初等數學/集合論

在本節中，我們將介紹一些基本的集合論。

集合

集合是事物的明確定義的集合；事物可以是物體、數字、符號等等。如果我們能夠確定給定事物是否屬於集合，那麼該集合就被認為是明確定義的。構成集合的事物是它的成員，也被稱為該集合的元素。集合的元素可以是物體、字母、專案，甚至其他集合。集合可以是有限的（包含確定數量的元素），也可以是無限的（包含無窮無盡的成員）。

集合用英語字母的大寫字母表示，例如 A、W、D、C、V、X、Z...。集合的元素用花括號（也稱為捲曲括號）表示，成員之間通常用逗號隔開。例如：A={2,4,6,8,10}。由於列出了所有元素，因此稱為列表形式。這也被稱為列舉法。

通常，集合的元素將具有某種模式，或者元素在某種程度上是相似的。有時，當模式很明顯時，集合將以 "..." 結尾，表示元素以這種方式繼續。例如：X={1,3,5,7,9,11,...}。其他時候，集合可以用文字或數學符號來描述。數學符號的讀法如下面的例子：對於集合 X X={1,3,5,7,9,11,...}。這顯示為 X={x/x 是奇數}

we read this as X is a set of all x's such that x is an odd number.  In general, this is read as " X is the set of x such that x has a property".
Here the / stands for "such that" often a colon (:) will be used instead. 

為了表示元素屬於集合，我們寫：$x\in A$ 這讀作“x 是集合 A 的元素”或“x 屬於 A”。

特殊集合

一些集合在數學中經常使用，因此它們用特殊的符號表示。

$\mathbb {N} =\{Set\;of\;natural\;numbers\}=\{1,2,3,4,5,6,...\}$

$\mathbb {Z} =\{Set\;of\;all\;integers\}=\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}$

$\mathbb {Q} =\{Set\;of\;rational\;numbers\}=\{{\frac {a}{b}}\;|\;a,b\in \mathbb {Z} \;and\;b\neq 0\}$

$\mathbb {R} =\{Set\;of\;real\;numbers\}$

$\mathbb {C} =\{Set\;of\;complex\;numbers\}=\{a+bi\;|\;a,b\in \mathbb {R} \;and\;where\;i^{2}=-1\}$

例子

$\{1,2,3\}$

$\{7,12,80\}$

$\{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z\}=\{{\text{letters of english alphabet}}\}$

$\{1,2,3,4,5,...\}=\{{\text{Set of positive integers}}\}$

$\{2,4,6,8,10,12,14...\}=\{{\text{Set of positive even integers}}\}=\{x\mid x\in \mathbb {Z} \;{\text{and }}x{\text{ is even}}\}$

基本操作

並集

兩個集合的並集用 $\bigcup$ 表示。兩個集合的並集最好描述為“兩個集合中所有元素一次”。

正式定義：$A\bigcup B=\{x|x\in A\;or\;x\in B\}$

例如

$A=\{1,2,3\}$ $B=\{4,5,6\}$

$A\bigcup B=\{1,2,3\}\bigcup \{4,5,6\}=\{1,2,3,4,5,6\}$

交集

兩個集合的交集用 $\bigcap$ 表示。兩個集合的交集最好描述為“僅存在於兩個集合中的元素”。

正式定義：$A\bigcap B=\{x|x\in A\;and\;x\in B\}$

例如

$A=\{1,2,3,4,5,6\}$ $B=\{2,4,6,8,10\}$

$A\bigcap B=\{1,2,3,4,5,6\}\bigcap \{2,4,6,8,10\}=\{2,4,6\}$