微積分/圓錐曲線

用平面擷取圓錐的三種方法。注意圓是橢圓的一種特殊形式。

圓錐曲線是圓錐表面與平面的交線。有三種擷取方式。第一種方法是垂直擷取圓錐，交線將得到雙曲線。第二種方法是平行於圓錐最外側線的平面擷取圓錐，交線將得到拋物線。第三種方法是水平或略微水平地擷取圓錐，交線將得到橢圓。有關更多資訊，請參閱 圓錐曲線。如果你熟悉這個特定主題，你可以幫助擴充套件 這裡。

在以後的章節中，你將更多地接觸到圓錐曲線。當你深入極座標、引數方程和三維二次曲面時，圓錐曲線將再次成為一個難以討論的主題。在本節中，我們只討論基本的笛卡爾座標圓錐曲線。

標準方程

橢圓

橢圓是一種具有有趣性質的形狀。為了找到橢圓的標準方程，我們必須知道什麼是橢圓。除了傾斜平面與圓錐表面的交線外，還有另一種構造橢圓的方法。

橢圓的定義

橢圓是圍繞兩個焦點的一條平面曲線，使得曲線上的所有點到這兩個焦點的距離之和為常數。

或者，假設點 $F_{1}=(c_{x1},c_{y1})$, $F_{2}=(c_{x2},c_{y2})$, 和 $P=(x,y)$，其中 $c$ 是一個常數。橢圓是滿足以下條件的點集

$P\in \{(x,y):PF_{1}+PF_{2}=C,C\in \mathbb {R} \}$

右側的影像是橢圓的圖形。如果存在點 $P=(x,y)$，則 $PF_{1}+PF_{2}=C$，其中 $C$ 是一個常數。

瞭解了橢圓的定義特徵，我們可以開始尋找方程。

橢圓：符號

推導

為了簡化，我們將橢圓的中心設在原點，點 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 位於 $x$ 軸上。 （參見右側影像）

由於 $PF_{1}+PF_{2}=C$ 並且 $F_{1}=(c,0),F_{2}=(-c,0),P=(x,y)$，使用距離公式，我們可以得到

$PF_{1}={\sqrt {(x-c)^{2}+(y-0)^{2}}}={\sqrt {x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}}}$

$PF_{2}={\sqrt {(x+c)^{2}+(y-0)^{2}}}={\sqrt {x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}}}$

$PF_{1}+PF_{2}={\sqrt {x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}}}$

現在對於常數 $C$。令長半軸的長度為 $a$，短半軸的長度為 $b$。想象一下點 $P$ 現在位於頂點，所以 $P_{0}=(a,0)$。在這個特定的點上，

$P_{0}F_{1}=a-c$

$P_{0}F_{2}=a+c$

$\therefore C=P_{0}F_{1}+P_{0}F_{2}=2a$

因為定義指出，對於任意 $P$，$PF_{1}+PF_{2}=C$，我們可以放心地說 $C=2a$。因此，我們可以開始求解這個方程。

${\sqrt {x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}}}=2a$

$\Leftrightarrow {\sqrt {x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}}}=2a-{\sqrt {x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}}}$

$\Leftrightarrow x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}=4a^{2}-4a{\sqrt {x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}}}+x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}$ （兩邊平方）

$\Leftrightarrow 4a{\sqrt {x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}}}=4a^{2}+4xc$ （化簡）

$\Leftrightarrow a{\sqrt {x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}}}=a^{2}+xc$

$\Leftrightarrow a^{2}(x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2})=a^{4}+2a^{2}xc+x^{2}c^{2}$ （兩邊平方）

$\Leftrightarrow a^{2}x^{2}+2a^{2}xc+a^{2}c^{2}+a^{2}y^{2}=a^{4}+2a^{2}xc+x^{2}c^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2}x^{2}-c^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{4}-a^{2}c^{2}$ （化簡）

$\Leftrightarrow x^{2}(a^{2}-c^{2})+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})$ （因式分解）

