CLEP 大學代數/代數證明入門

對於某些學生來說，數學感覺就像一套背下來的規則。然而，學生在代數中需要記憶的只是關於所研究物件的基本事實和一些符號。學生覺得需要記住的任何性質實際上都可以從他們應該記住的基礎知識中推匯出來。

在本頁中，我們將介紹邏輯定律和條件語句的性質。我們將應用實數和代數定律來證明一些常用的定理。最後，我們將使用代數來證明數學命題為真。

集合導論

對任何與數學相關事物的基本理解都始於學習集合。雖然這並不能代替離散數學課程（或 CLEP 大學數學考試），但您通常在那裡學到的一些概念將在更早的階段引入。因此，我們將嘗試使這種介紹直觀易懂。最後，學習集合和邏輯可以很容易地幫助您在現實生活中（尤其是邏輯）中，特別是在機率的背景下。

大多數人會將集合想象成一組被定義的物件（稱為元素）的集合。但是，需要一個限制。

定義：集合

集合是“定義明確”的物件的集合，這些物件稱為元素。集合通常用一個單一的、大寫的字母表示。

這裡有一個問題：集合可以包含自身嗎？如果存在一個包含所有集合的集合，那麼不包含自身的集合將在該集合中。然而，這是不可能的；該集合不會在自身中，但不能被定義為這樣，因為該集合包含所有集合。由於根據這種定義不可能定義它是否是一個集合，因此包含所有集合的集合是不可能的（這個悖論被稱為羅素悖論）。集合必須定義明確的限制是出於這個原因的必要性。

“定義明確”目前還很模糊，但構成“定義明確”的限制超出了本文的範圍。對於那些好奇的人來說，瞭解策梅洛-弗蘭克爾集合論將很重要（儘管對於我們想要在大學代數中完成的事情來說有點高階）。

集合可以包含任意數量的物件。例如，我們可以有一個包含所有正的、偶數的、一位數的集合， $A$ 。我們也可以有一個不包含任何東西的集合（我們稱之為空集， $\emptyset$ ）。我們也可以有常見的早餐飲料的集合， $D$ 。

$A=\{0,2,4,6,8\}$
$\emptyset =\{\}$
$D=\{{\text{咖啡}},\,{\text{牛奶}},\,{\text{水}},\,{\text{橙汁}},\,{\text{蘋果汁}}\}$

注意我們如何定義集合。我們定義它的方式是用花括號， $\{\}$ ，並用逗號分隔元素。集合也是無序的，這意味著集合中元素的順序不會改變一個集合是否等於另一個集合。因此，如果 $A$ 定義如前，並且 $B=\{0,4,2,8,6\}$ ，那麼 $A=B$ 。這告訴我們關於集合的一個非常重要的東西。

元素定義集合

根據我們的定義，集合是一組元素。這意味著這些物件定義了集合。請記住，這是根據定義的，所以這是合理的邏輯。

定義： $s$ 屬於（不屬於） $S$

假設有一個集合 $S$ ，它包含（或不包含）一個物件 $s$ 。物件 $s$ 屬於 $S$ 寫成 $s\in S$ 。否則，如果 $s$ 不屬於 $S$ ，那麼 $s\notin S$ 。

如果有兩個集合， $A$ 和 $B$ ，那麼其中一個集合可以包含另一個集合作為元素，例如 $A\in B$ 。否則，那麼 $A\notin B$ 。因此，一個集合是否包含在另一個集合中，是一個條件邏輯問題： $A\in B$ 是“真”的或者 $A\in B$ 是“非真”的。不存在中間選項。

一個集合只有在包含相同元素的情況下才能等於另一個集合。元素的順序無關緊要，只要每個元素透過其定義相對應，並且每個集合中元素的數量也相同。因此，這意味著集合由其元素唯一確定。

示例 1.1.(a)：集合難題

設 $A=\{0,2,4,6,8\}$ 和 $B=\{0,1,\{2,4\},3,6,4\}$ 。

(a) 對於在兩個集合中都找到的元素，將它們寫成集合

S

中的元素。

(b) 對於所有不常見的元素，寫出所有這樣的"

e\in A

但

e\notin B

" 或反之，其中

e

是一個只在一個集合中找到的元素，而在另一個集合中沒有找到。

答案:

(a) $S=\{0,4,6\}$ 。

(b) $2,4,8\in A$ 但 $2,4,8\notin B$ 且 $1,\{2,4\},3\in B$ 但 $1,\{2,4\},3\notin A$ .

對 (a) 和 (b) 的解釋:

這些大多是不言而喻的。請記住，任何集合內的集合都被定義為該集合的元素。但是，如果該元素包含任何物件，則它不是“父”集合的一部分。例如，設 $E=\{2,4\}$ 。這裡 $B=\{0,1,E,3,6,4\}$ 。我們知道 $E\in B$ 和 $2,4\in E$ 。然而， $E$ 中的任何元素都不定義 $B$ 。元素只定義它自己的集合。

定義包含元素的集合有兩種不同的方式，顯式和隱式。

定義：顯式集合

設有一個集合 $S$ ，使得 $a,\,b,\,c\in S$ 。集合的顯式定義是用大括號，即集合花括號— $\left\{\right\}$ — 來寫，如下

S=\left\{a,\,b,\,c\right\}

，其中所有和只有在

S

中找到的元素必須寫在集合花括號內。

上面集合的讀法是 $S$ 是包含 $a,\,b,\,c$ 的集合。

顯式定義集合是我們一直在使用的，但是，當集合中存在無限多個元素時，這也會變得毫無用處。下一個定義應該幫助我們解決這個問題。

定義：隱式集合

設有一個集合 $S$ ，使得 $a,\,b,\ldots ,\,z\in S$ 。集合的隱式定義是用集合花括號和省略號來寫，前提是集合的元素表現出一定的規律，如下

S=\left\{a,\,b,\ldots ,\,z\right\}

.

上面集合的讀法如下： $S$ 是包含 $a,b$ 的集合，依此類推，直到 $z$ 。

對集合更嚴謹的定義如下：

定義：集合（最終版本）

集合，通常用單個字母表示，是元素的“定義明確”的集合。集合也由其元素唯一定義。

由於元素定義了集合，因此瞭解集合的大小通常很重要。這被稱為集合的基數或大小。為了保持這部分內容的直觀性，我們將從這裡開始使用大小。

定義：集合的大小

一個包含 $n$ 個元素的集合 $S$ 的大小為 $n$ ，記為

|S|=n

示例 1.1.(b)：早餐飲料

設 $D$ 是常見的早餐飲料的集合。以下是美國最常見的早餐飲料的非全面列表：咖啡、牛奶、橙汁、蘋果汁、水。

(a) 用集合符號寫出集合

D

。

(b) 求出集合的大小。用正式符號寫出來

答案:

(a) $D=\{{\text{coffee}},\,{\text{milk}},\,{\text{water}},\,{\text{orange juice}},\,{\text{apple juice}}\}$ .

(b) $|D|=5$ .

