{n}\sin(nx)

例如，方波可以用

f(x)={\frac {4h}{\pi }}\left(\sin(x)+{\frac {1}{3}}\sin(3x)+{\frac {1}{5}}\sin(5x)+{\frac {1}{7}}\sin(7x)+...\right)\ \ (1)

其中 h 是方波的振幅。

相反的考慮在數學上也是正確的，即，可以透過將許多不同頻率和振幅的正弦波加在一起來構造一個方波。下圖演示了方程 (1) 中前四個項的加法。第一項 (sin x) 顯示在面板 (a) 中，第二項與第一項的加法顯示在面板 (b) 中，依此類推。注意，基頻或第一諧波 [面板 (a)] 與方波具有相同的頻率，並且更高的頻率逐漸構建了方波的形狀 [面板 (b)-(d)]。我們可以得出結論，更高的頻率有助於方波兩側的銳度。

傅立葉頻譜

傅立葉級數也可以表示為頻譜。例如，下圖繪製了方程 (1) 中方波的頻率分量的振幅與空間頻率的關係。注意，傅立葉頻譜可以用於識別構成給定波形的正弦波的頻率和振幅。還要注意，振幅與距離的圖通常被稱為空間域表示，而振幅與空間頻率的圖被稱為頻率域表示。

傅立葉變換

傅立葉變換是一種優雅的數學技巧，用於將資料從空間域轉換為頻率域（見下圖）。換句話說，透過對該波形進行傅立葉變換，可以很容易地確定構成任何波形的正弦波的頻率和振幅。

傅立葉變換在醫學成像中被廣泛使用，其應用包括

確定成像系統的空間解析度。
在核磁共振成像中的空間定位。
分析多普勒超聲訊號。
發射型和透射型計算機斷層掃描中的影像濾波。

傅立葉逆變換是用於以相反方向轉換資料的數學技巧，即從頻率域轉換到空間域 - 見下圖

總之，傅立葉變換 (FT) 允許我們識別波形的組成正弦波，而逆傅立葉變換 (IFT) 允許我們從組成正弦波中構建波形。

最後，需要注意的是，使用數字計算機計算傅立葉變換通常使用一種稱為快速傅立葉變換 (FFT) 的特殊演算法。

狄拉克δ函式

從醫學成像的角度來看，一個有趣的案例是 δ函式

狄拉克δ函式的傅立葉變換告訴我們它是由無數個幅度相同的正弦波組成的。如果我們開始拓寬這個函式 - 如下圖所示 - 我們看到低頻正弦波的幅度很高，而正弦波的幅度隨著空間頻率的增加而減小。

調製傳遞函式

這種拓寬現象類似於醫學成像中發生的情況。我們可以認為上圖中的幅度與距離的關係圖類似於

鉛板小孔影像的密度剖面，或
放射性點源影像的計數率剖面。

這種型別的圖在醫學成像中稱為點擴散函式 (PSF)，它的傅立葉頻譜稱為調製傳遞函式 (MTF)

下表顯示了該領域中使用的一般術語和成像術語的比較

領域	一般術語	成像術語
空間	輸入函式	點擴散函式 (PSF)
空間頻率	傅立葉頻譜	調製傳遞函式 (MTF)

此外，MTF 可以從

線擴散函式 (LSF)
微分的邊緣響應函式 (ERF) 中推匯出。

象徵性地，我們可以寫

I_{\text{actual}}=I_{\text{ideal}}*PSF\,\!

其中 $*$ 表示卷積運算。換句話說，當理想影像與成像系統的 PSF 卷積時，就會得到實際影像。

從理論上講，要恢復理想影像，只需要消除 PSF 的影響（例如，嘗試解決哈勃太空望遠鏡遇到的成像問題）。這可以使用傅立葉變換輕鬆實現，因為空間域中的卷積過程相當於空間頻率域中的乘法過程，即

FT(I_{\text{actual}})=FT(I_{\text{ideal}})\cdot FT(PSF)\,\!

因此，

FT(I_{\text{ideal}})={\frac {FT(I_{\text{actual}})}{FT(PSF)}}

完整的恢復過程稱為反捲積操作，表示為

I_{\text{ideal}}=IFT\left\lbrace {\frac {FT(I_{\text{actual}})}{FT(PSF)}}\right\rbrace

過濾傅立葉頻譜

上面討論的影像恢復過程是傅立葉頻譜濾波的一個例子。換句話說，一旦為影像生成了傅立葉頻譜，就可以對其進行濾波，以便可以修改某些空間頻率，例如增強或抑制。然後，可以對該濾波後的頻譜進行逆變換，以生成具有例如銳化或平滑特徵的濾波後的影像 - 如下圖所示。

下圖展示了手骨掃描的示例。它的二維 FFT 顯示在右上角面板中。應用濾波器抑制低於 0.05 個迴圈/畫素和高於 0.3 個迴圈/畫素的空間頻率，即 3-20 畫素的帶通，結果顯示在圖中的中間行，而抑制低於 0.01 個迴圈/畫素和高於 0.1 個迴圈/畫素的頻率的濾波器顯示在最下面一行。

