微積分/極限/極限導論

極限是進入微積分的第一步，它解釋了該學科的複雜性。它用於定義導數和積分的過程。它還在其他情況下被用來直觀地展示“逼近”的過程。

導論

直觀的極限概念

極限是任何數學家手中的強大工具之一。我們將對極限進行一種方法的解釋。因為數學的出現僅僅是由於方法……還記得嗎？！

我們將極限表示為以下形式

$\lim _{x\to a}f(x)$

這讀作“當 $x$ 趨近於 $a$ 時，$f$ 的極限”。這是需要記住的重要內容，它是全世界都接受的基本符號。

我們將在後面討論如何確定 $f(x)$ 在 $a$ 處是否存在極限，以及如果存在，極限是多少。現在，我們將從直觀的角度來看。

假設我們感興趣的函式是 $f(x)=x^{2}$，我們感興趣的是當 $x$ 趨近於 $2$ 時的極限。使用上面的符號，我們可以將我們感興趣的極限寫成如下形式

$\lim _{x\to 2}x^{2}$

評估此極限的一種方法是選擇接近 2 的值，計算每個值的 $f(x)$，然後觀察當它們越來越接近 2 時會發生什麼。有兩種方法可以接近 2 附近的值。一種是從下方接近，另一種是從上方接近。

$x$	1.7	1.8	1.9	1.95	1.99	1.999
$f(x)=x^{2}$	2.89	3.24	3.61	3.8025	3.9601	3.996001

上面的表格是自下而上的情況。

$x$	2.3	2.2	2.1	2.05	2.01	2.001
$f(x)=x^{2}$	5.29	4.84	4.41	4.2025	4.0401	4.004001

上面的表格是自上而下的情況。

從表格中可以看出，當 $x$ 越來越接近 2 時，$f(x)$ 似乎越來越接近 4，無論 $x$ 從上方還是下方接近 2。因此，我們有理由相信 $x^{2}$ 當 $x$ 趨近於 2 時的極限為 4，或者用極限符號表示為：

$\lim _{x\to 2}x^{2}=4$

我們也可以直接將 2 代入 $x^{2}$ 並計算：$(2)^{2}=4$。然而，這種方法並非適用於所有極限。

現在讓我們來看另一個例子。假設我們對函式 $f(x)={\frac {1}{x-2}}$ 當 $x$ 趨近於 2 時的行為感興趣。以下是用極限符號表示的極限：

$\lim _{x\to 2}{\frac {1}{x-2}}$

與之前一樣，我們可以計算函式值，當 $x$ 從下方和上方趨近於 2。以下是一個表格，從下方趨近：

$x$	1.7	1.8	1.9	1.95	1.99	1.999
$f(x)={\frac {1}{x-2}}$	-3.333	-5	-10	-20	-100	-1000

以下是從上方趨近：

$x$	2.3	2.2	2.1	2.05	2.01	2.001
$f(x)={\frac {1}{x-2}}$	3.333	5	10	20	100	1000

在這種情況下，函式似乎沒有隨著 $x$ 趨近於 2 而趨近於一個單一的值，而是變成了一個極大的正數或負數（取決於趨近的方向）。我們說這樣的極限不存在，因為沒有一個有限數被趨近。這引出了無窮大的概念：一個未定義的量，極限也稱為無窮極限或無界極限。

請注意，我們不能像第一個例子那樣，直接將 2 代入 ${\frac {1}{x-2}}$ 並計算，因為我們將被 0 除。

這兩個例子看起來可能很瑣碎，但請考慮以下函式：

$f(x)={\frac {x^{2}(x-2)}{x-2}}$

此函式與以下函式相同：

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{2}&{\text{if }}x\neq 2\\{\mbox{undefined}}&{\text{if }}x=2\end{matrix}}\right.$

請注意，這些函式實際上是完全相同的；不僅僅是“幾乎相同”，而是根據函式定義，完全相同；它們對每個輸入都給出完全相同的輸出。

在初等代數中，一種典型的方法是簡單地說，我們可以取消 $(x-2)$ 這一項，然後我們得到了函式 $f(x)=x^{2}$。然而，這是不準確的；我們現在得到的函式並不真正與我們開始的函式相同，因為它在 $x=2$ 時有定義，而我們最初的函式在 $x=2$ 時沒有定義。這可能看起來是一個小問題，但從這種假設出發，我們很容易得出荒謬的結果，例如 $0=1$（參見維基百科中關於數學謬誤 § 所有數字都等於所有其他數字的完整示例）。即使沒有微積分，我們也可以透過以下說法來避免這種錯誤。