對 (a) 和 (b) 的解釋:

這些都相當直觀。列表中專案的數量為五個，因此集合的大小為五個。

檢驗你的理解

說明：一些問題將要求你在五個選項中選擇一個。對於這些問題，選擇最適合的選項。
有些問題將要求你在提供的方框中鍵入數字答案。
有些問題將要求你選擇一個或多個答案。

	$0,1,2,3,\ldots ,99\in A$ 以及 $0,1,2,3,\ldots ,99\in B$ .
	$\{0,1,2,3,\ldots ,99\}\in A$ 並且 $\{0,1,2,3,\ldots ,99\}\in B$ .
	$0,1,2,3,\ldots ,99\in \{0,1,2,3,\ldots ,99\}$ 並且 $\{0,1,2,3,\ldots ,99\}\in A$ .

|A|=

, 並且

|B|=

使用以下資訊回答問題 3-4。
已知

a\in A

，

a,b\in B

，並且

c\in C

.

	$a\in D$ .
	$a,b\in D$ .
	$c\in D$ .
	$a,b,c\in D$ .
	以上選項都不正確。

稍後新增更多問題。

屬性定義元素，因此定義集合

一個物件可能具有需要記錄的屬性。如果該物件本身因此而發生改變，那麼定義該屬性就非常重要。這些屬性被稱為**條件**（更常見的是**命題函式**，但為了提供一個非迴圈的函式定義，避免在函式定義是非迴圈的情況下將函式定義視為迴圈）。

定義：條件

假設有一個操作 $C\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots \right)$ ，使得物件變數 $x_{1},\,x_{2},\,\ldots$ 根據變數的值或操作 $C$ （其“性質”）給出真值。這就是**條件**。

由於集合是由其物件定義的，條件也定義了集合。對於具有條件的給定集合，其表示法為

S=\left\{x\mid C(x)\right\}

或

S=\left\{x:C(x)\right\}

其中，這樣的集合被讀作** $S$ 是所有滿足條件 $C(x)$ 為真的 $x$ 的集合**。術語“滿足條件”源自豎線 ( $|$ ) 或冒號 ( $:$ )。在本教材中，我們將使用豎線 $|$ 來表示“滿足條件”，因為這是大多數大學代數課程中的標準用法。

當一個集合可以透過條件更好地表示時，會使用一種特殊的表示法。例如，取所有斐波那契數的集合 $F$

F=\{0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89\ldots \}

.

這個集合可以隱式列出。但是，當集合的元素存在規律時，集合會變得更有用。令 $f(k)$ 表示斐波那契數列的索引，其中 $k$ 是從零開始的索引。該集合可以等效地寫成以下形式

F=\{f(k)|f(k)=f(k-2)+f(k-1),\,f(k),k\in \mathbb {Z} ^{+},\,f(0)=0,\,f(1)=1\}

.

雖然這種符號看起來弊大於利（而且似乎更令人困惑），但實際上，它告訴我們關於該集合的大量資訊，包括使用的模式、集合存在所需的初始條件，以及 $f(k){\text{ and }}k$ 需要屬於的集合，才能使這種模式生效。

定義：集合構造式

集合符號的一種特殊情況，其中一組元素可以使用更實用的方式列出，或者元素太多而無法使用普通集合符號列出。

E=\{f(n)|C(n)\}

我們這樣解讀該符號：“ $E$ 是所有 $f(n)$ 的集合，其中 $C(n)$ 為真。” 這裡， $f(n)$ 是一個表示式，而 $C(n)$ 是一個規則或條件。

現在我們可以輕鬆地解讀集合。回到集合 $F$ （斐波那契數列集合）

$F=\{f(k)|f(k)=f(k-2)+f(k-1),\,f(k),k\in \mathbb {Z} ^{+},\,f(0)=0,\,f(1)=1\}$ .
$F$ 是所有 $f(k)$ 的集合，其中 $f(k)=f(k-2)+f(k-1)$ ， $f(k){\text{ and }}k$ 屬於正數集合，並且有兩個初始條件， $f(0)=0{\text{ and }}f(1)=1$ 。

示例 1.2.(a)：集合構造式

用集合構造式和隱式或顯式符號表示以下內容：

(a) 所有偶數的集合。

(b) 所有奇數的集合。

(c) 所有素數的集合。

(d) 方程

{\frac {12(x+2)(x{\sqrt {2}}-1)(x-1)(x-2)}{(x+2)-(x+4)}}=0

的所有實數解的集合。

(e) 方程

{\frac {12(x+2)(x{\sqrt {2}}-1)(x-1)(x-2)}{(x+2)-(x+4)}}=0

的所有自然數解的集合。

(f) 方程

2x+5=8

的所有整數解的集合。

答案:

(a) $\{2n|n\in \mathbb {Z} \}=\{n\in \mathbb {Z} |n{\text{ is even}}\}=\{\ldots ,\,-4,\,-2,\,0,\,2,\,4,\ldots \}$ .

(b) $\{2n+1|n\in \mathbb {Z} \}=\{n\in \mathbb {Z} |n{\text{ is odd}}\}=\{\ldots ,\,-3,\,-1,\,1,\,3,\ldots \}$ .

(c) $\{n\in \mathbb {N} |n{\text{ is a prime number}}\}=\{2,\,3,\,5,\,7,\,11,\,13,\ldots \}$ .

(d) $\left\{x\in \mathbb {R} |{\frac {12(x+2)(x{\sqrt {2}}-1)(x-1)(x-2)}{(x+2)-(x+4)}}\right\}=\left\{-2,{\frac {1}{\sqrt {2}}},\,1,\,2\right\}$ .

(e) $\left\{x\in \mathbb {N} |{\frac {12(x+2)(x{\sqrt {2}}-1)(x-1)(x-2)}{(x+2)-(x+4)}}=0\right\}=\{1,\,2\}$ .

(f) $\left\{x\in \mathbb {N} |2x+5=8\right\}=\emptyset$ .

解釋:

專案 (a)-(c)

這些大多不言自明。請注意，我們可以寫出兩種可能的答案。 $n\in \mathbb {Z}$ 和 $2n$ 都是表示式。但是，為了確保兩者等價，我們需要一個規則，以便表示式中的元素等於另一個表示式中的元素。類似於 (b)。

專案 (d)-(f)

一組解可以用以下表達式表示，其中 $x\in \mathbb {R}$ 或 $x\in \mathbb {N}$ 。規則就是方程本身，因為它描述瞭如何找到解集。這對於集合生成式表示法來說已經足夠了。要得到集合中的解，只需解方程。

{\begin{aligned}{\frac {12(x+2)(x{\sqrt {2}}-1)(x-1)(x-2)}{(x+2)-(x+4)}}&=0&{\text{(Original equation)}}\\{\frac {12(x+2)(x{\sqrt {2}}-1)(x-1)(x-2)}{-2}}&=0&{\text{(Distributive property)}}\\(x+2)(x{\sqrt {2}}-1)(x-1)(x-2)&=0&{\text{(Division property of equality)}}\end{aligned}}