最後，方程為

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1$

這個應該就是方程式了。但 $a^{2}-c^{2}$ 可以進一步簡化。為此，再次想象我們的點 $P$ 位於共頂點上，因此 $P_{1}=(0,b)$。因此，

$P_{1}F_{1}={\sqrt {c^{2}+b^{2}}}$

$P_{1}F_{2}={\sqrt {c^{2}+b^{2}}}$

$\therefore C=P_{1}F_{1}+P_{1}F_{2}=2{\sqrt {c^{2}+b^{2}}}$

由於我們已經確定 $C=2a$，我們可以寫出一個將 $a,b,c$ 聯絡在一起的方程

$2{\sqrt {c^{2}+b^{2}}}=2a$

$\Leftrightarrow c^{2}+b^{2}=a^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2}-c^{2}=b^{2}$

現在我們將 $a^{2}-c^{2}$ 替換為 $b^{2}$，得到最終結果

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

$\blacksquare$

這個方程是橢圓的標準形式。它被認為是標準形式，因為所有關鍵點都在軸上。

術語和性質

我們已經推導了方程。因此，術語和性質將基於此。

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

• 焦點（複數：焦點）：點 $F_{1},F_{2}$ 座標分別為 $(c,0),(-c,0)$ 。定義賦予了這些點其功能： $PF_{1}+PF_{2}=2a$ 。
• 長半軸：長度為 $a$ 的軸。
• 短半軸：長度為 $b$ 的軸，$b<a$ 。
• 頂點（複數：頂點）：長半軸的端點。它有座標 $(\pm a,0)$ 。
• 共頂點：短半軸的端點。它有座標 $(\pm b,0)$ ，$b<a$ 。
• 中心：兩個焦點之間的中點。它有座標 $(0,0)$ 。

請注意，對方程的任何更改都會改變關鍵值的座標。以上座標嚴格基於橢圓的標準方程。

在推導過程中，我們偶然發現了一個性質，即常數 $a,b,c$ 之間的關係。該性質是 $c^{2}=a^{2}-b^{2}$ 。在雙曲線的方程推導中，我們將再次遇到這個性質。但是，由於符號的原因，它會略有不同。在橢圓中，$a>c$ ，所以性質 $c^{2}=a^{2}-b^{2}$ 確保 $a^{2}>0,b^{2}>0,c^{2}>0$ 。在雙曲線中，正如我們將看到的，$c>a$ ，這意味著焦點到中心的距離大於頂點到中心的距離。為了確保 $a^{2}>0,b^{2}>0,c^{2}>0$ 方便起見，該性質將略作調整。

變換

如果我們想要橢圓更“豎直”而不是“水平”，橢圓的方程需要改變。為了更“豎直”，橢圓的焦點應該位於 $y$-軸上，座標為 $(0,\pm c)$。使用相同的方法推導，我們得到

${\frac {x^{2}}{b^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}=1$

如果我們想要橢圓在平面上平移（不旋轉地移動），根據我們在第 1.2 章中學到的知識，我們可以將方程修改為

${\frac {(x-m)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-n)^{2}}{b^{2}}}=1$，其中 $(m,n)$ 是橢圓的中心。

拋物線

拋物線可以被解釋為二次函式的更一般形式。但是，它們本質上是不同的。二次函式描述的是一個變數和另一個變數之間的關係，而拋物線是二維空間中的曲線。

拋物線的定義

假設有一個點 $F=(p_{1},p_{2})$ 和一條直線 $l:y=mx+b$，這條直線不經過點 $F$。拋物線是滿足以下條件的點 $P=(x,y)$ 的集合

$P\in \{(x,y):PF=Pl\}$

為了推導簡便，我們將點 $F$ 放置在 $y$ 軸上，拋物線的頂點放在原點（參見右側影像），因此 $F=(0,p)$。現在，想象一下點 $P$ 在頂點上，因此 $P_{0}=(0,0)$。因為 $PF=Pl$ 並且 $PF=p$，直線 $l$ 的方程為 $l:y=-p$.