$f(x)={\frac {x^{2}(x-2)}{x-2}}=x^{2}{\text{ when }}x\neq 2$

在微積分中，我們可以引入一種更直觀且更正確的方式來看待這種型別的函式。我們希望能夠說，儘管函式在 $x=2$ 時沒有定義，但它幾乎像定義了一樣。它可能無法到達那裡，但它確實非常非常接近。例如，$f(1.99999)=3.99996$。我們唯一要問的問題是：我們所說的“接近”是什麼意思？

極限的非正式定義

由於極限的精確定義有點技術性，所以從非正式定義開始會更容易；我們稍後會解釋正式定義。

我們假設函式 $f$ 在 $x$ 接近 $c$ 時有定義（但我們不要求它在 $x=c$ 時有定義）。

極限的非正式定義

我們稱$L$ 為當$x$ 趨近於$c$ 時，$f(x)$ 的極限，如果當$x$ 接近（但不等）於$c$ 時，$f(x)$ 變得接近$L$，並且不存在其他具有相同性質的值$L'$。

當這種情況成立時，我們寫

$\lim _{x\to c}f(x)=L$

或者

$f(x)\to L\quad {\text{as}}\quad x\to c$

注意，極限的定義與當$x=c$ 時$f(x)$ 的值無關（該值可能存在也可能不存在）。我們只關心當$x$ 接近$c$ 時，$f(x)$ 的值，無論是在左側還是右側（即小於或大於）。

極限也可以理解為：$x$ 無限接近於 $c$ 但永遠不會等於 $c$，就像函式 $f(x)={\frac {1}{x}}$ 一樣，它無限接近於 $0$ 但永遠不會等於 $0$.

基礎

規則和恆等式

現在我們已經非正式地定義了什麼是極限，接下來我們將列出一些對處理和計算極限很有用的規則。一旦我們正式定義了函式極限的基本概念，你就可以證明所有這些規則。

首先，**常數規則**指出，如果 $f(x)=b$（也就是說，$f$ 對所有 $x$ 都是常數）那麼當 $x$ 接近於 $c$ 時，極限必須等於 $b$。換句話說

極限的常數規則

如果 $b$ 和 $c$ 是常數，那麼 $\lim _{x\to c}b=b$.

**示例**：$\lim _{x\to 6}5=5$

其次，**恆等式規則**指出，如果 $f(x)=x$（也就是說，$f$ 只是返回你輸入的任何數字），那麼 $f$ 當 $x$ 趨近於 $c$ 的極限等於 $c$。 也就是說，

極限的恆等式規則

如果 $c$ 是一個常數，那麼 $\lim _{x\to c}x=c$.

**例子**：$\lim _{x\to 6}x=6$

接下來的幾條規則告訴我們，在已知一些極限值的情況下，如何計算其他極限。

極限的運算恆等式
假設 $\lim _{x\to c}f(x)=L$ 且 $\lim _{x\to c}g(x)=M$，並且 $k$ 是一個常數。 那麼

• $\lim _{x\to c}k\cdot f(x)=k\cdot \lim _{x\to c}f(x)=k\cdot L$
• $\lim _{x\to c}{\Big [}f(x)+g(x){\Big ]}=\lim _{x\to c}f(x)+\lim _{x\to c}g(x)=L+M$
• $\lim _{x\to c}{\Big [}f(x)-g(x){\Big ]}=\lim _{x\to c}f(x)-\lim _{x\to c}g(x)=L-M$
• $\lim _{x\to c}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}=\lim _{x\to c}f(x)\cdot \lim _{x\to c}g(x)=L\cdot M$
• $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\lim \limits _{x\to c}f(x)}{\lim \limits _{x\to c}g(x)}}={\frac {L}{M}}\quad {\text{ provided }}M\neq 0$