根據零因子定理，

\Rightarrow x=-2,{\frac {1}{\sqrt {2}}},1,2

這就是顯式集合表示法派上用場的地方。因為自然數不包含負數、分數或平方根，所以自然數解集只有 $1,2$ 。

這種分析使我們能夠確定其中一個集合（參見專案 (f)）是空的，因此等價於空集， $\emptyset$ 。

檢驗你的理解

說明：一些問題將要求你在五個選項中選擇一個。對於這些問題，選擇最適合的選項。
有些問題將要求你在提供的方框中鍵入數字答案。
有些問題將要求你選擇一個或多個答案。

	如果 $a\in A$ ，並且 $\|A\|<\|B\|$ ，那麼 $A\in B$ 。
	如果任何 $a\in A$ ，那麼 $a\in B$ 。
	如果任何 $a\in \mathbb {N}$ ，那麼 $a\in A$ 。
	如果任何 $b\in B$ ，那麼 $b-1\in A$ 。
	如果 $b\in B$ ，並且 $\|B\|<\|A\|$ ，那麼 $B\in A$ 。

稍後新增更多問題。

比較集合

當然，許多集合與另一個集合相似。因此，許多數學家發現比較集合非常有用。這裡將列出一些詞彙術語。

定義：子集

假設 $P$ 和 $Q$ 是集合。如果每個元素 $p\in P$ 也在 $Q$ 中，那麼 $P$ 是 $Q$ 的 **子集**。寫成

P\subseteq Q

如果至少有一個元素 $p\in P$ 使得 $p\notin Q$ ，那麼 $P$ 不是 $Q$ 的子集，或者

P\nsubseteq Q

.

子集的概念非常簡單，但在比較兩個集合時卻非常強大。然而，許多學生在比較集合時可能會忽略符號的精確性。以下列舉了一些正確表達的示例，並附有相應的解釋。這種解釋將幫助您識別子集和非子集。

$\{1,3,2\}\subseteq \{1,2,3,4,5\}$ $\{1,3,2\}\subseteq \{1,2,3,4,5\}$ .
- 因為 $1,3,2\in \{1,2,3,4,5\}$ ， $\{1,2,3\}$ （集合）是 $\{1,2,3,4,5\}$ 的子集。
$\{1,3,2\}\subseteq \{1,2,3\}$ $\{1,3,2\}\subseteq \{1,2,3\}$ .
- 因為 $1,3,2\in \{1,2,3\}$ ， $\{1,2,3\}$ 是 $\{1,2,3\}$ 的子集。
$\{1,2\}\nsubseteq \{4,3,\{2,1\}\}$ $\{1,2\}\nsubseteq \{4,3,\{2,1\}\}$ .
- 雖然 $\{1,2\}\in \{4,3,\{2,1\}\}$ ，但集合 $\{1,2\}$ 的元素無法在集合 $\{4,3,\{2,1\}\}$ 中找到。換句話說， $1,2\notin \{4,3,\{2,1\}\}$ 。
$\{\{1,2\}\}\subseteq \{4,3,\{2,1\}\}$ $\{\{1,2\}\}\subseteq \{4,3,\{2,1\}\}$ .
- 因為 $\{1,2\}\in \{4,3,\{2,1\}\}$ ， $\{\{1,2\}\}\subseteq \{4,3,\{2,1\}\}$ 。如果你無法理解這一點，就令 $A=\{1,2\}$ 。請注意 $\{4,3,\{2,1\}\}=\{4,3,A\}$ 。因為 $\{2,1\}=A\in \{4,3,\{2,1\}\}=\{4,3,A\}$ ， $\{\{1,2\}\}\subseteq \{4,3,\{2,1\}\}$ .

另一個需要了解的定義是 **超集**。定義很複雜，但直觀理解卻很簡單。

定義：超集

假設 $P$ 和 $Q$ 是集合。如果 $P\subseteq Q$ ，則 $Q$ 是 $P$ 的 **超集**，記為

Q\supseteq P

如果 $P\nsubseteq Q$ ，則 $Q$ 不是 $P$ 的超集，或者

Q\nsupseteq P

.

以下將列出一些例子，並附有解釋。請注意它們與上面的例子相同。

$\{1,3,2\}\nsupseteq \{1,2,3,4,5\}$ $\{1,3,2\}\nsupseteq \{1,2,3,4,5\}$ .
- 因為 $\{1,2,3,4,5\}\nsubseteq \{1,3,2\}$ ， $\{1,3,2\}\nsupseteq \{1,2,3,4,5\}$ 。
$\{1,2,3,4,5\}\supseteq \{1,3,2\}$ $\{1,2,3,4,5\}\supseteq \{1,3,2\}$ .
- 因為 $\{1,3,2\}\subseteq \{1,2,3,4,5\}$ ， $\{1,2,3,4,5\}\supseteq \{1,3,2\}$ 。
$\{1,3,2\}\supseteq \{1,2,3\}$ $\{1,3,2\}\supseteq \{1,2,3\}$ .
- 因為 $\{1,2,3\}\subseteq \{1,3,2\}$ ， $\{1,3,2\}\supseteq \{1,2,3\}$ 。
$\{4,3,\{2,1\}\}\nsupseteq \{1,2\}$ $\{4,3,\{2,1\}\}\nsupseteq \{1,2\}$ .
- 因為 $\{1,2\}\nsubseteq \{4,3,\{2,1\}\}$ ， $\{4,3,\{2,1\}\}\nsupseteq \{1,2\}$ 。
$\{4,3,\{2,1\}\}\supseteq \{\{1,2\}\}$ $\{4,3,\{2,1\}\}\supseteq \{\{1,2\}\}$ .
- 因為 $\{\{1,2\}\}\subseteq \{4,3,\{2,1\}\}$ ， $\{4,3,\{2,1\}\}\supseteq \{\{1,2\}\}$ 。

檢驗你的理解

說明：對於以下每個給出的條件，將提供四到五行。確定適用於給定集合的正確定義，用於問題中提供的一個。一些問題需要多個正確答案，因此需要選擇多個選項。

組合集合

組合集合的過程非常有用，尤其是在機率的背景下。

定義：並集

假設 $P$ 和 $Q$ 是集合。集合 $P$ 和 $Q$ 的並集是集合 $P\cup Q=\{x|x\in P{\text{ or }}x\in Q\}$ 。

如果你想向一個五歲孩子解釋： “並集” 是一個包含了 $P$ 和 $Q$ 中所有東西的集合。

下面給出了一些例子，其中 $A=\{{\text{a}},{\text{b}},{\text{h}}\}$ ， $B=\{{\text{b}},{\text{d}},{\text{e}},{\text{f}}\}$ ，和 $C=\{{\text{c}},{\text{e}},{\text{g}}\}$ 。這些是所有集合的可能組合（不包括與自身集合的組合）。

$A\cup B=\{{\text{a}},{\text{b}},{\text{d}},{\text{e}},{\text{f}},{\text{h}}\}$
$A\cup C=\{{\text{a}},{\text{b}},{\text{c}},{\text{e}},{\text{g}},{\text{h}}\}$
$B\cup C=\{{\text{b}},{\text{c}},{\text{e}},{\text{g}},{\text{d}},{\text{f}}\}$
$A\cup B\cup C=\{{\text{a}},{\text{b}},{\text{c}},{\text{d}},{\text{e}},{\text{f}},{\text{g}},{\text{h}}\}$