現在，我們可以開始推匯出拋物線的標準方程。

拋物線的一部分（藍色），以及各種特徵（其他顏色）。完整的拋物線沒有端點。在這個方向上，它無限延伸到左邊、右邊和上面。

推導

由於我們知道 $F=(0,p)$，$l:y=-p$，以及 $P=(x,y)$，我們可以解出 $PF=Pl$

$PF={\sqrt {(x-0)^{2}+(y-p)^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}-2yp+p^{2}}}$ $Pl=y+p$

因此方程 $PF=Pl$ 可以轉化為

${\sqrt {x^{2}+y^{2}-2yp+p^{2}}}=y+p$

$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-2py+p^{2}=y^{2}+2py+p^{2}$（兩邊平方）

$\Leftrightarrow x^{2}=4py$

拋物線的標準方程是

$x^{2}=4py$

$\blacksquare$

在第 1.4 章中，我們討論了二次函式的各種形式，如果將其視為幾何曲線，則為拋物線。為了使標準方程更熟悉，我們可以將其調整為

$y={\frac {1}{4p}}x^{2}$

術語和性質

類似於橢圓，我們將使用標準方程來演示拋物線中的關鍵術語。

$y={\frac {1}{4p}}x^{2}$

• 焦點：點 $F$ 座標為 $(0,p)$.
• 準線：直線 $l$ 方程為 $y=-p$.
• 頂點：拋物線上最低點，座標為 $(0,0)$.

回想一下，二次函式的頂點形式是 $y=a(x-h)^{2}+k$。我們可以發現 ${\frac {1}{4p}}=a$.

變換

如果我們希望曲線水平方向（對稱軸為 $x$ 軸而不是 $y$ 軸），我們將 $F$ 的座標更改為 $F=(p,0)$，並將直線更改為 $l:x=-p$。經過一些計算，我們得到

$x={\frac {1}{4p}}y^{2}$

如果我們想在平面上平移拋物線，使用我們學到的知識，我們得到

$y-k={\frac {1}{4p}}(x-h)^{2}$，其中頂點為 $(h,k)$.

這類似於二次函式 $y=a(x-h)^{2}+k$ 的頂點。然而，重要的是要意識到拋物線和二次函式從根本上是不同的。一個是幾何曲線，另一個是兩個變數之間的變換。

雙曲線

雙曲線和倒數函式之間的關係類似於拋物線和二次函式之間的關係。

雙曲線的定義

假設存在點 $F_{1}=(c_{x1},c_{y1})$ 和 $F_{2}=(c_{x2},c_{y2})$。雙曲線是滿足以下條件的點集 $P=(x,y)$：

$P\in \{(x,y):$ |$PF_{1}-PF_{2}$| $=C,C\in \mathbb {R} \}$

為了簡化問題，我們將點 $F_{1},F_{2}$ 放置在 $x$ 軸上，中心位於原點，因此 $F_{1}=(c,0),F_{2}=(-c,0)$。此外，頂點和中心之間的長度是 $a$。請參見右邊的圖片以瞭解更多資訊。

具有關鍵值的雙曲線。

推導

由於我們知道 $F_{1}=(c,0),F_{2}=(-c,0)$，我們可以求解 $PF_{1}{\text{ and }}PF_{2}$。

$PF_{1}={\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}={\sqrt {x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}}}$

$PF_{2}={\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}={\sqrt {x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}}}$

$|PF_{1}-PF_{2}|=|{\sqrt {x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}}}|$

類似於橢圓推導的情況，我們需要將常數 $C$ 轉化成用 $a$ 或 $c$ 表示的表示式。在這種情況下，假設點 $P$ 在頂點上，所以 $P_{0}=(a,0)$.

