初級數學/什麼是數學？
這個問題是我在數學中遇到的最複雜的問題之一，而且沒有簡單令人滿意的答案。數學哲學是一個複雜而困難的主題，不適合入門教材。
在樸素的層面上，我們可以將數學描述為表達關係的語言。這包括邏輯、測量、代數、微積分和幾何。這種語言讓我們能夠理解我們的宇宙並解決其中的問題。當你的眼睛看到一頁數學時，它看起來像是一堆符號。數學不是頁面上的符號，而是這些符號的真正含義。
地球上任何角落的兩個人，如果都理解數學，就可以看同一頁並精確地理解含義，統一地理解問題，或者在沒有一個詞的情況下繼續討論。在整個星球上沒有其他語言可以教授。
本華夏公益教科書致力於幫助那些看到符號頁面卻聽不懂數學語言的人。
數學包含兩個學科：邏輯和理論。它們是獨立的，但又是相互依賴的，因為沒有這兩者，數學就毫無用處。不幸的是，許多人只學習了理論方面。後面將更詳細地介紹這兩個學科。現在，我們將把所有內容都擺在桌面上。
邏輯是從公理開始，以結論結束的有序思想的表達。數學邏輯有很多規則和形式，以確保在整個邏輯論證中保持真理。一旦成功構建了結論，就可以有信心地將其用作另一個不同邏輯論證中的公理。
數學邏輯研究一組稱為邏輯的人工語言。人們認為這些語言具有理論上有趣的結構，這些結構值得研究，既是為了它們本身，也是為了這種研究有望揭示貫穿整個數學的推理方法的真諦。
理論處理將現實世界抽象到數學世界。數學邏輯既嚴格又具體，而數學理論則是抽象的和概括的。毫無疑問，這就是數學的樂趣所在。使用數學理論，一個人可以定義如何建造一座房子或為什麼手機能工作，預測看似隨機的事件，甚至預測行星、恆星和星系的運動！
當理論從抽象世界轉向現實世界時，它被稱為應用數學。這些是人們在日常生活中對數學的體驗，也是人們通常最熟悉的那一小部分數學領域。
學生必須始終牢記，數學語言（術語和符號）只是表示數學思想的工具。數學專業的學生經常陷入或被語言所困擾，而他們應該更多地關注掌握概念。數學之所以具有普遍性，僅僅是因為它使用了共同的邏輯和共同的概念。語言的實際符號（字母、單詞、句子）並不像思維過程那樣重要。
但幸運的是，這種語言，尤其是書面語言，多年來已經高度標準化，只是為了便於交流。但是數學無論用什麼方式表示都是有效的，只要所有術語和符號對讀者來說都是明確定義的。有時沒有單一的方法來表達數學，就像有時沒有單一的方法來進行論證一樣。理想情況下，在思想的開放市場中，最有效的表達方式將成為公認的規範。然而，數學語言，就像所有的人類語言一樣，有時會糾纏於傳統的符號。我們人類熱愛我們的傳統！但通常所需要的只是一個全新的表達方式，就能使曾經令人困惑的概念突然變得清晰。
無論如何，最重要的是學習概念，然後將符號視為交流工具，以及解決問題過程中的記賬工具：以及心靈的努力，而大多數人無法跟蹤數學邏輯的所有複雜線索。
學生不應該過分強調記憶大量的知識和概念，而不努力去理解它們為什麼是正確的，為什麼那些事實必須遵循這些論證，以及為什麼它們是有意義的。學生應該重點發展技能並練習智力體操，這將使他們能夠用數學思維和解決數學提出的問題。那些能夠從頭開始解決問題，提出新想法，透過自己的思維過程解決問題的人，對數學和社會更有用，而不是那些只能回憶事實和數字的人，因為這些資訊總是在維基百科上可以查到！也就是說，能夠撰寫新的維基百科文章的人比只能閱讀它們的人更有用！
然而，記憶也很有用，因為當然沒有人可能擁有足夠的腦力、記憶力、能力、時間或耐心來從第一原理證明所有事實。通常，可以透過簡單地證明一個（也許已經非常複雜和豐富的）公理或事實會導致一個新結論，就可以做出有用的數學推理的巨大飛躍。我相信艾薩克·牛頓 (?) 曾經說過，“我能看得這麼遠，是因為我站在巨人的肩膀上。” 在別人的工作基礎上進行建設並無羞恥，只要承認來源。這不僅是對應得的榮譽表示公平的讚賞，而且還允許對事物進行驗證，尤其是當這些“巨人”的思想只是隱含的時。
數學區別於科學等其他學科的一個美麗之處在於，前提條件並不總是需要建立。在數學中，我們可以簡單地假設我們的基礎是正確的，並構建一個新的邏輯結構。事實上，有些數學概念是如此基本和明顯，以至於它們通常被認為是理所當然的！以整數和計數為例：假設大多數人都會同意它們“存在”，並且不需要任何內在的有效性證明，似乎是合理的。