初等數學/從哪裡開始？從無開始！
清空你的思緒，什麼都不要假設。當你達到這種空白狀態時，你就到達了數學的起點：大無（以大寫“N”表示）。為了從無開始，使用數學語言，我們需要一個框架來構建。我們需要的框架必須允許我們隨著時間的推移擴充套件語言的範圍。為了找到這樣一個框架，數學轉向了邏輯的世界。
首先，對邏輯1的描述
【邏輯】通常被認為是研究論證的學科，儘管邏輯的精確定義在哲學家之間存在爭議。【邏輯學家的任務】是相同的：提出一個關於有效和謬誤推理的解釋，讓人們能夠區分好的論證和壞的論證。
從這個描述中可以清楚地看到，一個健全的邏輯體系需要論證來進行。一個**邏輯論證**是從一些定義出發，得出結論的順序過程。顯然，如果沒有東西可以爭論，你就不能進行論證（或得出結論！）。**定義**是一個簡單的陳述，可以構成論證的基礎。**結論**是論證的終點。一個有用的論證會得出關於原始定義的結論。
舉個例子
- 定義：有水的東西是溼的。
- 定義：沒有遮擋雨水的東西會被水浸溼。
- 結論：沒有遮擋雨水的東西會被水浸溼。
這三個陳述構成一個邏輯論證。使用這個邏輯論證的結論，我們現在可以識別出在我們周圍，在下一次下雨時有被淋溼風險的事物。房子裡的沙發是安全的；外面的樹木就不安全。注意，結論直接來自定義——在這個例子中，論證沒有**主體**。
仔細思考這個論證，你會發現我們跳進了事情的中間。你可以問：什麼是雨？什麼是水？什麼是“東西”？
顯然，有很多邏輯論證可能先於這個論證。例如，我們可以將水定義為具有化學式 H2O 的分子集合，並將雨定義為 H2O 分子集合的集合。然後可以進行將雨與水聯絡起來的論證。
但是，什麼是分子？同樣，我們可以將分子定義為原子的集合。然而，什麼是原子？更重要的是，什麼是集合？很快就會變得明顯，為什麼哲學家會花這麼多時間靜靜地思考。
幸運的是，我們正在思考數學，而不是存在意義（這很容易花上一輩子2）。請記住，一個有用的邏輯論證會得出關於原始定義的結論。在我們上面的例子中，我們發現可以將兩個定義合併成一個更緊湊的形式，作為結論。在這種情況下，很難說結論比定義更有用。然而，一些邏輯論證可以從許多定義開始，最後得出一個簡單的結論，這個結論本身變得非常有用。這叫做**歸約**3。歸約將是我們數學框架的首要目標。
是時候開始構建了！由於起點是無，因此不可能進行論證。我們需要一個定義！
定義：**物件**是可以被描述的任何事物。
我們將忽略所有導致這個定義（作為結論）的邏輯論證，因為它們屬於純粹的哲學領域。我們還將斷言（而不是假設！）這個定義是真實的。仔細考慮前面關於真理的斷言！其含義是強大的：從一開始，數學就變得不再是可觸控的。有了這個定義，我們可以說“宇宙是一個物件”或“空虛是一個物件”或“詞語是物件”；事實上，甚至一個想法、一種顏色、一種感覺，甚至尚未被發現的事物都是一個物件！啊，自由！沒有邊界！如果這個基本定義被保留（並且它會被保留），我們的數學框架將具有巨大的範圍和廣度。
等等！有一個問題——我們的定義是用文字寫成的，特別是英語，我們不想受限於誰可以理解或使用這個定義。在其他語言中也有一些概念，以及我們想要包含在數學領域中尚未被發現的事物。為了避免語言的限制給框架設定邊界，符號被用來代替文字。現在，我們將使用小寫英文字母來表示物件。記住，它們是數學中的符號，而不是字母。字母有聲音；符號沒有。**符號**可以代表上面定義的任何物件。我們現在可以向我們的框架新增一個定義
定義：**符號**是一個書面字元。
接下來是關於如何使用符號的決定，這帶來了另一個問題：符號數量遠遠不夠（甚至遠遠不夠）來給每個物件分配一個單獨的符號。另一個問題是，如果將符號分配給物件，就會造成混淆。其他人必須知道每個符號具體代表什麼，這意味著要建立一個巨大的符號字典。符號字典必須在每次發現、建立或考慮新的物件時更新。這不好！
為了解決符號的問題，我們向我們的框架新增以下定義
定義：**變數**是一個表示某個物件或某些物件的屬性的符號。