$P_{0}F_{1}=c-a$

$P_{0}F_{2}=a+c$

$|P_{0}F_{1}-P_{0}F_{2}|=|(c-a)-(a+c)|=2a$

因此，$C=2a$。現在，我們開始推導。

$|{\sqrt {x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}}}|=2a$

假設 $PF_{2}>PF_{1}$，這意味著曲線位於正的 $x$-軸上，並且

${\sqrt {x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}}}=2a$

${\sqrt {x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}}}=2a+{\sqrt {x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}}}$

$\Leftrightarrow x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}=4a^{2}+4a{\sqrt {x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}}}+x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}$（兩邊平方）

$\Leftrightarrow a{\sqrt {x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}}}=-a^{2}+xc$

$\Leftrightarrow a^{2}x^{2}-2a^{2}xc+a^{2}c^{2}+a^{2}y^{2}=a^{4}-2a^{2}xc+x^{2}c^{2}$ （兩邊平方）

$\Leftrightarrow x^{2}(a^{2}-c^{2})+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})$

$\Leftrightarrow {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1$

為了方便起見，我們將 $c^{2}-a^{2}$ 替換為 $b^{2}$，因為觀察圖形， $c>a$，並且我們希望常數為正數。因此

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

當 $PF_{2}<PF_{1}$ 時會怎麼樣？這意味著曲線位於負 $x$ 軸上，並且

${\sqrt {x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}}}=2a$

使用相同的方法，我們得到

${\sqrt {x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}}}=2a+{\sqrt {x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}}}$

$\Leftrightarrow x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}=4a^{2}+4a{\sqrt {x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}}}+x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}$

$\Leftrightarrow a{\sqrt {x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}}}=a^{2}+xc$

$\Leftrightarrow a^{2}x^{2}+2a^{2}xc+a^{2}c^{2}+a^{2}y^{2}=a^{4}+2a^{2}xc+x^{2}c^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2}(a^{2}-c^{2})+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})$

$\Leftrightarrow {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1$

因為我們設 $c^{2}-a^{2}=b^{2}$，所以 ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

所有可能性都已討論過，我們可以安全地說雙曲線的方程是

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

$\blacksquare$

術語和性質

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

• 焦點（複數：焦點）：點 $F_{1}=(c,0),F_{2}=(-c,0)$。
• 頂點（複數：頂點）：長半軸的端點。它的座標為 $(\pm a,0)$。
• 長半軸：長度為 $a$ 的軸。
• 漸近線：雙曲線趨近但永遠不會相交的直線。

我們在談論橢圓時簡要討論了雙曲線的性質。在那次討論中，我們說我們必須稍微改變一下屬性，以確保所有常數都是正的。在這種情況下，由於 $c>a$，而不是橢圓的 $c^{2}=a^{2}-b^{2}$，我們有 $c^{2}=a^{2}+b^{2}$。

漸近線有點難計算，因為我們需要極限才能找到它。

由於 ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$，$y$ 和 $x$ 之間的關係為

$y=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}(x^{2}-a^{2})}}=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {(x^{2}-a^{2})}}$

因此，經過雙曲線上的點和中心的直線的斜率為

$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}{x}}$

漸近線是指雙曲線無限接近但永遠不會相交的直線。所以，我們可以想象 $x$ 無限大到與漸近線相交的程度（參見第 2.1 章和 2.3 章瞭解更多）。

${\frac {\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}{x}}$ （其中 $x$ 無限大） $=\pm {\frac {b}{a}}$

正式地，如果我們想表達 " $x$ 無限大 "，我們這樣寫：$\lim _{x\to \infty }{\frac {\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}{x}}=\pm {\frac {b}{a}}$。我們將在下一單元討論這個表示式。漸近線的斜率計算為 $\pm {\frac {b}{a}}$。

因此，雙曲線的漸近線方程為

$y=\pm {\frac {b}{a}}x$

$\blacksquare$

變換

如果我們想要雙曲線朝南北方向而不是東西方向，改變關鍵點的座標並使用相同的方法進行推導，我們將得到

${\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1$

如果我們想要將雙曲線平移，方程將變為

${\frac {(x-m)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-n)^{2}}{b^{2}}}=1$，其中中心為 $(m,n)$，漸近線為 $y-n=\pm {\frac {b}{a}}(x-m)$

