微積分

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微積分

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• 簡介
• 貢獻
• 資源

預備微積分

1.1 代數

1.2 函式

1.3 三角函式

1.4 函式圖形

1.5 有理函式

1.6 圓錐曲線

1.7 練習

1.8 雙曲對數和角度

極限

2.1 極限簡介

2.2 有限極限

2.3 無限極限

2.4 連續性

2.5 極限的形式定義

2.6 一些基本極限規則的證明

2.7 練習

微分

微分基礎

3.1 微分的定義

3.2 乘積法則和商法則

3.3 三角函式的導數

3.4 鏈式法則

3.5 高階導數：二階導數簡介

3.6 隱函式微分

3.7 指數函式和對數函式的導數

3.8 雙曲函式的導數

3.9 一些重要定理

3.10 練習

導數的應用

3.11 洛必達法則

3.12 極值和拐點

3.13 牛頓法

3.14 相關變化率

3.15 最佳化

3.16 尤拉方法

3.17 函式值逼近

3.18 練習

積分

函式 f(x) 從 x=0 到 x=a 的定積分等於曲線從 0 到 a 的面積。

積分基礎

4.1 定積分

4.2 微積分基本定理

4.3 不定積分

4.4 反常積分

積分技巧

從下到上:

• 加速度函式 a(t);
• 加速度的積分是速度函式 v(t);
• 速度的積分是距離函式 s(t)。

4.5 無窮級數

4.6 導數規則和換元法

4.7 分部積分法

4.8 三角代換法

4.9 三角積分

4.10 部分分式分解法

4.11 半形正切代換法

4.12 降階公式

4.13 無理函式

4.14 數值逼近

4.15 練習

積分應用

4.16 面積

4.17 體積

4.18 旋轉體的體積

4.19 弧長

4.20 表面積

4.21 功

4.22 質心

4.23 壓力和力

4.24 機率

引數方程和極座標方程

引數方程

5.1 引數方程簡介

5.2 引數方程的微分

5.3 引數方程的積分

極座標方程

5.5 極座標方程簡介

5.6 極座標方程的微分

5.7 極座標方程的積分

數列和級數

數列

6.1 數列的定義

6.2 數列

級數和檢驗方法

6.3 級數的定義

6.4 級數

6.5 發散檢驗

6.6 比值檢驗

6.7 極限比較檢驗

6.8 直接比較檢驗

6.9 積分檢驗

收斂性

6.10 絕對收斂和條件收斂

級數與微積分

6.11 泰勒級數

6.12 冪級數

6.13 萊布尼茨公式

練習題

6.14 練習題

多元微積分

這是使用三維球座標系計算給定形狀體積的示例

多元微積分導論

7.1 向量

7.2 空間曲線和曲面

7.3 向量函式

7.4 多元微積分導論

微分

7.5 極限與連續性

7.6 偏導數

7.7 鏈式法則和克萊羅定理

7.8 鏈式法則

7.9 方向導數和梯度向量

• 多元最佳化：拉格朗日乘子
• 矩陣微積分

7.10 多元函式的導數

7.11 反函式定理，隱函式定理 (可選)

積分

7.12 多重積分

• 舊: 二重積分

7.13 變數替換

向量微積分

7.14 向量微積分

7.15 向量微積分恆等式

7.16 向量微積分運算元的反演

7.17 點、路徑、曲面和體積

7.18 亥姆霍茲分解定理

7.19 向量微積分的離散模擬

7.20 練習

微分方程

8.1 常微分方程

8.2 偏微分方程

擴充套件

高階積分技巧

9.1 復化積分

進一步分析

9.2 常微分方程組

微積分的形式理論

9.3 實數

9.4 複數

9.5 雙曲角

參考文獻

• Lester R. Ford, Sr. & Jr. (1963) 微積分, McGraw-Hill via HathiTrust
• w:Mellen W. Haskell (1895) 關於引入雙曲函式的概念 美國數學會通報 1(6):155–9.

• 三角函式表
• 求和符號
• 導數表
• 積分表