請注意，在最後一個規則中，我們需要要求 $M$ 不等於 0（否則我們將被零除，這是一個未定義的操作）。

這些規則被稱為 **恆等式**；它們是極限的標量積、和、差、積和商規則。（標量是常數，當您將函式乘以常數時，我們說您正在執行 **標量乘法**。）

利用這些規則，我們可以推匯出另一個規則。即，多次使用乘積規則，我們得到

$\lim _{x\to c}f(x)^{n}=\left(\lim _{x\to c}f(x)\right)^{n}=L^{n}$ 對於正整數 $n$。

這被稱為 **冪規則**。

因此，我們可以肯定地說，所有多項式函式的極限都可以推匯出滿足恆等式規則的幾個極限，因此更容易計算。

示例 1

求極限 $\lim _{x\to 2}4x^{3}$.

我們需要簡化問題，因為我們沒有關於這個表示式本身的規則。我們從上面的恆等式規則知道 $\lim _{x\to 2}x=2$。根據冪規則，$\lim _{x\to 2}x^{3}=\left(\lim _{x\to 2}x\right)^{3}=2^{3}=8$。最後，根據標量乘法規則，我們得到 $\lim _{x\to 2}4x^{3}=4\cdot \lim _{x\to 2}x^{3}=4\cdot 8=32$.

$\blacksquare$

示例 2

求極限 $\lim _{x\to 2}{\Big [}4x^{3}+5x+7{\Big ]}$.

非正式地，我們將表示式再次拆分成它的組成部分。如上所述，$\lim _{x\to 2}4x^{3}=32$.

此外，$\lim _{x\to 2}5x=5\cdot \lim _{x\to 2}x=5\cdot 2=10$ 以及 $\lim _{x\to 2}7=7$。將兩者相加得到

$\lim _{x\to 2}{\Big [}4x^{3}+5x+7{\Big ]}=\lim _{x\to 2}4x^{3}+\lim _{x\to 2}5x+\lim _{x\to 2}7=32+10+7=49$.

$\blacksquare$

例 3

求極限$\lim _{x\to 2}{\frac {4x^{3}+5x+7}{(x-4)(x+10)}}$。

根據前面的例子，分子極限為 $\lim _{x\to 2}{\Big [}4x^{3}+5x+7{\Big ]}=49$。分母極限為

$\lim _{x\to 2}(x-4)(x+10)=\lim _{x\to 2}{\big [}x-4{\big ]}\cdot \lim _{x\to 2}{\big [}x+10{\big ]}=(2-4)(2+10)=-24$

由於分母極限不等於零，我們可以進行除法運算。結果為

$\lim _{x\to 2}{\frac {4x^{3}+5x+7}{(x-4)(x+10)}}=-{\frac {49}{24}}$.

$\blacksquare$

例 4

求極限$\lim _{x\to 4}{\frac {x^{4}-16x+7}{4x-5}}$。

我們用與上一組示例相同的過程；

$\lim _{x\to 4}{\frac {x^{4}-16x+7}{4x-5}}={\frac {\lim \limits _{x\to 4}{\Big [}x^{4}-16x+7{\Big ]}}{\lim \limits _{x\to 4}{\Big [}4x-5{\Big ]}}}={\frac {\lim \limits _{x\to 4}x^{4}-\lim \limits _{x\to 4}16x+\lim \limits _{x\to 4}7}{\lim \limits _{x\to 4}4x-\lim \limits _{x\to 4}5}}$.

我們可以計算出這些值；$\lim _{x\to 4}(x^{4})=256\ ,\ \lim _{x\to 4}(16x)=64\ ,\ \lim _{x\to 4}(7)=7\ ,\ \lim _{x\to 4}(4x)=16\ ,\ \lim _{x\to 4}(5)=5.$ 因此，答案是 ${\frac {199}{11}}$.

$\blacksquare$

示例 5

求極限$\lim _{x\to 2}{\frac {x^{2}-3x+2}{x-2}}$.