定義：交集

假設 $P$ 和 $Q$ 是集合。集合 $P$ 和 $Q$ 的 **交集** 是集合 $P\cap Q=\{x|x\in P{\text{ and }}x\in Q\}$ 。

如果你想向一個五歲孩子解釋：**交集** 就是包含同時存在於 $P$ 和 $Q$ 的所有東西的集合。

下面給出了一些例子，其中 $A=\{{\text{a}},{\text{b}},{\text{h}}\}$ ， $B=\{{\text{b}},{\text{d}},{\text{e}},{\text{f}}\}$ ，和 $C=\{{\text{c}},{\text{e}},{\text{g}}\}$ 。這些是所有集合的可能組合（不包括與自身集合的組合）。

$A\cap B=\{{\text{b}}\}$
$A\cap C=\emptyset$
$B\cap C=\{{\text{e}}\}$
$A\cap B\cap C=\emptyset$

定義：差集

假設 $P$ 和 $Q$ 是集合。集合 $P$ 和 $Q$ 的 **差集** 是集合 $P-Q=\{x|x\in P{\text{ and }}x\notin Q\}$ 。

如果你想向一個五歲孩子解釋：**差集** 就是包含 $P$ 的元素，但排除掉同時存在於 $Q$ 或存在於 $Q$ 的元素的集合。

下面介紹了一些例子，其中 $A=\{{\text{a}},{\text{b}},{\text{h}}\}$ ， $B=\{{\text{b}},{\text{d}},{\text{e}},{\text{f}}\}$ ，以及 $C=\{{\text{c}},{\text{e}},{\text{g}}\}$ 。這些是所有可能的集合組合（不包括與自身集合的組合以及包含所有三個集合的組合）。

$A-B=\{{\text{a}},{\text{h}}\}$
$A-C=\{{\text{a}},{\text{b}},{\text{h}}\}$
$B-A=\{{\text{d}},{\text{e}},{\text{f}}\}$
$B-C=\{{\text{b}},{\text{d}},{\text{f}}\}$
$C-A=\{{\text{c}},{\text{e}},{\text{g}}\}$
$C-B=\{{\text{c}},{\text{g}}\}$

檢驗你的理解

邏輯導論

邏輯在許多領域都非常重要。但在數學中尤其重要，因為沒有這個工具，我們就無法提出定理或演算法。這就是為什麼我們特別重視這個工具的教學。雖然這不是哲學課，但我們會盡力教授你需要掌握的知識，以便我們能夠向你展示證明而不會遇到太多困難。

定義：邏輯

邏輯是正確推演資訊的流程，並不一定得到正確的資訊。

推演流程就是透過某種相關方式“連線”陳述的能力。

例如，我們知道亞里士多德是一個“grefunkle”，而“grefunkles”是“prostireoni”。因此，亞里士多德是一個“prostireonis”。

現在，“grefunkles”和“prostireoni”是虛構的詞語；這些東西並不存在。然而，我們所做的句子在邏輯上是正確的。請記住，邏輯並不需要正確的資訊，因此這個句子在邏輯上是正確的，而實際上並不正確。

陳述

邏輯必須從“陳述”開始。畢竟，我們提供的例子如果沒有“陳述”就不可能存在。

定義：陳述

陳述是一個句子或數學表示式或方程式，它要麼為真，要麼為假，沒有中間狀態。

定義：真值

真值是陳述真假性的命題。這些真值幾乎總是“真”或“假”，尤其是在經典邏輯中。

陳述需要某種“動詞”，主要是“陳述動詞”，如“是”或“是”。例如，“蘋果是藍色的”是一個陳述，因為它要麼為真，要麼為假（這裡，對於許多蘋果來說，它是假的）。問題不是陳述。下面提供更多示例。

每個偶數都可以被自身和二整除。真。
所有質數都是奇數。假。
比二十二少十二的數比結果少十二多二十二。真。
如果平行四邊形的一條邊長為 $p$ ，那麼平行四邊形的面積為 ${\frac {1}{2}}p^{2}$ 。錯誤。
等腰三角形的任意一條邊長等於另外兩條邊長的平方根。錯誤。
如果四邊形中只有一條邊與其對邊不平行，那麼它就是一個梯形。正確。

語句 #4 和 #6 是一種我們將在本節中非常詳細討論的語句型別。請牢記句子的形式以備將來參考。

請注意，語句 #4 包含一個變數 $p$ 。只要語句本身的真假不受變數代表的含義或變數的值的影響，語句就可以使用變數。我們將在本節中進一步討論這個問題。

此外，正如定義中所述，語句不必是句子。

$\pi =3.141519265358979...$ 正確
$\pi =2.718281828459045...$ 錯誤。
$2\in \mathbb {N}$ 正確
$2\in \mathbb {Z} ^{-}$ 錯誤。
$\{\}\subseteq \emptyset$ 正確
$\{\}\supseteq \emptyset$ 正確

請記住，您使用的數學表示式需要用我們描述的“陳述動詞”形式來表達。例如， $2\in \mathbb {N}$ 以更簡潔的形式表明 $2$ 是自然數集的元素，因此這是一個有效的語句。而 $\mathbb {N}$ （自然數集）就不是一個有效的語句。它沒有告訴我們任何資訊。

語句可以在證明甚至數學問題中多次使用。這就是數學家們開發工具，能夠用一個字母（通常是 $P,Q,R,S$ ）來宣告語句的原因。當需要超過四個語句時，會使用下標，儘管允許使用提供的字母之外的字母（即使這有些不合常規）。

$P:$ 單詞“cranberry”中包含兩個以上的不同字母。正確.
$Q:$ 任何三位數的各位數字之和都在 $1$ 和 $27$ 之間。正確。
$R:$ 任何兩個連續的素數之間相差六。錯誤。
$S(x,y):\{x,\{y\}\}\cap \{\{x\},y\}=\emptyset$ 。正確。

對於 $S(x,y)$ 來說，括號內的語句告訴我們，在一個語句中有兩個變數。這是一種記號，因為有時變數對於確定其真值非常重要。這將在稍後解釋。

作為一個經驗法則，如果一個句子沒有描述任何關於主語的內容，那麼它就不是一個語句。以下是一些非語句的示例。

集合 $S$ 和 $P$ 。
$S\cup P$ 是什麼？
$2+2$
${\frac {1}{2}}=2x-1$ .