座標軸旋轉

x 軸和 y 軸的旋轉

當我們開始旋轉像圓錐曲線這樣的曲線時，很難直觀地想象旋轉曲線的過程：我們更習慣於平移而不是旋轉。 因此，與其將曲線旋轉回類似於 ${\frac {(x-m)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-n)^{2}}{b^{2}}}=1$ 的形狀，我們旋轉座標軸使曲線看起來像 ${\frac {(x'-m)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y'-n)^{2}}{b^{2}}}=1$ 。請注意， $x',y'$ 是旋轉後的座標。

一個旋轉了角度 $\theta$ 的 xy-笛卡爾座標系到 x'y'-笛卡爾座標系

為了做到這一點，我們需要找出旋轉前軸和旋轉後軸之間的關係。 換句話說，假設有一個座標為 $(x,y)$ 的點。 旋轉後，座標為 $(x',y')$ 。用 $x,y$ 表示 $(x',y')$ 。

現在，我們需要建立一些座標和一些屬性。

1. 點在 $x0y$ 平面上的座標是 $(x,y)$
2. 點到原點的距離是 $r$
3. 連線點和原點的線段與正 $x$ 軸之間的角度為 $\alpha$
4. 座標軸逆時針旋轉 $\theta$ 建立一個新的平面： $x'0y'$
5. 第 3 和第 4 條可以幫助我們知道連線點和原點的線段與正 $x'$ 軸之間的角度是 $\alpha -\theta$

現在，我們嘗試評估$(x',y')$

根據三角學（參見第1.3章）

$x'=r\cos(\alpha -\theta )=r\cos \alpha \cos \theta +r\sin \alpha \sin \theta$

$y'=r\sin(\alpha -\theta )=r\sin \alpha \cos \theta -r\cos \alpha \sin \theta$

我們也可以評估$x,y$ 關於$r,\alpha$

$x=r\cos \alpha$$y=r\sin \alpha$

然後代入前兩個方程，得到

$x'=x\cos \theta +y\sin \theta$

$y'=y\cos \theta -x\sin \theta$

最後，點$(x,y)$ 旋轉後的座標為$(x\cos \theta +y\sin \theta ,y\cos \theta -x\sin \theta )$。

$\blacksquare$

逆變換為$x=x'\cos \theta -y'\sin \theta ,y=x'\sin \theta +y'\cos \theta$.

一般笛卡爾形式

圓錐曲線的一般笛卡爾形式

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,{\text{ where }}A,B,C,D,E,F$ 是常數

理解一般形式的最佳方法是檢視以下示例。它涵蓋了本章的大部分內容，並且比較困難。

示例： 找到具有方程$7x^{2}-2xy+7y^{2}+6{\sqrt {2}}x+6{\sqrt {2}}y-18=0$ 的圓錐曲線的焦點。

為了找到焦點，我們需要標準形式。但是，這是普通形式。更糟糕的是，這是一個旋轉曲線，這使得人類無法將方程分解為平移標準形式。

我們知道該曲線已旋轉，因為在因式分解後，存在一個$(ax+by)^{2}$ 因子。平移標準形式沒有該特定因子。因此，我們應該開始旋轉軸，以便在旋轉後，$Bxy$ 部分可以被抵消。

首先，我們應該列出我們所知道的。

$A=7,B=-2,C=7,D=6{\sqrt {2}},E=6{\sqrt {2}},F=-18$

接下來，我們開始旋轉座標軸。

假設我們將座標軸 $x0y$ 旋轉到 $x'0y'$，旋轉角度為 $\theta$ 逆時針。新的旋轉後的方程應該是

$A'x'^{2}+B'x'y'+C'y'^{2}+D'x'+E'y'+F'=0$

由於在對等式進行因式分解後，我們沒有發現任何 $(ax+by)^{2}$ 項，我們需要使 $B'x'y'=0$。為了簡化，我們只需要使 $B'=0$。

然後，我們需要用常數 $A,B,C,D,E,F$ 和 $\theta$ 表示 $B'$，這樣我們就可以知道應該旋轉座標軸多少度。

$\because x=x'\cos \theta -y'\sin \theta ,y=x'\sin \theta +y'\cos \theta$ $\therefore Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