在這個例子中，直接計算結果會導致除以 0。雖然你可以透過實驗確定答案，但也可以使用數學方法來解決。

首先，分子是一個可以因式分解的多項式：$\lim _{x\to 2}{\frac {(x-2)(x-1)}{x-2}}$

現在，我們可以用$(x-2)$同時除分子和分母：$\lim _{x\to 2}(x-1)=(2-1)=1$

請記住，極限是一種確定函式逼近值的方法，而不是函式本身的值。因此，雖然函式在$x=2$處未定義，但當$x\rightarrow 2$時，函式的值正在逼近$1$

$\blacksquare$

示例 6

求極限 $\lim _{x\to 0}\left[{\frac {1-\cos(x)}{x}}\right]$.

為了計算這個看似複雜的極限，我們需要回憶一些正弦和餘弦恆等式（參見第 1.3 章）。我們還需要用到兩個新的事實。首先，如果 $f(x)$ 是一個三角函式（即正弦、餘弦、正切、餘切、正割和餘割函式之一），並且在 $a$處有定義，則 $\lim _{x\to a}f(x)=f(a)$.

其次，$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$。這可以用 夾逼定理 證明。注意洛必達法則不能用來計算這個極限，因為它會導致迴圈推理，

也就是說，求 $\sin x$ 的導數需要這個極限等於 1，而這正是我們要證明的等式。

方法 1（在學習洛必達法則之前）

為了計算極限，認識到 $1-\cos(x)$ 可以乘以 $1+\cos(x)$ 來得到 $1-\cos ^{2}(x)$，根據我們的三角恆等式，它等於 $\sin ^{2}(x)$。所以，分子和分母都乘以 $1+\cos(x)$。（這是允許的，因為它相當於乘以 1。）這是計算分數極限的標準技巧；用一個精心選擇的表示式乘以分子和分母，這樣表示式就會以某種方式簡化。在這種情況下，我們應該得到

$\lim _{x\to 0}\left[{\frac {1-\cos(x)}{x}}\right]$	$=\lim _{x\to 0}\left[{\frac {1-\cos(x)}{x}}\cdot {\frac {1}{1}}\right]$
	$=\lim _{x\to 0}\left[{\frac {1-\cos(x)}{x}}\cdot {\frac {1+\cos(x)}{1+\cos(x)}}\right]$
	$=\lim _{x\to 0}{\frac {{\big (}1-\cos(x){\big )}{\big (}1+\cos(x){\big )}}{x{\big (}1+\cos(x){\big )}}}$
	$=\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos ^{2}(x)}{x{\big (}1+\cos(x){\big )}}}$
	$=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin ^{2}(x)}{x{\big (}1+\cos(x){\big )}}}$
	$=\lim _{x\to 0}\left[{\frac {\sin(x)}{x}}\cdot {\frac {\sin(x)}{1+\cos(x)}}\right]$.

下一步是根據乘積法則將它分解成$\lim _{x\to 0}\left[{\frac {\sin(x)}{x}}\right]\cdot \lim _{x\to 0}\left[{\frac {\sin(x)}{1+\cos(x)}}\right]$。如上所述，$\lim _{x\to 0}\left[{\frac {\sin(x)}{x}}\right]=1$。

接下來，$\lim _{x\to 0}\left[{\frac {\sin(x)}{1+\cos(x)}}\right]={\frac {\lim \limits _{x\to 0}{\big [}\sin(x){\big ]}}{\lim \limits _{x\to 0}{\big [}1+\cos(x){\big ]}}}={\frac {0}{1+\cos(0)}}=0$。

因此，將這兩個結果相乘，我們得到 0。

$\blacksquare$

注意，我們也不能使用洛必達法則來計算這個極限，因為它會導致迴圈論證。

現在我們將介紹一個非常有用的結果，儘管我們還無法證明它。只要該有理函式在 $c$ 處定義（因此我們不會除以 0），我們就可以找到任何多項式或有理函式在 $c$ 處的極限。也就是說，$c$ 必須在函式的定義域內。

多項式和有理函式的極限

如果 $f$ 是一個在 $c$ 處定義的多項式或有理函式，那麼

$\lim _{x\to c}f(x)=f(c)$

我們已經學習了三角函式的這一特性，因此我們發現，只要多項式、有理函式或三角函式定義在某點，就能很容易地求出它們的極限。事實上，即使對於這些函式的組合，這也適用；因此，例如，$\lim _{x\to 1}{\bigg [}\sin(x^{2})+4\cos ^{3}(3x-1){\bigg ]}=\sin(1^{2})+4\cos ^{3}(3\cdot 1-1)=\sin 1+4\cos ^{3}2$.

