生物物理學/波義耳定律

本節探討波義耳定律以及理想氣體壓力和體積之間的關係。一般來說，波義耳定律指出，當體積減小時，理想氣體的壓力會增加。反之亦然：當理想氣體的體積增加時，壓力會隨之減小。換句話說，這兩個屬性成反比。為簡單起見，我們只考慮處於恆溫狀態的氣體。

圖 1. 將砝碼新增到穩定在注射器頂部的杯子上。使用 LoggerPro 和 Vernier 壓力感測器，可以測量壓力（mg/A）和體積，以觀察波義耳定律的依賴關係。還可以 測量溫度 以驗證過程是等溫的。

讓我們考慮理想氣體保持恆溫的等溫過程。公式 PV = NkBT 描述了氣體在某個點的狀態。這可以重新排列，使壓力等於：$P={\frac {Nk_{B}T}{V}}$，其中 N 是粒子數，k_B 是玻爾茲曼常數，T 是以開爾文為單位的溫度，V 是以 m³ 為單位的體積。為了說明這種關係，圖 1 顯示了壓力與體積的反比關係。

圖 2. 使用此處描述的方法獲得的壓力與體積的關係圖。

為了計算對理想氣體所做的功，必須考慮公式 $W=-P\Delta V$。回想一下，壓力和體積成反比，因此如果壓力發生變化，那麼體積也會發生變化。由於兩個變數都在變化，我們必須使用積分來考慮這種變化：$W=-PdV=-\int _{V_{i}}^{V_{f}}{\frac {Nk_{B}T}{V}}dV$。如果我們然後取出常數，這個公式可以改寫為 $W=-Nk_{B}T\int _{V_{i}}^{V_{f}}{\frac {1}{V}}dV$。計算積分後，我們得到以下公式：$W=-Nk_{B}T{\Bigg (}ln(V_{f})-ln(V_{i}){\Bigg )}$，也可以寫成：$W=Nk_{B}Tln{\Bigg (}{\frac {V_{i}}{V_{f}}}{\Bigg )}$。這是在恆溫下理想氣體體積變化所做的功。

為了說明波義耳定律，你可以做一個簡單的實驗，包括注射器、砝碼和壓力計。圖 1 和 3 顯示了用於此演示的設定。首先，測量沒有砝碼放在注射器頂部時的壓力。這應該是大氣壓力，大約為 101,325 帕斯卡。為了測量壓力和體積的變化，首先將砝碼放在注射器頂部，直到活塞移動到下一個毫升刻度。此時，測量質量、壓力、體積以及從一個毫升刻度到下一個刻度的距離。繼續執行此過程，直到活塞到達 1 毫升刻度，或者壓力感測器達到其最大讀數。收集完所有資料後，繪製壓力與體積的關係圖。你還可以使用上面推導的公式計算所做的功，並將其與公式 $W=mgx$ 進行比較，其中 m 是砝碼的質量（以公斤為單位），g 是重力加速度（9.8 m/s²），x 是活塞移動的距離（以米為單位）。

圖 3 顯示了實驗設定的示意圖，其中活塞由於 400 克的力作用在活塞頂部而向下移動了 1 毫升（從 5 毫升到 4 毫升）。注射器連線到壓力計，壓力計使用 LoggerPro 在計算機螢幕上顯示以 kPa 為單位的壓力讀數。

圖 3. 波義耳定律實驗的另一個示意圖。