哇！我們的字典變得小多了。現實要求我們至少有一些符號是明確定義的和通用的——這種情況並不遙遠。然而，任何沒有這種具體定義的符號都可以用作變數。變數定義的關鍵點是“表示一個屬性”。幸運的是，這個定義是開放的，因為“表示一個屬性”不是一個限制性短語。成功了！我們的語言是通用的，而且我們的自由回來了。
利用之前的定義，我們現在可以定義一個變數
讓 β（希臘字母 Beta）表示一個具有兩個且僅有兩個輪子的物件。
這個語句不需要我們說明 β 代表的具有兩個且僅有兩個輪子的具體物件是什麼。事實上，滿足 β 的物件甚至不需要存在。但現在我們可以說出 β 可能是什麼樣的物件。例如，β 可以是腳踏車，但不能是汽車。β 可以是摩托車，但不能是摩托艇。注意，β 的定義允許我們將所有物件分成兩組：一組滿足 β 條件，另一組不滿足 β 條件。這讓我們得出了下一個定義
定義：**集合**是一組具有一個或多個共同屬性的物件。
集合在數學中至關重要。如果你不確定這個定義是如何得出的，也許花點時間回顧一下之前的定義以澄清！集合在數學中非常重要，而且經常出現，因此需要通用的符號來表示它們。對於集合，通用的符號包括左右花括號，用法如下
定義：集合**B**包含由變數 β 表示的所有物件。
（幾乎）數學符號：**B** 等同於 {β}
數學符號並不純粹——它是“幾乎”純粹的，因為它包含英語單詞。讓我們立即解決這個問題！
定義：**等價**是指兩個符號表示相同的值、狀態或相同的事物。另一個常見的術語是**等於**。在數學中，符號 = 代表完全等價。讓我們更仔細地看一下。由於“等價”可以指“狀態或條件”，因此兩個盒子，每個盒子中都包含三個物品，可以被認為是“等價的”。然而，如果這三個物品不是相同型別的東西，比如一個盒子中有三隻貓，另一個盒子中有三隻狗，那麼它們就不“相等”。為了使它們相等，它們必須完全相同。這個概念在更高階的數學結構中反覆出現。現在做出這個區分是為了避免學生將來可能產生的混淆。許多學生在遇到這種情況時，會認為數學不一致且矛盾。請記住，人們在解釋材料時有時會走捷徑，或者是在解釋過程中太投入了，以至於忘記了一些事情。這是人性，應該原諒，因為完美很少存在。
在我們上面關於集合**B** 的（幾乎）數學符號中，短語“等同於”表示等價。因此，我們可以用純粹的數學語言來寫這個條件
B = {β}
希望你能理解“B 是一個包含所有滿足變數 β 條件的物件的集合”。在數學文獻中，通常使用大寫英文字母作為集合的符號，使用小寫英文字母作為變數的符號。此外，集合符號通常是變數符號的大寫形式。從現在開始，我們將遵循這些約定。
示例
A = {a}
你如何理解上面那行？值得注意的是，變數 a 從未被定義，但我們仍然理解上面那行所代表的概念。重要的是要理解，上面那行也沒有驗證我們之前的任何定義。這是數學獨特力量的初體驗。
定義: 泛化 是數學能夠為各種各樣的物件指定行為和關係，而無需實際定義這些物件的能力。
我們當前的框架中沒有足夠的工具來完全利用泛化。但我們最終會！現在，以下是另一個集合的定義
P = {p}
這是一個抽象集合，因為我們不知道變數 p 代表什麼。
Q = {q:
所有單詞任何以 'm' 開頭的單詞}
這是一個具體集合，因為給出了變數 q 的定義。這裡引入了一個新的通用符號。
定義: 在集合的符號表示中，冒號 (:) 用於表示短語“定義為”。
根據這個定義，上面給出的集合 Q 的數學語言可以讀作“Q 是一個包含所有滿足變數 q 條件的物件的集合，其中 q 定義為所有以 'm' 開頭的單詞 任何以 'm' 開頭的單詞”。
當一個集合包含一組特定的物件時，還有一種額外的指定方式。
X = {x: 一頭驢，一個蘑菇，一杯水，一片雲}
沒有針對變數 x 的口語表達能夠用共同或共享的屬性來正確描述這些物件。儘管如此，這是一個有效的數學集合。這再次證明了數學表達形式語言無法描述的概念的能力。這也展示了數學力量的一小部分，隨著我們前進，我們將充分利用它。
如果來源已更改，一些引述可能不是逐字逐句的；請見諒！
- 3參見 維基百科:還原 (哲學) (返回)
對於大學水平的數學，有必要對希臘字母和拉丁字母（英語字母的來源）有一定的瞭解，因為兩者都被用作數學符號。學習新概念時，如果至少符號是熟悉的，可以減少焦慮。 維基百科:希臘字母 (返回)