夾擠定理

顯示 $f$（藍色）被 $g$（紅色）和 $h$（綠色）夾住的圖形

夾擠定理在微積分中非常重要，通常用於透過與兩個已知極限的函式進行比較來求解函式的極限。

它被稱為夾逼定理，因為它指的是一個函式 $f$，它的值被另外兩個函式的值 $g$ 和 $h$ 夾住，這兩個函式都具有相同的極限 $L$。如果 $f$ 的值被兩個函式 $g$ 和 $h$ 的值夾住，那麼 $f$ 的值也必須逼近 $L$。

更精確地說

定理：（夾逼定理）

假設 $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ 對所有包含 $c$ 的某個開區間中的所有 $x$ 成立。

如果 $\lim _{x\to c}g(x)=\lim _{x\to c}h(x)=L$，

那麼 $\lim _{x\to c}f(x)=L$。

$x\cdot \sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$ 在 $-0.5<x<0.5$ 範圍內的影像

示例：計算 $\lim _{x\to 0}x\cdot \sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$。

由於我們知道

$-1\leq \sin({\frac {1}{x}})\leq 1$

將 $x$ 乘入不等式，得到

$-|x|\leq x\sin({\frac {1}{x}})\leq |x|$

現在我們應用夾逼定理

$\lim _{x\to 0}-|x|\leq \lim _{x\to 0}x\sin({\frac {1}{x}})\leq \lim _{x\to 0}|x|$

由於 $\lim _{x\to 0}-|x|=\lim _{x\to 0}|x|=0$,

$\lim _{x\to 0}x\cdot \sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)=0$

$\blacksquare$

求極限

現在，我們將討論在實踐中如何求極限。首先，如果函式可以由有理函式、三角函式、對數函式或指數函式構成，那麼如果一個數 $c$ 在函式的定義域內，那麼在 $c$ 處的極限就是函式在 $c$ 處的函式值。

$\lim _{x\to c}f(x)=f(c)$ 當 $f(x)$ 可以由有理函式、三角函式、對數函式或指數函式構成，且 $c\in$ $f(x)$ 的定義域

如果 $c$ 不在函式的定義域內，那麼在許多情況下（例如有理函式），函式的定義域包括 $c$ 附近的所有點，但不包括 $c$ 本身。例如，如果我們想求 $\lim _{x\to 0}{\frac {x}{x}}$ ，其中定義域包括除 0 之外的所有數字。

在這種情況下，為了找到$\lim _{x\to c}f(x)$，我們想要找到一個函式$g(x)$，類似於$f(x)$，只是在$c$處的空洞被填補。$f$ 和 $g$ 的極限將是相同的，從極限的定義可以看出。根據定義，極限只取決於 $f(x)$ 在 $x$ 接近 $c$ 但不等於它時的點，因此在$c$ 處的極限不依賴於函式在 $c$ 處的取值。因此，如果$\lim _{x\to c}g(x)=L$，$\lim _{x\to c}f(x)=L$ 也是。而且由於我們新函式$g$ 的定義域包含 $c$，我們現在就可以（假設 $g$ 仍然是由有理函式、三角函式、對數函式和指數函式構成的）像以前一樣在 $c$ 處對其進行求值。因此我們有 $\lim _{x\to c}f(x)=g(c)$.

在我們這個例子中，這很簡單；把 $x$ 消掉，得到 $g(x)=1$，這與 $f(x)={\frac {x}{x}}$ 在除 0 以外的所有點上相等。因此，我們有 $\lim _{x\to 0}{\frac {x}{x}}=\lim _{x\to 0}1=1$。一般來說，在計算有理函式的極限時，最好尋找分子和分母的公因式。

特定 DNE 情況

請注意，極限可能根本不存在（DNE 表示“不存在”）。這可以透過多種方式發生。

“間隙”

