微積分/三角學

三角函式在微積分中起著重要的作用。在許多方面，這裡的三角學內容將是理解微積分中的某些運算和證明的基礎。以下資訊是回顧，而非旨在教授課程。有關三角學的更多資訊，請閱讀三角學第一冊。

測量角度

半徑為 R 的圓有一箇中心角 $\theta$，其中弧 S 由中心角所擷取。當 R 以弧度為單位時，$m{\overset {\frown }{S}}=R\cdot \theta$ 為真。

在日常生活中，人們通常用度數來測量角度，其中一個圓有 360 度。在數學中，使用另一種角度測量方法，即弧度，往往更方便。一個圓有 $2\pi$ 弧度。為什麼在數學中使用弧度？事實證明，弧度是圓的自然測量單位。考慮右側圖形中的圓。 $R$ 是半徑，$\theta$ 是頂點在圓心的角，$S$ 是圓上由角所擷取的弧。透過使用弧度作為 $\theta$ 的度量，公式 $S=R\cdot \theta$ 成立。我們在微積分中將要學習的某些運算透過使用弧度作為角度的度量而得到了簡化。

1 弧度的定義

1 弧度是在圓的中心處擷取的，其弧長等於圓的半徑的角。

$rad$ 是弧度的單位。然而，在很多情況下可以忽略它。

假設您想在弧度和度數之間進行轉換。半圓有 180 度和 $\pi$ 弧度。在半圓中使用度數與弧度的比率或弧度與度數的比率，可以得出將弧度轉換為度數或度數轉換為弧度的比例因子。

以下是一個計算示例，用來求解 ${\frac {3}{2}}\pi$ 的度量。注意，當兩個維度相乘時，$\pi$ 被消去了。

${\frac {180^{\circ }}{\pi }}\cdot {\frac {3}{2}}\pi ={\frac {180^{\circ }\cdot 3}{2}}=90^{\circ }\cdot 3=270^{\circ }$

一個計算示例用來求解 $270^{\circ }$ 的度量。注意，$\circ =degrees$ 在兩個維度相乘時被消去了。

${\frac {\pi }{180^{\circ }}}\cdot 270^{\circ }={\frac {270\pi }{180}}={\frac {3}{2}}\pi$

下面顯示了在弧度和度數之間轉換的一般公式。

$\theta rad={\frac {\pi rad}{180^{\circ }}}\cdot \theta ^{\circ }$

在這本書中，弧度將比度數使用得更多，因此熟悉轉換很重要。

基本三角函式

函式

基本三角函式是正弦、餘弦和正切函式。在數學表示式中，它們分別表示為 $\sin$、$\cos$ 和 $\tan$。這些函式將直角三角形中的角度與三角形各邊長度的各種比率相關聯。你可能還記得助記符 SOH-CAH-TOA，它可以幫助學生記住這些關係。 $\theta$ 是感興趣的角度，$a$ 是三角形對角邊的長度，$b$ 是三角形與角相鄰邊的長度，$c$ 是斜邊的長度。助記符告訴我們

三角函式: 正弦、餘弦、正切、餘割（點線）、正割（點線）、餘切（點線）

$\sin \theta ={\frac {a}{c}}$, $\cos \theta ={\frac {b}{c}}$, 以及 $\tan \theta ={\frac {a}{b}}$

另外三個基本函式是 *餘割*、*正割* 和 *餘切* 函式，它們分別是 *正弦*、*餘弦* 和 *正切* 函式的倒數。這些函式的影像在右側。

$\csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}={\frac {c}{a}}$, $\sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {c}{b}}$, 以及 $\cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {b}{a}}$

然而，這種定義限制了函式的定義域。因為直角三角形的角度最大隻能是 ${\frac {\pi }{2}}$，大於此角度的角無法定義。因此，為了解決這個問題，單位圓有助於將函式的輸入值從 $[0,{\frac {\pi }{2}}]$ 擴充套件到所有實數。（單位圓將在本節下面進行解釋）

