微積分/有限極限

非正式有限極限

現在，我們將嘗試更仔細地重述上一章的想法。我們當時說，方程式 $\lim _{x\to 2}f(x)=4$ 意味著，當 $x$ 越來越接近 2 時，$f(x)$ 越來越接近 4。這究竟意味著什麼？"接近"到底有多接近？我們可以用來處理這個問題的第一種方法是，當 $x=1.99\ ,\ f(x)=3.9601$ 時，它非常接近 4。

然而，有時函式可能做一些完全不同的事情。例如，假設 $f(x)=x^{4}-2x^{2}-3.77$，所以 $f(1.99)=3.99219201$。接下來，如果你取一個更接近 2 的值，$f(1.999)=4.20602$，在這種情況下，你實際上距離 4 更遠了。原因是，當 $x$ 趨近於 2 時，代入得到 4.23。

解決方法是找出函式在任意接近該點時的行為。特別是，我們要說，無論我們希望函式有多接近 4，只要我們使 $x$ 足夠接近 2，那麼它就會到達那裡。在這種情況下，我們將寫

$\lim _{x\to 2}f(x)=4$

並說"當 $x$ 趨近於 2 時，$f(x)$ 的極限等於 4" 或 "當 $x$ 趨近於 2 時，$f(x)$ 趨近於 4。" 一般來說

定義：（極限的新定義）

我們稱 $L$ 為當 $x$ 趨近於 $c$ 時 $f(x)$ 的極限，如果當 $x$ 足夠接近（且不等於）$c$ 時，$f(x)$ 任意接近 $L$ 。

當滿足上述條件時，我們記為

$\lim _{x\to c}f(x)=L$

或者

$f(x)\to L\quad {\mbox{as}}\quad x\to c$

單邊極限

有時，需要考慮當我們從某個特定方向逼近某個 $x$ 值時會發生什麼。為了解決這個問題，我們引入單邊極限。在左極限中，$x$ 從左側逼近 $a$ 。類似地，在右極限中，$x$ 從右側逼近 $a$ 。

例如，如果我們考慮 $\lim _{x\to 2}{\sqrt {x-2}}$ ，就會出現問題，因為 $x$ 無法從左側逼近 2（函式在此處未定義）。但是，如果 $x$ 僅從右側逼近 2，我們想說 ${\sqrt {x-2}}$ 逼近 0。

定義：（單邊極限的非正式定義）

如果 $f(x)$ 在 $x$ 充分接近且大於 $c$ 時， $f(x)$ 變得任意接近 $L$ ，我們稱 $L$ 為 $f(x)$ 當 $x$ 從右側逼近 $c$ 時的極限。

當滿足上述條件時，我們記為

$\lim _{x\to c^{+}}f(x)=L$

類似地，如果 $f(x)$ 在 $x$ 充分接近且小於 $c$ 時， $f(x)$ 變得任意接近 $L$ ，我們稱 $L$ 為 $f(x)$ 當 $x$ 從左側逼近 $c$ 時的極限。

當滿足上述條件時，我們記為

$\lim _{x\to c^{-}}f(x)=L$

在我們的例子中，左側極限 $\lim _{x\to 2^{-}}{\sqrt {x-2}}$ 不存在。

然而，右手極限，$\lim _{x\to 2^{+}}{\sqrt {x-2}}=0$ 。

事實上，$\lim _{x\to c}f(x)$ 存在當且僅當 $\lim _{x\to c^{+}}f(x)$ 和 $\lim _{x\to c^{-}}f(x)$ 存在並且彼此相等。在這種情況下，$\lim _{x\to c}f(x)$ 將等於相同的數字。

在我們的例子中，一個極限甚至不存在。因此，$\lim _{x\to 2}{\sqrt {x-2}}$ 也不存在。