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絕對收斂與條件收斂

絕對收斂和條件收斂適用於所有級數，無論級數是否所有項都為正，或者有些項為正有些項為負（但級數不需要是交替級數）。

具有正項和負項（包括交替級數）的級數的一個獨特之處在於絕對收斂或條件收斂的問題。一旦確定了級數的收斂性，那麼確定級數絕對值的收斂性就可以告訴你它是絕對收斂還是條件收斂。形式上，它看起來像這樣。

絕對收斂與條件收斂的定義

假設$\textstyle {\sum {a_{n}}}$是一個收斂級數。

• 如果$\textstyle {\sum {\left|a_{n}\right|}}$收斂，則$\textstyle {\sum {a_{n}}}$絕對收斂。

• 如果$\sum {\left|a_{n}\right|}$發散，則$\sum {a_{n}}$條件收斂。

這是一個以略微不同的方式總結這些概念的表格。

$\textstyle {\sum {a_{n}}}$	$\textstyle {\sum {\left|a_{n}\right|}}$	結論
收斂	收斂	$\textstyle {\sum {a_{n}}}$絕對收斂
收斂	發散	$\textstyle {\sum {a_{n}}}$條件收斂

有一點需要注意的是，所有正項級數都絕對收斂，因為對於所有$n$，$a_{n}=|a_{n}|$。

絕對收斂定理

該定理利用了上表的第一行，這使得我們可以考慮正項級數的散度。

如果級數$\textstyle {\sum {\left|a_{n}\right|}}$收斂，則級數$\textstyle {\sum {a_{n}}}$也收斂。

或者，可以先確定級數絕對值的收斂性。然後，如果級數的絕對值收斂，則可以使用絕對收斂定理來說明交錯級數也收斂，並且是絕對收斂的。

此外，如果有一個級數包含一些負項（但不是全部），並且它不是交錯級數，則可以使用該定理來確定收斂性。具體來說，如果級數的絕對值收斂，則該級數將收斂。請注意，該定理沒有說明散度，因此如果該定理不成立，則不能對收斂或散度做出任何假設。

理解定理

讓我們瞭解一下為什麼這個定理有效。首先，讓我們考慮一下級數$\sum {a_{n}}$，它包含正項和負項。當我們把這些項加起來時，我們將新增一些正項並減去其他項（負項）。將其與級數$\sum {\left|a_{n}\right|}$進行比較。在這個級數中，我們邊加邊求和，即我們新增所有正項，然後在新增負項之前先取它們的絕對值。因此，這個級數的每個部分和都大於前一個級數的部分和。因此，當我們繼續計算部分和時，我們可以說第二個和大於第一個和。所以如果較大的和收斂，較小的和也必須收斂。

這裡有一個簡單的例子，應該可以讓你直觀地感受到這一點。
對於這個有限的交錯級數$1-2+3-4+5=3$。
現在計算該級數的絕對值，得到$1+2+3+4+5=15$
如果我們總是相加而不是相減，那麼絕對值級數的和將始終更大。在無限和的情況下，如果較大的級數收斂，那麼較小的級數也必然收斂。
注意 - 這不是該定理的正式證明。它只是一個讓你對它有感覺的例子。

影片推薦

這段影片剪輯對絕對收斂進行了很好的討論，包括使用一些例子。請注意，他沒有使用條件收斂這個術語。相反，他只是說這個級數不是絕對收斂的。
交錯級數和絕對收斂

這是一個關於絕對收斂和條件收斂的另一個簡短影片剪輯[2分鐘]解釋。
絕對收斂、條件收斂和發散

條件收斂無限級數的怪異結果

你可能已經知道，當你開始處理無限的數字時，就會發生奇怪的事情。對於條件收斂的無限級數來說，情況肯定如此。奇怪的是，當你重新排列求和時，你可以得到級數收斂到的不同值，即數字的交換律不成立！哇！

事實上，你不僅可以得到不同的值，還可以重新排列一個條件收斂的無限級數，以得到我們想要的任何數字，包括零和無窮大！這被稱為黎曼級數定理。
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