下面總結了這些函式的性質。

三角函式的性質

函式	定義域	值域	奇偶性
正弦 (sin)	$\mathbb {R}$	$[-1,1]$	奇函式
餘弦 (cos)	$\mathbb {R}$	$[-1,1]$	偶函式
正切 (tan)	$x\in \{n\mid n\neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi {\text{, }}k\in \mathbb {Z} \}$	$\mathbb {R}$	奇函式
餘割 (csc)	$x\in \{n\mid n\neq k\pi {\text{, }}k\in \mathbb {Z} \}$	$(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$	奇函式
正割 (sec)	$x\in \{n\mid n\neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi {\text{, }}k\in \mathbb {Z} \}$	$(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$	偶函式
餘切 (cot)	$x\in \{n\mid n\neq k\pi {\text{, }}k\in \mathbb {Z} \}$	$\mathbb {R}$	奇函式

基本值

在三角函式中，有一些重要的值需要記憶，因為這些值是擴充套件到更多值的起點。下表總結了三角函式的基本值。

${\begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline {\begin{matrix}{\text{Radian}}\\\end{matrix}}&{\begin{matrix}0\\\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {\pi }{6}}+2k\pi \\\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {\pi }{4}}+2k\pi \\\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {\pi }{3}}+2k\pi \\\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}+2k\pi \\\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {2\pi }{3}}+2k\pi \\\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {3\pi }{4}}+2k\pi \\\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {5\pi }{6}}+2k\pi \\\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\pi }+2k\pi \\\end{matrix}}\\\hline \sin &0&{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {1}{2}}&0\\\cos &1&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {1}{2}}&0&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-1\\\tan &0&{\frac {\sqrt {3}}{3}}&1&{\sqrt {3}}&{\text{/}}&-{\sqrt {3}}&-1&-{\frac {\sqrt {3}}{3}}&0\\\csc &{\text{/}}&2&{\sqrt {2}}&{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}&1&{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}&{\sqrt {2}}&2&{\text{/}}\\\sec &1&{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}&{\sqrt {2}}&2&{\text{/}}&-2&-{\sqrt {2}}&-{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}&-1\\\cot &{\text{/}}&{\sqrt {3}}&1&{\frac {\sqrt {3}}{3}}&0&-{\frac {\sqrt {3}}{3}}&-1&-{\sqrt {3}}&{\text{/}}\\\hline \end{array}}$

其他這些函式的值可以透過三角恆等式（見下文）和泰勒級數（見6.11）計算。

單位圓

單位圓的圓心是原點 $O$，點 $A=(x_{A},y_{A})$。從點 $A$ 到 $x$ 軸上的 $x$ 建立兩條線段。從這裡我們知道，就 $\theta$ 而言，點 $A=(\cos \theta ,\sin \theta )$ 以及其他屬性。

方程為 $x^{2}+y^{2}=1$ 的圓被稱為單位圓。想象一個圓，其圓心位於 笛卡爾座標系 的原點。

將一條射線從x軸正半軸方向旋轉角度$\theta$（當$\theta >0,$時為逆時針方向，當$\theta <0$時為順時針方向），會得到這條射線與單位圓的交點：圓上的點：$\mathrm {A} =(x_{\mathrm {A} },y_{\mathrm {A} })$, 並且，如果需要，將射線延長成直線，會得到與直線 ${\text{“}}x=1{\text{”}}:\;\mathrm {B} =(x_{\mathrm {B} },y_{\mathrm {B} }),$ 和與直線 ${\text{“}}y=1{\text{”}}:\;\mathrm {C} =(x_{\mathrm {C} },y_{\mathrm {C} }).$。經過點A 的單位圓的切線與該射線垂直，它與y軸和x軸相交於點$\mathrm {D} =(0,y_{\mathrm {D} })$ 和 $\mathrm {E} =(x_{\mathrm {E} },0)$。這些點的座標值以如下方式給出任意實數值$\theta$的所有三角函式值：

三角函式和單位圓

函式	直角三角形定義	單位圓定義
$\sin \theta$	對邊/斜邊	$y_{A}$
$\cos \theta$	鄰邊/斜邊	$x_{A}$
$\tan \theta$	對邊/鄰邊	$y_{B}={\frac {y_{A}}{x_{A}}}$
$\csc \theta$	斜邊/對邊	$y_{D}={\frac {1}{y_{A}}}$
$\sec \theta$	斜邊/鄰邊	$x_{E}={\frac {1}{x_{A}}}$
$\cot \theta$	鄰邊/對邊	$x_{C}={\frac {x_{A}}{y_{A}}}$

