生物物理學/功、壓強和體積之間的關係

理想氣體定律

我們將推導和研究的第一個概念是理想氣體定律。你可能在普通化學課程中熟悉理想氣體定律的形式 ${\it {PV}}={\it {nRT}}$ ，其中P是壓強，V是體積，n是粒子的摩爾數，R是理想氣體常數，T是溫度。這個方程可以用來描述一個充滿理想（不相互作用、隨機移動）氣體粒子的封閉系統。

推導

從第一原理理解和推匯出這個定律是我們掌握熱力學生物物理學的首要步驟。讓我們首先用一種新的方式寫出理想氣體定律。這被認為是理想氣體定律的更“物理”的公式，它更容易推導。這個新的公式是 ${\it {PV}}={\it {Nk}}_{B}T$ 。這兩個公式唯一的區別是後者包含一個N，它代表系統中的粒子數而不是粒子的摩爾數。此外，常數不再是理想氣體常數R，而是玻爾茲曼常數k_B。玻爾茲曼常數將單個粒子的能量與溫度聯絡起來。

考慮一個封閉的圓柱體和活塞系統。活塞到另一側的距離為x，活塞的面積（以及圓柱體的另一側）為A。圓柱體充滿單原子理想氣體粒子，這些粒子以彈道方式隨機地在內部運動。

圓柱體目前處於三維狀態。粒子被允許上下移動，左右移動，前後移動。但是，想象一下，我們將圓柱體擠壓成一個無限小的管子，這樣粒子只能左右移動。由於我們只需要擔心一個維度而不是三個維度，這大大降低了證明的複雜性。

在這一點上，我們應該說明迄今為止證明的幾個假設。理解假設非常重要，因為它們為我們提供了關於證明的有效性、適用性和一般理解以及由此產生的概念的指導。首先，我們假設所有粒子都以相同的速度運動。乍一看，這個假設似乎荒謬。然而，從整體上看，大量的粒子（想想1 x 10²³）確實表現出聚合的平均速度。這個“平均”的概念將在整個統計力學中多次出現。這個想法只有在大型系統中才有效，但由於我們通常關注熱物理學，所以這個假設成立。

第二個假設是碰撞是彈性的，動量是守恆的。這意味著當一個質量為m、速度為v的粒子與容器的一端碰撞時，那麼 $p_{i}={\it {mv}}$ 和 $p_{f}=-{\it {mv}}$ ，其中p_i是粒子碰撞前的動量，p_f是碰撞後的動量。