在我們繼續之前，我們需要更詳細地考慮影像資料本身的空間頻率特性。請記住，影像通常使用由畫素組成的方形矩陣進行數字取樣，畫素的大小決定了數字影像對其模擬對應物的逼近程度。由此產生的數字空間解析度對可以容納的最大空間頻率設定了限制。數字成像中通常應用的標準基於奈奎斯特-夏農取樣定理，這意味著

當影像的空間頻率分量具有最大空間頻率 f 時，影像資料應以至少為 f 兩倍的取樣頻率進行取樣，以實現忠實再現。

這種取樣頻率通常稱為奈奎斯特頻率。在較低的取樣頻率下，由此產生的數字影像可能包含偽像模式，稱為莫爾圖案，這種現象有時被稱為混疊。

反投影濾波

簡單反投影過程中固有的條紋使得實際影像看起來像是與1/r函式進行了數學結合，其中r是傅立葉域中的徑向距離。在濾波反投影中，傅立葉濾波可用於去除這種¹⁄_r模糊的影響。

符號上，測量的投影可以被認為是與模糊函式進行卷積的結果

P_{\text{measured}}=P\cdot {\frac {1}{r}}

濾波過程的第一步是計算測量投影資料的傅立葉變換，即

FT(P_{\text{measured}})=FT(P)\cdot FT\left({\frac {1}{r}}\right)

然後透過將測量投影的FT除以FT(¹⁄_r)並對結果進行逆變換來獲得校正後的投影P，即

P=IFT\left\lbrace {\frac {FT(P_{\text{measured}})}{FT\left({\frac {1}{r}}\right)}}\right\rbrace

FT(¹⁄_r)函式僅僅是斜坡函式。換句話說，當計算測量投影的FT並將結果除以該斜坡函式時，可以透過計算該商的IFT來獲得校正後的投影。

此外，如果在FT(¹⁄_r)函式中引入一些變化，則可以同時校正這種模糊效果並增強或抑制反投影影像中的特徵。例如，可以去除模糊偽影，同時

可以增強精細細節（如X射線CT中的所謂骨演算法），或者
可以抑制影像噪聲（如X射線CT中的所謂軟組織演算法）。

一般來說，可以透過將斜坡函式乘以第二個函式來實現斜坡函式的變化，例如SPECT中使用的巴特沃斯函式

{\text{Amplitude}}={\frac {1}{1+({\frac {f}{f_{c}}})^{2n}}}

其中

f_c：截止頻率，它定義了振幅下降50%的頻率，以及
n：函式的階數。

下表顯示了SPECT成像中使用的幾種濾波器的特性

濾波器	方程	評論
Ram-Lak	${\text{Amplitude}}=1\ \,{\text{for}}\ f<f_{c}\,\!$ ${\text{Amplitude}}=0\ \,{\text{for}}\ f>f_{c}\,\!$	星形偽影去除；噪聲敏感性
巴特沃斯	${\text{Amplitude}}={\frac {1}{1+({\frac {f}{f_{c}}})^{2n}}}$	降噪
梅茨	${\text{Amplitude}}={\frac {1-{\big (}1-MTF(f)^{2}{\big )}^{x}}{MTF(f)}}$	降噪；對比度增強
維納	${\text{Amplitude}}={\frac {1}{MTF(f)}}\left\lbrace {\frac {MTF(f)^{2}}{S+MTF(f)^{2}}}\right\rbrace$	降噪；對比度增強
Scramp	${\text{Amplitude}}=1+{\frac {f}{f_{c}}}\lbrace MTF(f_{c})-1\rbrace \ \,{\text{for}}\ f<f_{c}$ ${\text{Amplitude}}=0\ \,{\text{for}}\ f>f_{c}\,\!$	降噪；對比度增強
MTF逆	${\text{振幅}}={\frac {1}{MTF(f)}}\ \,{\text{當}}\ f<f_{c}$ ${\text{Amplitude}}=0\ \,{\text{for}}\ f>f_{c}\,\!$	降噪；對比度抑制
漢明	${\text{振幅}}=0.54+0.46\cos \left(\pi {\frac {f}{f_{c}}}\right)\ \,{\text{當}}\ f<f_{c}$ ${\text{Amplitude}}=0\ \,{\text{for}}\ f>f_{c}\,\!$	降噪
帕森	${\text{振幅}}=2\left\lbrace 1-\left({\frac {f}{f_{c}}}\right)^{3}\right\rbrace \ \,{\text{當}}\ f<f_{c}$ ${\text{Amplitude}}=0\ \,{\text{for}}\ f>f_{c}\,\!$	降噪
謝普-洛根	${\text{振幅}}={\frac {2f_{c}}{\pi f}}\sin \left(\pi {\frac {f}{f_{c}}}\right)\ \,{\text{當}}\ f<f_{c}$ ${\text{Amplitude}}=0\ \,{\text{for}}\ f>f_{c}\,\!$	降噪
漢寧	${\text{振幅}}={\frac {f}{2}}\left(1+\cos \pi {\frac {f}{f_{c}}}\right)\ \,{\text{當}}f<f_{c}$ ${\text{Amplitude}}=0\ \,{\text{for}}\ f>f_{c}\,\!$	降噪