最後一個要點對於不熟悉識別語句的學生來說是一個棘手的問題。有些人會說這是一個語句，因為 $2x-1$ 是否等於 ${\frac {1}{2}}$ 都是真的或假的。但是，如果你仔細想想，這個語句完全取決於 $x$ 的值。這被稱為開放語句。

定義：開放語句

開放語句是一個句子或數學表示式或方程，它取決於其變數的值。

回顧開放語句。令 $P(x):{\frac {1}{2}}=2x-1$ 。如果 $x={\frac {3}{4}}$ ，那麼 $P\left({\frac {3}{4}}\right)$ 為真。否則，它為假。這就是為什麼 $P(x)$ 不是一個語句。它取決於 $x$ 的值。一個語句需要是真或假，但不能是由於一個變化的因素造成的。

在處理語句時，需要討論的一個重要主題是否定。

定義：否定

給定一個命題 $P$ ，該命題的否定使其真值與其原始值相反。

當我們取一個命題並對其進行否定時，我們會使一個真命題變為假，或者使一個假命題變為真。以下是一些示例

每個偶數都不能被自身和 2 整除。假。
一些質數不是奇數。真。

第二個例子要求我們將“所有”改為“一些”。關於何時以及如何進行此操作的更多資訊將在後面介紹。

上面的例子來自開頭。請注意，我們如何使這些命題與其從一開始的真值相反。數學家經常使用這些，因此我們有一個表示它的符號。

符號：非或 它不是這種情況

給定一個命題 $P$ ， $R:\neg P$ （或 $R:\sim P$ ）(兩者都可以讀作“非 $P$ ”或“它不是這種情況 $P$ ”)，其真值僅取決於 $P$ ，其中此否定符號 $\neg$ 表示“非”或“它不是這種情況”。本教材更喜歡 $\neg$ 符號，但 $\sim$ 在證明類中使用得更多。

假設 $R:\neg P$ 。為了使 $R$ 的真值為 $T$ （真），需要 $P$ 為假。否則， $R$ 是 $F$ （假）。這可以使用這個簡單的真值表（一個顯示每個單獨語句的真值以及結果列的表）來進一步說明。

{\begin{array}{|c||c|}\hline P&\neg P\\\hline T&F\\F&T\\\hline \end{array}}

條件語句和雙條件語句的性質

條件語句

如果你想更深入地理解數學定理，你需要理解 **條件語句**。

定義：條件語句

以“如果 P 則 Q”（通常）的形式寫成的句子，其中 $Q$ 在 $P$ 真值條件下成立，被稱為 **條件語句**。只有當 $P$ 為真，但導致 $Q$ 為假時，條件語句才為假。

下面列出了該句子的其他表達方式。

" $Q$ 如果 $P$ "
" $P$ 只有當 $Q$ "
"只要 $P$ ，那麼也 $Q$ "
" $P$ 是 $Q$ 的充分條件"
" $Q$ 是 $P$ 的必要條件"

以下是一些例子。

如果你通過了這次期末考試，你就能透過這門課。
如果你學習西班牙語和文化，你就能去西班牙旅行。
只有當加芬克爾和普羅斯蒂雷奧尼之間至少過去了 100 年，加芬克爾才是普羅斯蒂雷奧尼。
只要你停電，你也會失熱。
創作好音樂是獲得 10 萬美元的充分條件。
成名是編寫最佳微積分教科書的必要條件。

條件語句有一個充分條件（在“如果”之後） - 或 **假設** - 和一個必要條件（在“則”之後） - 或 **結論**。這就是為什麼如果我們的真假設導致了假結論（結果與我們陳述的結論不同），那麼條件語句就是假的。

數學是條件語句的好朋友。以下是一些使用條件語句的常見語句。

如果一個直角三角形的直角邊長為 $a,b$ ，斜邊長為 $c$ ，則 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 。
$A\cap \emptyset =\emptyset$ 如果 $A$ 是一個有限集。
$f(x)$ 僅當 $f(a)=f(b)$ 對於某些實數 $a\neq b$ 時，才是單射。

由於這類語句非常重要，因此理解它們的工作原理非常必要。下面將介紹這些語句的簡寫符號。

符號：如果...那麼...

給定兩個語句 $P$ 和 $Q$ ， $R:P\Rightarrow Q$ （讀作“如果 $P$ 那麼 $Q$ ” 或 “ $P$ 蘊含 $Q$ ”）取決於 $P$ 和 $Q$ 的真值，其中這個“右箭頭”符號 $\Rightarrow$ 表示“蘊含”。

我們確定 $P\Rightarrow Q$ 真值的方法是編寫一個真值表。我們可以透過簡單地回顧條件語句的定義來確定真值表的每一行。

{\begin{array}{|c c||c|}\hline P&Q&P\Rightarrow Q\\\hline T&T&T\\T&F&F\\F&T&T\\F&F&T\\\hline \end{array}}

如果充分條件導致了陳述的結論，則條件語句為真。這就是為什麼第二行給了我們一個錯誤的真值的結果。這仍然解釋了最後兩個語句：如果我們有一個錯誤的假設，但結論是正確的，那麼無論哪種方式，都發生了真實的事情，但不是假設的結果。只要結論為真，假設並不一定需要條件語句為真。最後，每當一個錯誤的假設導致一個錯誤的結論時，那麼這使得條件語句為真，因為錯誤的東西導致錯誤的東西本身就是對條件語句的確認。

示例 2.2(a)：一個嚴格的規則遵循者。

進入或留在某個特定兒童音樂俱樂部的規則共有六條。如果這些規則中至少有一條不適用於學生，他們將被安排到青少年音樂俱樂部（由規則第 5 條涵蓋），或者如果年齡未滿 12 歲，將獲得一個月的寬限期。如果一個人身在兒童音樂俱樂部或青少年音樂俱樂部，則不會實行一個月的寬限期。

為了進入，一個人必須年滿 12 歲或更小。
如果一個人年齡大於 12 歲，那麼這個人只能教年輕的音樂家。
只有當你每月至少三次演奏 3 級或更高等級的音樂時，3 級或更高等級的音樂才能讓你自動獲得資格。
在年底透過強制性的音樂理論考試足以維持在兒童音樂俱樂部。
對於年齡大於 12 歲的學生，身在青少年音樂俱樂部是必要的。
在確定等級上以“優異”等級演奏是留在兒童音樂俱樂部所必需的。

下面的專案 (a)-(d) 包含一些情況。根據他們的描述，確定是否有足夠的理由將這些人踢出俱樂部（無論暫時或永久）。為以下每個年輕人提供一個理由。否則，說明該個人被允許留下。

(a) 喬治 13 歲，每月三次演奏 3 級或更高等級的音樂。

(b) 米蘭達 10 歲，在年底的音樂理論考試中不及格。演奏 2 級音樂，評級為“優秀”。

(c) 卡洛斯通過了音樂理論考試，9 歲。演奏 1 級音樂，評級為“優異”。

(d) 保羅 13 歲，是兒童音樂理論的首席教師。演奏 4 級音樂。

專案 (e)-(f) 要求你回答有關所提供情況的幾個問題。回答專案 (e)-(f)。

(e) 是否存在一種情況，使得無法確定學生是否可以留在兒童音樂俱樂部？如果可能，這種情況是什麼？

(f) 將規則第 2 條改寫為等效的語句，不使用“如果...那麼...”形式。

答案:

(a) 喬治被拒絕進入兒童音樂俱樂部，並因未擔任教師而被安排到青少年音樂俱樂部。

(b) 米蘭達因未能透過音樂理論測試以及未能獲得一級音樂的優良評級，被拒絕參加兒童音樂俱樂部一個月。

(c) 卡洛斯可以繼續留在兒童音樂俱樂部。

(d) 保羅可以繼續留在兒童音樂俱樂部。

解釋

更多內容將在稍後新增。

雙條件語句

條件語句也有其不同的、不等價的形式。這些語句不等價，因為它們的真值可能不同。注意，僅僅透過交換結論和假設，最終結果就會不同。

{\begin{array}{|c c||c||c|}\hline P&Q&P\Rightarrow Q&Q\Rightarrow P\\\hline T&T&T&T\\T&F&F&T\\F&T&T&F\\F&F&T&T\\\hline \end{array}}