$f(x)={\sqrt {x^{2}-16}}$

存在一個間隙（不僅僅是一個點），函式在那裡沒有定義。例如，在

$f(x)={\sqrt {x^{2}-16}}$

$\lim _{x\to c}f(x)$ 不存在時，$-4\leq c\leq 4$。無法“接近”圖形的中間。請注意，該函式在生成的兩個曲線的端點（在 $c=-4$ 和 $c=4$）也沒有極限。為了使極限存在，該點必須能夠從左右兩側接近。

還要注意，在圖形上的完全孤立的點上不存在極限。

跳躍間斷。

“跳躍”

如果圖形突然跳到另一個水平，則跳躍點沒有極限。例如，設$f(x)$ 是最大整數$\leq x$。那麼，如果$c$ 是一個整數，當$x$ 從右邊接近$c$ 時$f(x)=c$，而當$x$ 從左邊接近$c$ 時$f(x)=c-1$。因此$\lim _{x\to c}f(x)$ 將不存在。

在區間$[-2,2]$ 上，${\frac {1}{x^{2}}}$ 的圖形。

垂直漸近線

在$f(x)={\frac {1}{x^{2}}}$

圖形隨著接近 0 而變得任意高，因此不存在極限。（在這種情況下，我們有時說極限是無限的；參見下一節。）

在區間$(0,{\tfrac {1}{\pi }}]$ 上，$\sin({\tfrac {1}{x}})$ 的圖形。

無限振盪

接下來的兩個可能難以視覺化。在這裡，我們指的是圖形不斷地上升到水平線之上並下降到水平線之下。事實上，隨著你接近某個$x$ 值，它會無限次地這樣做。這通常意味著不存在極限，因為圖形永遠不會接近某個特定值。但是，如果每個振盪的高度（和深度）隨著圖形接近$x$ 值而減小，從而使得振盪變得任意小，那麼實際上可能存在極限。

振盪的使用自然會讓人聯想到三角函式。一個三角函式的例子是，它在$x$ 接近 0 時不存在極限。

$f(x)=\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$

As $x$ gets closer to 0 the function keeps oscillating between $-1$ and 1. In fact, $\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$ oscillates an infinite number of times on the interval between 0 and any positive value of $x$. The sine function is equal to 0 whenever $x=k\pi$ , where $k$ is a positive integer. Between every two integers $k$ , $\sin(x)$ goes back and forth between 0 and $-1$ or 0 and 1. Hence, $\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)=0$ for every $x={\tfrac {1}{k\pi }}$. In between consecutive pairs of these values, ${\tfrac {1}{k\pi }}$ and ${\tfrac {1}{(k+1)\pi }}$ , $\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$ goes back and forth from 0, to either $-1$ or 1 and back to 0. We may also observe that there are an infinite number of such pairs, and they are all between 0 and $1/\pi$. There are a finite number of such pairs between any positive value of $x$ and ${\tfrac {1}{\pi }}$ , so there must be infinitely many between any positive value of $x$ and 0. From our reasoning we may conclude that, as $x$ approaches 0 from the right, the function $\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$ does not approach any specific value. Thus, $\lim _{x\to 0}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$ does not exist.

確定極限

正式確定極限是否存在的方法是找出從下方和上方逼近時極限值是否相同（參見本章開頭）。從下方逼近（遞增順序）的極限記號為

$\lim _{x\to c^{-}}f(x)$，注意常數 $c$ 上的負號。

從上方逼近（遞減順序）的極限記號為

$\lim _{x\to c^{+}}f(x)$，注意常數 $c$ 上的正號。

例如，讓我們求當 $x$ 逼近 $0$ 時 $f(x)={\frac {1}{x}}$ 的極限。換句話說，求 $\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x}}$ 和 $\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x}}$。

回想一下我們之前嘗試直觀感受極限時製作的表格。我們可以利用它來幫助我們。但是，如果對倒數函式足夠熟悉，我們可以透過想象函式的影像來簡單地確定這兩個值。下表是在 $x$ 從下方逼近時的情況。

$x$	-0.3	-0.2	-0.1	-0.05	-0.01	-0.001
$f(x)={\frac {1}{x}}$	-3.333	-5	-10	-20	-100	-1000