單位圓的重要性在於它擴充套件了三角函式的定義。之前，這些值的範圍限制在直角三角形內。現在，這些函式可以用於任何弧度作為其輸入。

三角恆等式

這裡列出的恆等式被認為是微積分的基礎，強烈建議讀者識別和記憶這些恆等式。有關更高階的恆等式，請訪問 三角恆等式列表。

畢達哥拉斯恆等式

三角學中的畢達哥拉斯恆等式

如果存在一個可以繪製在實數軸上的角度 $\theta$，則以下等式可以透過單位圓推匯出。

$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1{\text{, }}1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta {\text{, and }}1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta$

直角三角形定義推導

從 $\sin \theta$、$\cos \theta$ 和 $\tan \theta$ 的定義可以看出

${\textstyle {\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}=\tan \theta }$

同樣地，

${\textstyle {\frac {\csc \theta }{\sec \theta }}=\cot \theta }$

我們可以使用三角函式的定義和勾股定理推匯出一些有用的恆等式。回想一下，給定一個直角三角形，其邊長分別為$a$和$b$，斜邊長為$c$，則$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。假設與邊長$a$和鄰邊長$b$相對的角是$\theta$。透過一些操作，我們可以推匯出三角函式的勾股恆等式。

$\sin \theta ={\frac {a}{c}}{\text{, }}\cos \theta ={\frac {b}{c}}$

$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta ={\frac {a^{2}}{c^{2}}}+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}={\frac {c^{2}}{c^{2}}}=1$

因此，

$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$

勾股恆等式有一些變換形式。其中一種變換方法是將上述方程除以$\sin ^{2}\theta$

${\frac {\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}={\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}$

$\Leftrightarrow {\frac {\sin ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}+{\frac {\cos ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}={\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}$

$\Leftrightarrow 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta$

因此，

$1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta$

同樣，我們可以將等式乘以 ${\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}$，

${\frac {\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}$

$\Leftrightarrow {\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}+{\frac {\cos ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}$

$\Leftrightarrow \tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta$

經過一些調整，我們得到

$1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta$

單位圓定義推導

根據單位圓，假設有一個點 $A=(x_{A},y_{A})$，定義告訴我們

$\sin \theta =y_{A}{\text{, }}\cos \theta =x_{A}{\text{, }}\tan \theta ={\frac {y_{A}}{x_{A}}}{\text{, }}\csc \theta ={\frac {1}{y_{A}}}{\text{, }}\sec \theta ={\frac {1}{x_{A}}}{\text{, and }}\cot \theta ={\frac {x_{A}}{y_{A}}}$

由於單位圓的半徑為1，因此點 $A=(x_{A},y_{A})$ 和圓心的距離應為1。使用距離公式，我們可以得到

$x_{A}^{2}+y_{A}^{2}=1$

$\Leftrightarrow \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$

直角三角形定義推導中畢達哥拉斯恆等式的其他版本可以用相同的方法擴充套件到單位圓。再次，藉助單位圓，三角函式不再侷限於三角形。它將這些函式的視角從三角形擴充套件到所有實數角。

這個恆等式在後面章節討論三角代換時很重要（參見第 4.8 章）。

角的加減恆等式

三角函式定義域的值不僅限於${\frac {\pi }{6}}$, ${\frac {\pi }{4}}$, ${\frac {\pi }{3}}$ 及其倍數。正弦和餘弦函式可以接收無限多的輸入。在計算過程中，人們發現了一些方法來計算一些“非傳統”$\theta$ 值的精確值。請看下面的例子

$\sin \left({\frac {5}{12}}\pi \right)={\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}}{4}}$