透過這種蠻力方法，我們能夠證明這些語句不等價。如果 $P$ 和 $Q$ 都為真，則這兩個語句是等價的。然而，這兩個語句的真值取決於語句本身。現實生活中的例子很少見。

這裡有一個條件語句，它的逆命題為真：“如果一個短語是色彩的，那麼它包含半音間隔的音符。”該語句的逆命題是“如果一個短語包含半音間隔的音符，那麼該短語是色彩的。”之所以如此，是因為色彩短語，根據定義，使用半音間隔的音符，因此 $P\Rightarrow Q$ （條件語句）和 $Q\Rightarrow P$ （逆命題）都是真的。

在條件語句和逆命題都為真的情況下，你將得到一個雙條件語句。

定義：雙條件語句

一個雙條件語句是一個句子、數學表示式或方程，其中條件語句 $P\Rightarrow Q$ 和逆命題 $Q\Rightarrow P$ 對 $P{\text{ and }}Q$ 的任何組合都為真。

雙條件語句要求條件語句為真。因此， $P$ 僅當 $Q$ 。然而，逆命題也為真，因此 $P$ 如果 $Q$ 。因此，我們說一個語句是雙條件的，透過說明“ $P$ 當且僅當 $Q$ 。”

符號：雙條件語句

雙條件語句可以用以下符號表示： $P\Leftrightarrow Q$ （讀作“ $P$ 當且僅當 $Q$ ” 或 “ $P$ 等價於 $Q$ ”）。

因為它要求 $P\Rightarrow Q$ 和 $Q\Rightarrow P$ 為真，這意味著中間行將為假。因此，得出以下真值表

{\begin{array}{|c c||c|}\hline P&Q&P\Leftrightarrow Q\\\hline T&T&T\\T&F&F\\F&T&F\\F&F&T\\\hline \end{array}}

下一節將詳細介紹為什麼這是正確的。

稍後將提供更多資訊。

條件語句的相關形式

條件語句的相關形式非常重要。但是，一些證明課程忽略了條件語句的不同形式。然而，有時證明條件語句需要證明所有三種相關形式。

定義：逆否命題

逆否命題是透過交換假設和結論形成的句子或數學表示式或等式。它的形式為 $Q\Rightarrow P$ ，其中結論為 $Q$ ，假設為 $P$ ，它們是原始條件語句中的。

定義：逆命題

逆命題是透過否定假設和結論形成的句子或數學表示式或等式。它的形式為 $\neg P\Rightarrow \neg Q$ ，其中結論為 $Q$ ，假設為 $P$ ，它們是原始條件語句中的。

定義：逆否命題

逆命題 是一個句子、數學表示式或方程式，透過否定假設和結論，並將它們否定的陳述互換得到。它具有以下形式： $\neg Q\Rightarrow \neg P$ ，其中結論為 $Q$ ，假設為 $P$ ，它們存在於原始條件語句中。

數學家的工作是測試他們陳述的極限，找出哪些是真哪些是假。

相關陳述中有一些屬性並不常被教授。然而，我們認為至少在某種程度上理解這些陳述的存在，以及它們之間可能存在一些邏輯等價關係，是相當重要的。

屬性：條件語句和逆否命題在邏輯上是等價的

如果一個條件語句 $P\Rightarrow Q$ 為真，那麼逆否命題 $\neg Q\Rightarrow \neg P$ 也為真。

一個很好的方法是透過真值表來理解這個屬性。

{\begin{array}{|c c||c||c|}\hline P&Q&P\Rightarrow Q&\neg Q\Rightarrow \neg P\\\hline T&T&T&T\\T&F&F&F\\F&T&T&T\\F&F&T&T\\\hline \end{array}}

希望很明顯為什麼它們是相關的陳述。因為 $Q$ 的否定和 $P$ 的否定，以及假設和結論的順序，都要求真值相應地改變。因此，這些陳述在邏輯上是等價的。

逆命題和否命題也可以用同樣的方法來證明。

{\begin{array}{|c c||c||c|}\hline P&Q&Q\Rightarrow P&\neg P\Rightarrow \neg Q\\\hline T&T&T&T\\T&F&T&T\\F&T&F&F\\F&F&T&T\\\hline \end{array}}

屬性：否命題和逆命題在邏輯上是等價的

如果逆命題 $Q\Rightarrow P$ 為真，那麼逆命題 $\neg P\Rightarrow \neg Q$ 也為真。

更多內容將在稍後新增。

組合陳述

在生活中，我們經常需要思考包含兩個陳述的陳述的真假。例如，“燈亮著，而且燈滅著”。這個陳述顯然是假的。我們怎麼知道？因為“而且”這個詞。

令 $A$ 為：“燈亮著並且燈關著”。請注意，由於連線詞並且，我們可以將一個大的語句分成兩個小的語句。因此，令 $P$ 為：“燈亮著”，而 $Q$ 為：“燈關著”。根據英語，"on" 和 "off" 的意思相反。然而，燈泡只能處於亮著或關著的狀態。因此，如果 $P$ 為真，則 $Q$ 預設情況下為假。因此， $R$ 為假。

將語句組合在一起的過程在證明中非常有用。由於這些組合本身就是定義的，我們不需要證明它們。最後，由於這種組合完全基於英語，因此可以很容易地確定語句的真假。

基於我們在介紹性示例中所做的事情，讓我們概括一下我們所做的。

符號：並且

給定兩個語句 $P$ 和 $Q$ ， $R:P\wedge Q$ （讀作 $P$ 並且 $Q$ ）的真值取決於 $P$ 和 $Q$ ，其中這個 "∧" 符號 $\wedge$ 表示 "並且"。

假設 $R:P\wedge Q$ 。為了使 $R$ 的真值為 $T$ （真），需要 $P$ 為真並且 $Q$ 為真。如果其中一個為假，或兩者都為假，則 $R$ 為 $F$ （假）。這可以透過使用真值表進一步說明。

{\begin{array}{|c c||c|}\hline P&Q&P\wedge Q\\\hline T&T&T\\T&F&F\\F&T&F\\F&F&F\\\hline \end{array}}

符號：或者

給定兩個語句 $P$ 和 $Q$ ， $R:P\vee Q$ （讀作 $P$ 或 $Q$ ）的真值取決於至少一個， $P$ 或 $Q$ 的真值，其中這個“vee”符號 $\vee$ 表示“或”。

假設 $R:P\vee Q$ 。為了使 $R$ 的真值為 $F$ （假），則需要 $P$ 為假並且 $Q$ 為假。如果其中一個為真，或兩個都為真，那麼 $R$ 為 $T$ （真）。這可以使用真值表進一步說明。

{\begin{array}{|c c||c|}\hline P&Q&P\vee Q\\\hline T&T&T\\T&F&T\\F&T&T\\F&F&F\\\hline \end{array}}