因此，我們發現當 $x$ 從下方逼近 $0$ 時，函式逼近負無窮。用數學語言表達為

$\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x}}=-\infty$

現在讓我們談談從上方逼近的情況。

$x$	0.3	0.2	0.1	0.05	0.01	0.001
$f(x)={\frac {1}{x}}$	3.333	5	10	20	100	1000

我們發現 $\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x}}=\infty$

$\blacksquare$

確定極限是否存在的方法比較直觀。只要練習幾次，就能熟悉這個過程。

確定極限

如果 $\lim _{x\to c^{-}}f(x)=\lim _{x\to c^{+}}f(x)=L$，那麼 $\lim _{x\to c}f(x)=L$。如果 $\lim _{x\to c^{-}}f(x)\neq \lim _{x\to c^{+}}f(x)=L$，則極限不存在（DNE）。

讓我們使用同一個例子：求 $\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}$。

由於我們已經發現 $\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x}}=-\infty$ 並且 $\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x}}=\infty$，並且顯然，

$\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x}}\neq \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x}}$

我們可以說 $\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}$ 不存在。

$\blacksquare$

無窮大情況

現在考慮函式

$g(x)={\frac {1}{x^{2}}}$

當 $x$ 趨近於零時，極限是多少？ $g(0)$ 不存在；它沒有定義。

請注意，我們可以透過選擇一個足夠小的 $x$ (只要 $x\neq 0$)，使 $g(x)$ 儘可能大。例如，為了使 $g(x)$ 等於 $10^{12}$ ，我們選擇 $x$ 為 $10^{-6}$ 。因此，$\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}$ 不存在。

然而，我們確實知道當 $x$ 無限接近 0 但不等於 0 時，$g(x)$ 會發生什麼。我們想說，透過使 $x$ 足夠接近 0，我們可以使 $g(x)$ 任意大（只要我們願意）。我們用以下符號來表示：

$\lim _{x\to 0}g(x)=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}=\infty$

請注意，在 $0$ 處極限不存在；對於極限來說，$\infty$ 是一種特殊的不存在形式。一般來說，我們給出以下定義。

定義：極限為 $\pm \infty$ 的非正式定義

當 **$x$ 趨近於 **$c$** 時，我們說 **$f(x)$ 的極限為無窮大**，如果當 **$x$ 接近 (但並不等於) **$c$** 時，**$f(x)$** 會變得非常大 (大到任何我們想要的值)。

在這種情況下，我們寫成

$\lim _{x\to c}f(x)=\infty$

或者

$f(x)\to \infty \quad {\text{as}}\quad x\to c$.

類似地，我們說 **$f(x)$ 的極限為負無窮大**，如果當 **$x$ 接近 (但並不等於) **$c$** 時，**$f(x)$** 會變得非常小 (小到任何我們想要的值)。

在這種情況下，我們寫成

$\lim _{x\to c}f(x)=-\infty$

或者

$f(x)\to -\infty \quad {\mbox{as}}\quad x\to c$.

第二個定義的一個例子是 **$\lim _{x\to 0}-{\frac {1}{x^{2}}}=-\infty$**。

極限的應用

為了理解極限概念的強大之處，讓我們考慮一輛行駛的汽車。假設我們有一輛汽車，其位置相對於時間是線性的 (也就是說，繪製位置與時間關係的圖形將顯示一條直線)。我們想要找到它的速度。這在代數中很容易做到；我們只需取斜率，那就是速度。

但不幸的是，現實世界中的事物並不總是沿著漂亮的直線運動。汽車會加速、減速，並且通常以難以計算其速度的方式運動。

現在我們真正想做的是找到某個時刻的速度 (瞬時速度)。問題是，為了找到速度，我們需要兩個點，而任何給定時間，我們只有一個點。當然，我們總能找到汽車在兩個時間點之間的平均速度，但我們想找到汽車在一個精確時刻的速度。

這就是微積分的基本技巧，它是本書兩個主要主題中的第一個。我們取兩個時間點之間的平均速度，然後讓這兩個時間點越來越接近。然後我們觀察這兩個時間點越來越接近時斜率的極限，並稱這個極限是單個時刻的斜率。

我們將在本書後面更深入地研究這個過程。然而，首先，我們需要更仔細地研究極限。

外部連結

• 關於極限的線上互動練習
• 為害怕微積分的人準備的教程