代入後，我們得到

$A(x'\cos \theta -y'\sin \theta )^{2}+B(x'\cos \theta -y'\sin \theta )(y'\cos \theta +x'\sin \theta )+C(y'\cos \theta +x'\sin \theta )^{2}+D(x'\cos \theta -y'\sin \theta )+E(y'\cos \theta +x'\sin \theta )+F=0$

經過大量的計算和代數運算，我們得到

$A'=A\cos ^{2}\theta +B\cos \theta \sin \theta +C\sin ^{2}\theta$

$B'=(A+C)2\cos \theta \sin \theta +B(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta )$

$C'=A\sin ^{2}\theta -B\cos \theta \sin \theta +C\cos ^{2}\theta$

$D'=D\cos \theta +E\sin \theta$

$E'=E\cos \theta -D\sin \theta$

$F'=F$

我們想要 $B'=0$.

$B'=(A+C)2\cos \theta \sin \theta +B(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta )=0$ 回憶一下三角恆等式：二倍角公式，即

$2\cos \theta \sin \theta =\sin 2\theta ,\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =\cos 2\theta$

所以，該方程可以轉換為

$\cot 2\theta ={\frac {A+C}{B}}$

為了方便，我們只求解最簡單的值。

$\theta ={\frac {\pi }{4}}$

知道旋轉角和其他常數後，我們可以求解新常數。

$A'=7\cos ^{2}{\frac {\pi }{4}}-2\cos {\frac {\pi }{4}}\sin {\frac {\pi }{4}}+7\sin ^{2}{\frac {\pi }{4}}=6$

$B'=(7+7)2\cos {\frac {\pi }{4}}\sin {\frac {\pi }{4}}-2(\cos ^{2}{\frac {\pi }{4}}-\sin ^{2}{\frac {\pi }{4}})=0$

$C'=7\sin ^{2}{\frac {\pi }{4}}+2\cos {\frac {\pi }{4}}\sin {\frac {\pi }{4}}+7\cos ^{2}{\frac {\pi }{4}}=8$

$D'=6{\sqrt {2}}\cos {\frac {\pi }{4}}+6{\sqrt {2}}\sin {\frac {\pi }{4}}=12$

$E'=6{\sqrt {2}}\cos {\frac {\pi }{4}}-6{\sqrt {2}}\sin {\frac {\pi }{4}}=0$

$F'=-18$

旋轉後的曲線方程為 $6x'^{2}+8y'^{2}+12x'-18=0$

現在可以將方程分解成平移後的標準形式。

$6x'^{2}+8y'^{2}+12x'-18=0$

$\Leftrightarrow 6x'^{2}+12x'+6+8y'^{2}=24$

$\Leftrightarrow 6(x'+1)^{2}+8y'^{2}=24$

$\Leftrightarrow {\frac {(x'+1)^{2}}{4}}+{\frac {y'^{2}}{3}}=1$

這是橢圓的標準方程。 記住，在橢圓中，$c^{2}=a^{2}-b^{2}$。最後，我們可以確定焦點的旋轉座標。

中心的旋轉座標為 $(-1,0)$

由於$c^{2}=a^{2}-b^{2}$，$c=1$。

焦點的旋轉座標為

$F_{1}'=(-2,0),F_{2}'=(0,0)$

現在，我們將座標軸旋轉回原始狀態。

$x=x'\cos \theta -y'\sin \theta ,y=x'\sin \theta +y'\cos \theta$

$F_{1}=(-{\sqrt {2}},-{\sqrt {2}})$

$F_{2}=(0,0)$

因此，焦點為 $F_{1}=(-{\sqrt {2}},-{\sqrt {2}})$ 和 $F_{2}=(0,0)$.

$\blacksquare$