透過使用這些連詞和真值表，我們可以輕鬆地確定一個開句何時為真，以及一個語句是真還是假。

示例 2.3(a)：在句子和語句中尋找真值。

閱讀下面有人聲稱對任何 $(a,b)$ 始終為假的開句。

$a$ 為負數， $b$ 為正數，但 $a-b\neq 0$ 。

回答以下 (a) - (c) 項。

(a) 用符號表示法寫出這個語句。

(b) 找一個反例。如果可能，有多少個可能的反例存在？如果不可能，請解釋原因。

(c) 對於這種組合，有多少個可能的假真值存在？

答案:

(a)

(a<0)\wedge (b>0)\wedge \neg (a-b=0)

(b) 令

b=2

且

a=-1

。

-1-(2)=-3\neq 0

，這是真的。只要

a<0

且

b>0

，這個開句在無數情況下都是假的。

(c) 7。

解釋

(a)：因為 $a$ 為負數，所以 $a<0$ 。因為 $b$ 為正數，所以 $b>0$ 。最後，因為 $a-b\neq 0$ ，這意味著 *並非* $a-b=0$ ，所以 $\neg (a-b=0)$ 。根據英語語言，我們知道這些語句彼此協調一致，因此所有語句都以 *和* 連線在一起。 *但* 只是 *和*，只是強調而已。

(b)：解釋已在 *答案* 中給出。

(c)：因為有三個變數，並且每個變數都可以是 $T$ 或 $F$ 真值，所以最終的開句可能有 $2\cdot 2\cdot 2=2^{3}=8$ 種可能的真值。最有效的方式是用真值表來檢查有多少個可能的開句是假的。

{\begin{array}{|c c c||c||c||c|}\hline P&Q&R&P\wedge Q&\neg R&P\wedge Q\wedge \neg R\\\hline T&T&T&T&F&F\\T&T&F&T&T&T\\T&F&T&F&F&F\\T&F&F&F&T&F\\F&T&T&F&F&F\\F&T&F&F&T&F\\F&F&T&F&F&F\\F&F&F&F&T&F\\\hline \end{array}}

更多內容將在稍後新增。

邏輯等價

更多內容將在稍後新增。

符號邏輯

更多內容將在稍後新增。

量詞

更多內容將在稍後新增。

證明數學性質

應用實數定律驗證和證明數學性質

示例 3.1(a): 驗證

{\frac {a+b}{c}}={\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}

，其中

c\neq 0

.

驗證是一項簡單的任務，因為你只需要重寫上面的等式，只改變一邊。因為只有一邊改變，你可以對該邊應用一系列傳遞性質，直到你達到最終的結論：一個簡單的語句作為等式本身的屬性。這可能比解釋更容易展示，所以只需跟著我們一起做就可以了。

(3.1.1.1) ${\frac {a+b}{c}}={\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}$

根據除法的定義， ${\frac {a}{c}}=a(c)^{-1}$ 。由於這對右表示式中找到的每個除法都適用，(3.1.1.1) 可以改寫為以下形式

(3.1.1.2) ${\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}=a(c)^{-1}+b(c)^{-1}$

注意等式右邊每一項都包含一個因子 $c^{-1}$ 。因為這是真的，所以等式右邊也有以下結論。

(3.1.1.3) $a(c)^{-1}+b(c)^{-1}=c^{-1}(a+b)$

根據除法的定義，等式右側等效於 ${\frac {a+b}{c}}$ ，所以

(3.1.1.4) $c^{-1}(a+b)={\frac {a+b}{c}}$

注意此處的等式鏈如何與每個等式連線。由於 (3.1.1.3) 和 (3.1.1.4) 成立，我們知道以下等式成立

(3.1.1.5) $a(c)^{-1}+b(c)^{-1}={\frac {a+b}{c}}$

因為 (3.1.1.2) 和 (3.1.1.5) 成立，我們知道以下等式成立，依此類推

(3.1.1.6) ${\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}={\frac {a+b}{c}}$

(3.1.1.7) ${\frac {a+b}{c}}={\frac {a+b}{c}}$

如 (3.1.1.7) 所示，我們已經驗證了該命題的真值，因此問題得到解決。以下的“等式鏈”也許可以展示這種“僅改變一側”的鏈式變化。

{\begin{aligned}{\frac {a+b}{c}}&={\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}\\&=a(c)^{-1}+b(c)^{-1}&{\text{Definition of fractions.}}\\&=c^{-1}(a+b)&{\text{Factor }}c^{-1}{\text{ from }}a(c)^{-1}+b(c)^{-1}{\text{.}}\\&={\frac {a+b}{c}}&{\text{Definition of fractions.}}\end{aligned}}

重要的是要注意上述示例中提示中出現的指令動詞的語言。要求考生進行“驗證”，實際上是對考生理解如何僅透過有效地改變一側來使某個陳述“成立”的測試。

在上面的示例中，我們決定改變等式 (3.1.1.1) 的右側。這裡有一個問題要問讀者：“為什麼我們決定只改變那一側？”如果你能在接下來的兩個示例之前精確地回答這個問題，那麼就可以推斷出這位學生理解如何驗證文字方程。

注意：儘管這是一個重要的技能，但在選擇題考試中不可能展示這種理解能力。然而，數學家的旅程是對所做陳述的懷疑。如果你不知道證明或驗證，你就不能完全認為一個陳述是正確的。

例 3.1(b)：在

12x-12=11x

中驗證

x=12

。

此方程不是文字方程，因此不需要只改變一側來變成另一側。然而，也不需要求解這個一元一次方程。相反，最簡單的方法可能是直接將 $x=12$ 代入上述方程。我們將這樣做。

12(12)-12=11(12)

144-12=132

132=132

由於等式兩邊相等，我們已經驗證了 $x=12$ 是正確的。

稍後會新增一個額外的例子。

例 3.1(d): 證明

{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}

，其中

ac\nmid bd

，

bd\neq 0

，

a,b,c,d\in \mathbb {Z}

，以及

\gcd(b,d)=1

。

這個問題與之前的問題略有不同，因為考生需要透過給定資訊來證明某些東西是正確的，並且透過從基本屬性推匯出不同的公式和方程式來證明某些東西是正確的。這裡測試的是數學表達的重要性。數學家需要描述給定的資訊，否則證明將不會以演繹推理的形式邏輯地進行。

我們不能沿用之前兩個問題的策略。這是因為我們試圖傳達的是，一個陳述是毫無疑問的真理！對於驗證，我們可以假設最終的陳述是正確的，並因此從我們開始的地方反向推導。但是，當證明某些東西時，我們必須表明，當只給出一種陳述時，我們可以完全推匯出另一邊，而無需從我們開始的地方反向推導。理解這種區別至關重要！

讓我們首先從將表示式 ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}$ 改寫成等效形式開始

(3.1.1.8) ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}=a(b)^{-1}\cdot c(d)^{-1}$

請注意，我們可以應用乘法的一個性質，即實數（以及擴充套件到整數）的乘法是結合的。因此，我們可以將 (3.1.1.8) 改寫為以下形式

(3.1.1.9) $a(b)^{-1}\cdot c(d)^{-1}=a\cdot c\cdot b^{-1}\cdot d^{-1}$

(3.1.1.9) 包含項 $b^{-1}d^{-1}$ 。我們可以應用一個性質（在指數章節中證明過），即 $b^{-1}\cdot d^{-1}=(bd)^{-1}$ 。因此，我們瞭解到

