微積分/無窮極限

非正式的無窮極限

另一種型別的極限涉及觀察 $f(x)$ 當 $x$ 變得很大的時候會發生什麼。例如，考慮函式 $f(x)={\frac {1}{x}}$。當 $x$ 變得很大的時候，${\frac {1}{x}}$ 變得很小。事實上，${\frac {1}{x}}$ 隨著 $x$ 變大而越來越接近 0。如果沒有極限，談論這個事實非常困難，因為 $x$ 可以不斷變大，而 ${\frac {1}{x}}$ 永遠不會真正達到 0；但極限語言的存在正是為了讓我們談論函式在接近某個東西時的行為，而不必關心它永遠不會到達那裡。然而，在這種情況下，我們遇到了與之前相同的問題：$x$ 需要多大才能確保 $f(x)$ 真的在趨近於 0？

在這種情況下，我們想說，無論我們想要 $f(x)$ 接近 0 多近，對於足夠大的 $x$，$f(x)$ 都保證能達到那個接近程度。因此，我們又有了另一個定義。

定義：（無窮極限的定義）

我們稱 $L$ 為 $f(x)$ 當 $x$ 趨近於無窮時的 極限，如果 $f(x)$ 任意接近 $L$ 只要 $x$ 足夠大。

當這種情況成立時，我們寫成

$\lim _{x\to \infty }f(x)=L$

或

$f(x)\to L\quad {\mbox{as}}\quad x\to \infty$

類似地，如果$f(x)$ 任意接近 $L$ 只要 $x$ 足夠負， 我們稱$L$ 為$f(x)$ 當$x$ 趨近負無窮時的 極限。

當這種情況成立時，我們寫成

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=L$

或

$f(x)\to L\quad {\mbox{as}}\quad x\to -\infty$

所以，在這種情況下，我們寫道

$\quad \lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}=0$

並說“當$x$ 趨近無窮時，極限等於$0$”，或者“當$x$ 趨近無窮時，函式趨近於0”。

我們也可以寫

$\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x}}=0$

因為使$x$ 非常負也會迫使${\frac {1}{x}}$ 接近$0$。

注意，然而，無窮大不是一個數字；它只是“無論多大”的簡寫。因此，這與我們在前兩章中學到的常規極限不同。

有理函式的無窮大極限

一個經常出現的特殊情況是我們想要找到有理函式在$\infty$（或$-\infty$）的極限。有理函式就是透過將兩個多項式相互除以得到的函式。例如，$f(x)={\frac {x^{3}+x-6}{x^{2}-4x+3}}$ 是一個有理函式。此外，任何多項式都是有理函式，因為$1$ 只是一個（非常簡單的）多項式，所以我們可以把函式$f(x)=x^{2}-3$ 寫成$f(x)={\frac {x^{2}-3}{1}}$，兩個多項式的商。

當我們讓變數變得非常大（正向或負向）時，考慮有理函式的分子。變數的最高指數項將支配分子，而其他項與支配項相比變得越來越不重要。分母也是如此。在極限情況下，其他項變得可以忽略不計，我們只需要檢查分子和分母中的支配項。

有一個簡單的規則來確定有理函式的極限，當變數趨近於無窮大時。尋找分子中變數的最高指數項。在分母中尋找相同的項。該規則基於這些資訊。

• 如果分子中最高項的指數與分母中最高項的指數相匹配，則極限（在$\infty$ 和$-\infty$ 處）是最高項係數的比率。

• 如果分子具有最高項，則該分數稱為“分子重”。如果當你將分子除以分母時，得到的變數指數是偶數，那麼極限（在$\infty$ 和$-\infty$ 處）是$\infty$。如果是奇數，那麼$\infty$ 處的極限是$\infty$，而$-\infty$ 處的極限是$-\infty$。

• 如果分母具有最高項，則該分數稱為“分母重”，並且$\pm \infty$ 處的極限為 0。

請注意，如果分子或分母是一個常數（包括上面的 1），那麼這與 $x^{0}$ 一樣。此外，$x$ 的直接冪，如 $x^{3}$，的係數為 1，因為它與 $1x^{3}$ 一樣。

示例

示例 1

求 $\lim _{x\to \infty }{\frac {x-5}{x-3}}$ 。

函式 $f(x)={\frac {x-5}{x-3}}$ 是兩個多項式 $x-5$ 和 $x-3$ 的商。根據我們的規則，我們尋找分子中指數最高的項；它是 $x$。分母中指數最高的項也是 $x$。因此，極限是它們的係數之比。由於 $x=1x$，兩個係數都是 1，$\lim _{x\to \infty }{\frac {x-5}{x-3}}={\frac {1}{1}}=1$ 。

示例 2

求 $\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{3}+x-6}{x^{2}-4x+3}}$。

使用洛必達法則， $d/dx(x^{3}+x-6)=3x^{2}+1$

和

$d/dx(x^{2}-4x+3)=2x-4$

我們檢視指數最高的項；對於分子，它是 $x^{3}$，而對於分母，它是 $x^{2}$。由於分子上的指數更高，我們知道在 $\infty$ 處的極限將為 $\infty$。所以，

$\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{3}+x-6}{x^{2}-4x+3}}=\infty$ .