這個精確值是絕對正確的，因為存在一個正弦公式可以計算$\sin \left({\frac {5}{12}}\pi \right)$ 的值。

這就是正弦的角加公式。

$\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

其他函式的公式列在下面

三角函式的加減恆等式

如果角$\alpha {\text{ and }}\beta$ 存在，並且$\alpha ,\beta \in \{\mathbb {R} \}$，那麼

$\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$

$\cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$

$\tan \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$

加法的證明

此證明運用了大量的幾何知識。然而，還有一種方法可以使用尤拉公式 來證明，但目前我們還沒有學到。

請看右邊的圖片，它包含 4 個直角三角形：藍色三角形、紅色三角形（斜邊為 1）、左上角三角形和右上角三角形。根據三角函式的定義，相鄰邊和對邊（相對於所標記的角）應該是

正弦和餘弦的角加公式的圖解。加粗的線段長度為 1。

紅色對邊$=1\cdot \sin \beta$			藍色對邊 $=\cos \beta \sin \alpha$			左上角對邊 $=\sin(\alpha +\beta )$			右上角對邊 $=\sin \alpha \sin \beta$
紅色鄰邊 $=1\cdot \cos \beta$			藍色鄰邊 $=\cos \beta \cos \alpha$			左上角鄰邊 $=\cos(\alpha +\beta )$			右上角鄰邊 $=\cos \alpha \sin \beta$

現在，讓我們將視野從單個三角形擴充套件到整個矩形。由於矩形的對邊長度應該相同，所以以下等式應該成立。

左上角對邊 $=$ 藍色對邊 $+$ 右上角鄰邊

左上角鄰邊 $=$ 藍色鄰邊 $-$ 右上角對邊

然後，代入數值將得到

$\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

只需將以上等式相除即可得到正切公式。

$\tan(\alpha +\beta )$	$={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}$
	$={\frac {\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }}$
	$={\frac {{\frac {\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}+{\frac {\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}}{{\frac {\cos \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}-{\frac {\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}}}$
	$={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}$

減法證明

減法只是加法的特殊情況：$a-b=a+(-b)$. 因此，使用這種巧妙的處理方法，可以節省大量繪製三角形的時間。

實際上，在開始計算之前，讓我們回顧一下三角函式的性質（您可以在本節的上方找到它）。由於正弦函式是一個奇函式，它具有以下恆等式。（有關奇函式和偶函式的定義，請參見第 1.2 章）

$\sin \theta =-\sin(-\theta )$

由於餘弦函式是一個偶函式，以下等式也是成立的。

$\cos \theta =\cos(-\theta )$

因此，

$\sin(\alpha -\beta )$	$=\sin(\alpha +(-\beta ))$	$\cos(\alpha -\beta )$	$=\cos(\alpha +(-\beta ))$	$\tan(\alpha -\beta )$	$={\frac {\sin(\alpha -\beta )}{\cos(\alpha -\beta )}}$
	$=\sin \alpha \cos(-\beta )+\cos \alpha \sin(-\beta )$		$=\cos \alpha \cos(-\beta )-\sin \alpha \sin(-\beta )$		$={\frac {\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta }}$
	$=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$		$=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$		$={\frac {{\frac {\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}-{\frac {\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}}{{\frac {\cos \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}+{\frac {\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}}}$
					$={\frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}$

所以，計算 $\sin \left({\frac {5}{12}}\pi \right)$ 的情況現在可以解決了。利用我們剛推匯出的公式，我們可以得到

$\sin({\frac {5}{12}}\pi )$	$=\sin({\frac {\pi }{6}}+{\frac {\pi }{4}})$
	$=\sin {\frac {\pi }{6}}\cos {\frac {\pi }{4}}+\cos {\frac {\pi }{6}}\sin {\frac {\pi }{4}}$
	$={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}$
	$={\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}}{4}}$

對於其他三個三角函式（餘割、正割和餘切），可以應用這些函式的定義並進行一些調整。

$\csc(\alpha \pm \beta )={\frac {1}{\sin(\alpha \pm \beta )}}={\frac {1}{\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }}$

$\sec(\alpha \pm \beta )={\frac {1}{\cos(\alpha \pm \beta )}}={\frac {1}{\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }}$

$\cot(\alpha \pm \beta )={\frac {1}{\tan(\alpha \pm \beta )}}={\frac {1\mp \tan \alpha \tan \beta }{\tan \alpha \pm \tan \beta }}$