(3.1.1.10) $a\cdot c\cdot b^{-1}\cdot d^{-1}=ac\cdot (bd)^{-1}={\frac {ac}{bd}}\blacksquare$

至此，我們完成了證明。

這裡，證明和驗證之間存在一個非常細微的差別。如果要求我們驗證上面的陳述，我們會假設這裡給出的資訊是正確的，並且只改變一邊。但是，請注意我們在例 3.1.d中如何開始證明的：“讓我們首先從改寫表示式開始……”

在證明中，從結論開始絕對是錯誤的，不應該允許，因為這種論證是迴圈的！在處理演繹證明時，我們從給定的資訊開始，並嘗試從我們開始的地方推匯出一個真實的陳述。這是演繹證明的基本性質之一。

通常，在證明中，尤其是在演繹證明中，有兩種必須牢記的原則，這對進一步理解的發展至關重要：一個“普遍命題”，例如定理或定義，將蘊涵一個“單一命題”，例如前提、結論或中間結論。要麼就是，一個單一命題蘊涵另一個單一命題。

在這個證明中，前者是正確的（一個普遍命題蘊含了一個單一命題）。透過這樣的操作，我們可以驗證這個證明的有效性。雖然人們可能不會將此稱為嚴格意義上的正式證明，但這樣的證明確實是根據經過驗證的公理推匯出來的，而且由於這些公理是正確的，並且導致了真值語句，所以這個證明是有效的。

隨著學生進一步探索數學，證明原理和證明的形式化在數學家的一生中將變得非常重要。在探索這些概念時，更深入的理解將必不可少，其中需要進一步考察邏輯，對不同型別的證明進行分類、解釋和使用，有時思考幾乎沒有延遲。

雖然本書並非旨在進一步探索或解釋一般的證明，但本書確實試圖在學生進入離散數學課程之前，進一步鞏固他們對這些概念的基礎。

例 3.1(e)：證明

{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+cb}{bd}}

，其中

(ab+cd)\nmid bd

，

bd\neq 0

，

(a,b,c,d)\in \mathbb {Z}

，以及

\gcd(b,d)=1

.

讓我們首先從給定的條件開始： ${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}$ 。證明中常用的一個技巧是找到一種方法來改變表示式，使我們更容易操作，而不會改變表示式本身的意義。例如，如果有人想要找到 $2x+5=10$ 的解，人們可能想要隔離變數 $x$ 。然而，如果 5 擋在中間，就無法做到這一點，所以人們可以減去 5。這將改變等式的意義，除非它也被應用到等式的另一邊。

同樣的原理也可以應用到證明中。以下是數學家使自己更容易操作的一些常用方法。令 $xyz$ 為一個感興趣的表示式

人們可以對 $xyz$ 平方，然後開平方根： $xyz={\sqrt {(xyz)^{2}}}$ .
人們可以取 $xyz$ 的自然對數，然後在指數中使用底數 $e$ ： $xyz=e^{\ln(xyz)}$ .
人們可以給 $xyz$ 加上一個常數，然後再次減去該常數： $xyz=xyz+c-c$ .
可以將一個常數 $xyz$ 乘以一個常數，然後將常數除掉： $xyz=xyz\cdot {\frac {c}{c}}$ 。

最後一個要點將是我們在這個證明中使用的技巧。畢竟，我們處理的是分數。但是，這個常數不能只是一個數字。我們要聰明一點，選擇一個能消除某些項的數字。從長遠來看，這將使我們的生活更輕鬆。

首先，我們從陳述等式公理開始（一個專案必須等於它本身）

(3.1.1.11) ${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}$

從那裡，我們將 ${\frac {bd}{bd}}$ 乘以右側。畢竟，這將簡化為 (3.1.1.11)，所以沒有任何變化。

(3.1.1.12) ${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}=\left({\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}\right){\frac {bd}{bd}}$

接下來，將分配律應用於 (3.1.1.12) 的右側。

(3.1.1.12) $\left({\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}\right){\frac {bd}{bd}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {bd}{bd}}+{\frac {c}{d}}\cdot {\frac {bd}{bd}}$

這是證明中的特殊部分。請注意，有兩個項，其中兩個分數分別乘以另一個分數。我們可以使用我們在 示例 3.1.d 中證明的性質。

(3.1.1.13) ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {bd}{bd}}+{\frac {c}{d}}{\frac {bd}{bd}}={\frac {a\cdot {\color {Red}b}d}{{\color {Red}b}\cdot bd}}+{\frac {c\cdot b{\color {Red}d}}{{\color {Red}d}\cdot bd}}$

與之前一樣，我們將所有以紅色顯示的項標記為可以約分的項。我們將把這作為一項簡單的練習留給讀者去證明它是正確的。這給了我們下面的方程。

(3.1.1.14) ${\frac {a\cdot bd}{b\cdot bd}}+{\frac {c\cdot bd}{d\cdot bd}}={\frac {ad}{bd}}+{\frac {bc}{bd}}$

我們可以將 (3.1.1.14) 最右側重寫為 $ad{\color {Blue}(bd)^{-1}}+bc{\color {Blue}(bd)^{-1}}$ 。可分解的項以藍色顯示。因此，我們知道以下內容可以重寫為最終方程。

(3.1.1.15) ${\frac {ad}{bd}}+{\frac {bc}{bd}}=(bd)^{-1}(ac+bc)={\frac {ad+bc}{bd}}\blacksquare$

上面所有的論證可以濃縮成以下簡潔的論證

{\begin{aligned}{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}&={\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}&({\text{Equality postulate.}})\\&=\left({\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}\right){\frac {bd}{bd}}&\left({\frac {bd}{bd}}=1\right)\\&={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {bd}{bd}}+{\frac {c}{d}}\cdot {\frac {bd}{bd}}&({\text{Distributive property.}})\\&={\frac {abd}{b\cdot bd}}+{\frac {cbd}{d\cdot bd}}\\&={\frac {ad}{bd}}+{\frac {bc}{bd}}\\&=ad(bd)^{-1}+bc(bd)^{-1}\\&=(bd)^{-1}(ad+bc)&\left({\text{Factor }}(bd)^{-1}{\text{.}}\right)\\&={\frac {ad+bc}{bd}}\blacksquare \end{aligned}}

將實數定律應用於推匯出新的數學性質

證明不僅對代數語句有用，而且對一般的數學性質也很有用。這些性質可能比代數語句更實用，因為實數定律本身總是正確的。雖然實證證據能滿足科學家，但數學家在這方面有所不同。

如果我們發現某個地方存在數學“性質”為假的情況，那麼我們需要修改該陳述。從那時起，我們需要對其他使用該性質的專案進行相同的修改，其中可能包括絕對陳述，例如定理。如果特定位置失效，並且該特定位置是證明的關鍵，那麼該定理的證明將自動失效。我們不希望這種“多米諾骨牌效應”發生，因此我們必須透過演繹（或歸納，我們不會討論）來證明陳述的真實性。

讓我們再次看看除法性質。

示例 3.2(a)：檢查下面列出的兩個除法性質。嘗試找出證明中可能存在的錯誤。