繼集合及其操作的介紹之後，本節介紹了正式的數論。

數字

數字的使用可能是數學理論的第一個應用。正如我們所見，許多許多物件可以用數學邏輯來定義，但對這些物件的數量的研究是基於數論的。作為一個人，對數量有一個隱含的理解是自然的，但正式定義數字將需要上一節中的定義。再次，讓我們從無開始；特別是數字零 (0)，表示沒有物件的量。形式上可以這樣說，一個包含零個物件的集合是空的。如果將一個物件（任何物件）引入到這個集合中，那麼這個集合就不再是空的，並且它裡面的物件數量也不再是零。只要引入的物件是單獨的，我們就可以用英語說這個集合現在包含一個物件。從這裡繼續下去就產生了我們所知和喜愛的數字概念。

定義：數字代表任意集合中任意物件的數量。
定義： $n(A)$ 是對集合 A 執行的操作，它給出集合 A 中包含的物件的數量。

這些定義導致了以下演進

$0=n(\{\}),\;1=n(\{a\}),\;2=n(\{a,b\}),...$

給了我們一組符號 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 來表示數量。

當超過 9 的值時，我們可以嘗試用不同的符號來表示每個值，直到無窮大，但這很快就會變得很繁瑣，因為符號要麼必須以無限小的量差異，要麼必須增長到非常大的尺寸來表示值的改變，在實踐中，由於解析度的限制和宇宙的特定性質，它們必須增長。所以我們不這樣做；這裡需要引入位置數字系統的概念。

在位置數字系統中，數字的實際值取決於（顧名思義）它在構成數字的數字集合中的位置。繼前面的演進之後，序列以數字 10 繼續。這裡數字 1 持有 $n(A)$ 的值，其中 A 是一個集合，它包含比符號 9 代表的數字多一個物件。數字 0 是一個佔位符，重要的是它透過存在增加了左側數字的值。在數字十中，佔據數字 1 位置的數字的值也會以類似的方式縮放。例如，在演進中向前跳躍，數字 83。數字 3 保持其基本值，數字 8 的基本值按數字 10 中數字 1 代表的值進行縮放。在這個常用的印度-阿拉伯系統中，數字的值是它在最右端位置的數字基本值的十倍。這樣做的結果是一個強大的系統，它允許以簡潔的書面形式傳達大而不同的數字的概念。