這些額外的公式不需要記憶，因為只要知道前三個公式（正弦、餘弦和正切）就足以推匯出另外三個公式。

應用

在某些國家，學生需要記憶公式應用的具體例子。這些具體例子被稱為歸納公式，因為它們在科學問題中被廣泛使用，可以節省將值代入原始公式的大量時間。

然而，藉助單位圓可以更好地理解歸納公式。

例如，偶數個$\pi$的週期可以解釋為在單位圓上旋轉角度進行完整旋轉，而奇數個$\pi$的週期可以解釋為在單位圓上旋轉角度進行半旋轉，然後進行完整旋轉。這些變換可以在單位圓上繪製，這使得計算過程對人們來說更加方便。

偶數個$\pi$的偏移	奇數個$\pi$的偏移	奇偶性（單位圓中關於 x 軸的對稱性）	單位圓中關於 y 軸的對稱性	${\frac {\pi }{2}}$的變換
$\sin(2k\pi +\alpha )=\sin \alpha ,k\in \mathbb {Z}$	$\sin((2k+1)\pi +\alpha )=-\sin \alpha ,k\in \mathbb {Z}$	$\sin(-\alpha )=-\sin \alpha$	$\sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha$	$\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=\cos \alpha$
$\cos(2k\pi +\alpha )=\cos \alpha ,k\in \mathbb {Z}$	$\cos((2k+1)\pi +\alpha )=-\cos \alpha ,k\in \mathbb {Z}$	$\cos(-\alpha )=\cos \alpha$	$\cos(\pi -\alpha )=-\cos \alpha$	$\cos \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\sin \alpha$
$\tan(2k\pi +\alpha )=\tan \alpha ,k\in \mathbb {Z}$	$\tan((2k+1)\pi +\alpha )=\tan \alpha ,k\in \mathbb {Z}$	$\tan(-\alpha )=-\tan \alpha$	$\tan(\pi -\alpha )=-\tan \alpha$	$\tan \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\cot \alpha$$\cot(2k\pi +\alpha )=\cot \alpha ,k\in \mathbb {Z}$	$\cot((2k+1)\pi +\alpha )=\cot \alpha ,k\in \mathbb {Z}$	$\cot(-\alpha )=-\cot \alpha$	$\cot(\pi -\alpha )=-\cot \alpha$	$\cot \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\tan \alpha$
$\csc(2k\pi +\alpha )=\csc \alpha ,k\in \mathbb {Z}$	$\csc((2k+1)\pi +\alpha )=-\csc \alpha ,k\in \mathbb {Z}$	$\csc(-\alpha )=-\csc \alpha$	$\csc(\pi -\alpha )=\csc \alpha$	$\csc \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=\sec \alpha$
$\sec(2k\pi +\alpha )=\sec \alpha ,k\in \mathbb {Z}$	$\sec((2k+1)\pi +\alpha )=-\sec \alpha ,k\in \mathbb {Z}$	$\sec(-\alpha )=\sec \alpha$	$\sec(\pi -\alpha )=-\sec \alpha$	$\sec \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\csc \alpha$

使用這個恆等式，還有很多其他的例子和應用。上面的表格只列出了部分例子。您也可以將具體的數字代入公式進行一些實驗。

倍角公式

強烈建議讀者應該記憶並熟悉這些過程，因為它們會帶來很大的便利。

倍角公式

如果存在一個角度$\alpha$，並且$\alpha \in \{\mathbb {R} \}$，那麼

$\sin(2\alpha )=2\sin \alpha \cos \alpha$

$\cos(2\alpha )=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1=1-2\sin ^{2}\alpha$

$\tan(2\alpha )={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}$

證明

倍角公式很容易用三角函式的加法恆等式推匯出來。之所以將倍角公式與加減法恆等式的應用分開，是因為倍角公式也是半形公式的基礎，也是冪之間轉換的一種方法。這些公式在微積分中非常有用，特別是當需要降低指數的冪時。

$\sin(2\alpha )$	$=\sin(\alpha +\alpha )$	$\cos(2\alpha )$	$=\cos(\alpha +\alpha )$	$\tan(2\alpha )$	$={\frac {\sin(2\alpha )}{\cos(2\alpha )}}$
	$=\sin \alpha \cos \alpha +\cos \alpha \sin \alpha$		$=\cos \alpha \cos \alpha -\sin \alpha \sin \alpha$		$={\frac {2\sin \alpha \cos \alpha }{\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha }}$
	$=2\sin \alpha \cos \alpha$		$=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha$		$={\frac {\frac {2\sin \alpha \cos \alpha }{\cos ^{2}\alpha }}{{\frac {\cos ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }}-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }}}}$
					$={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}$

在 $\cos(2\alpha )$ 的情況下，我們可以利用畢達哥拉斯恆等式將公式轉化為其他形式。

$\cos(2\alpha )=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =\cos ^{2}\alpha -(1-\cos ^{2}\alpha )=2\cos ^{2}\alpha -1$

$\cos(2\alpha )=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =(1-\sin ^{2}\alpha )-\sin ^{2}\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha$

因此，倍角公式完整了。

半形公式

半形公式可以理解為倍角公式的逆運算。證明並不難。利用已知結論，我們可以很容易地推匯出公式。

半形公式

如果一個角度 $\theta$ 存在，且 $\theta \in \{\mathbb {R} \}$，則

$\sin ^{2}({\frac {\theta }{2}})={\frac {1-\cos \theta }{2}}$

$\cos ^{2}({\frac {\theta }{2}})={\frac {1+\cos \theta }{2}}$

$\tan ^{2}({\frac {\theta }{2}})={\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}$

首先，我們要明白

$\cos(2\alpha )=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1=1-2\sin ^{2}\alpha$

只有兩個公式對於推導很重要。

$\cos(2\alpha )=2\cos ^{2}\alpha -1$ 以及 $\cos(2\alpha )=1-2\sin ^{2}\alpha$$\alpha ={\frac {\theta }{2}}$。所以

$\cos \theta =2\cos ^{2}({\frac {\theta }{2}})-1$ 以及 $\cos \theta =1-2\sin ^{2}({\frac {\theta }{2}})$

經過一些調整，可以得到

$\cos ^{2}({\frac {\theta }{2}})={\frac {1+\cos \theta }{2}}$ 以及 $\sin ^{2}({\frac {\theta }{2}})={\frac {1-\cos \theta }{2}}$

然而，這可以改進，因為方程式左側的指數沒有被消除。問題在於不能簡單地對整個方程式進行開平方，因為正負號非常重要。因此，為了解決這個問題，使用了一個函式。

$\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}$

因此，公式可以改進。

$\sin {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(2\pi -\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\theta }{4\pi }}\right\rfloor \right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}$

$\cos {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(\pi +\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\pi -\theta }{4\pi }}\right\rfloor \right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}$

$\tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin {\frac {\theta }{2}}}{\cos {\frac {\theta }{2}}}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}}$

建議使用單位圓來確定答案的符號，這樣更方便。此外，帶指數的方程在微積分中使用頻率更高，因為半形公式使積分更方便的原因是，這些公式可以消除指數而不是生成平方根。

正切半形替換

正切半形替換非常強大，因為任何基本三角函式都可以用 $\tan {\frac {\alpha }{2}}$ 表示。

正切半形替換

如果存在一個角度$\alpha$，並且$\alpha \in \{\mathbb {R} \}$，那麼

$\sin \alpha ={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$

$\cos \alpha ={\frac {1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$

$\tan \alpha ={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$

證明

證明稍微困難，因為它需要關於二倍角公式的特殊操作。讓我們先從正弦函式開始。我們已經知道 $\sin \alpha =2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}$。讓我們進行一些調整。首先，將方程寫成分數形式。

$\sin \alpha ={\frac {2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}}{1}}$

現在，將分子和分母都除以 $\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}$

${\frac {2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}}{1}}={\frac {\frac {2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}{\frac {1}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}$

經過一些抵消和調整，並知道 ${\frac {1}{\cos \theta }}=\sec \theta$ 

${\frac {\frac {2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}{\frac {1}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{\sec ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$

根據畢達哥拉斯恆等式，$1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta$ 

${\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{\sec ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$

最終，

$\sin \alpha ={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$

餘弦的推導過程類似

$\cos \alpha$	$=\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}$（二倍角公式）
	$={\frac {\frac {\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}{\frac {1}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}$（將等式兩邊除以$\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}$)
	$={\frac {1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{\sec ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$（做一些調整）
	$={\frac {1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$（使用畢達哥拉斯恆等式）

正切公式基本上沒有推導，因為它與正切的二倍角公式相同。

$\tan \alpha ={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$

正弦定理和餘弦定理

這些定理更像是三角學的應用，而不是恆等式，但與它們對應的公式相比，它們同樣重要。

正弦定理和餘弦定理

如果有一個任意三角形，它的邊長為$a{\text{, }}b{\text{, and }}c$，與這些邊相對的角為$A{\text{, }}B{\text{, and }}C$，則

${\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}={\frac {2\Delta }{abc}}$，其中 $\Delta$ 是三角形的面積。

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$

證明

一個三角形，三邊分別為a、b、c，對應角分別為A、B、C。

正弦定理的證明需要用到三角形面積公式：

$Area={\frac {1}{2}}\cdot B\cdot h$

在右側的三角形中，可以有三種方式描述面積：

$\Delta ={\frac {1}{2}}b(c\sin A)={\frac {1}{2}}c(a\sin B)={\frac {1}{2}}a(b\sin C)$

然後將這些式子乘以 ${\frac {2}{abc}}$。

${\frac {2\Delta }{abc}}={\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}$

餘弦定理的證明需要用到勾股定理：

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$（當三角形 $ABC$ 是直角三角形，且 $c$ 為斜邊）

在任意三角形中，勾股定理可以寫成以下形式：

$c^{2}=(a-b\cos C)^{2}+(b\sin C)^{2}$

$\Leftrightarrow c^{2}=a^{2}-2ab\cos C+b^{2}\cos ^{2}C+b^{2}\sin ^{2}C$

$\Leftrightarrow c^{2}=a^{2}-2ab\cos C+b^{2}(\cos ^{2}C+\sin ^{2}C)$

根據三角學中的勾股定理 $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$

當我們深入微積分的世界時，將發現更多恆等式。

反三角函式

正如其名，反三角函式是三角函式的逆函式。逆函式的定義是：

逆函式的定義

如果 $f^{-1}(f(x))=x$，則 $f^{-1}(x)$ 是 $f(x)$ 的逆函式，對所有 $x$ 成立。

反三角函式的概念並不難理解。

反三角函式的表示法有兩種常見的形式。其中一種形式直觀，因為它源於定義：$\sin(x)$ 的逆函式是 $\sin ^{-1}(x)$。然而，由於這很容易被誤認為是函式 $\sin(x)$ 的倒數，本節以及本整本書將採用第二種表示法。

$f(x)$	$f^{-1}(x)$
$\sin(x)$	$\arcsin(x)$
$\cos(x)$	$\arccos(x)$
$\tan(x)$	$\arctan(x)$
$\cot(x)$	$\operatorname {arccot}(x)$
$\sec(x)$	$\operatorname {arcsec}(x)$
$\csc(x)$	$\operatorname {arccsc}(x)$

性質

逆函式本質上是反轉原始函式的過程。例如，如果 $g$ 是 $f$ 的逆函式，並且 $f(a)=b$，那麼 $g(b)=a$。將 $a$ 轉換為 $b$ 的過程被反轉，現在是從 $b$ 到 $a$。這種恆等式也存在於反三角函式中。反三角函式不是將角度轉換為線性長度，而是將線性長度轉換為角度。

$\sin(\theta )=x$，所以 $\arcsin(x)=\theta$。

然而，作為一個函式，它們仍然需要遵守函式的基本規則，即：根據定義，對於每個“輸入”，函式只能返回一個與該輸入相對應的“輸出”。雖然相同的輸出可能對應多個輸入，但 **一個輸入不能對應多個輸出。**（參見 1.2）。換句話說，結果只能有一個。由於許多角度在三角函式中可能具有相同的結果，所以所謂的反三角函式在技術上不是函式。以以下為例

$\sin(2k\pi )=0$ $(k\in \mathbb {Z} )$

$\arcsin(0)=2k\pi$ $(k\in \mathbb {Z} )$（不是函式）

因此，為了解決多個輸出問題，數學家限制了這些所謂的反三角函式的定義域和值域，以避免上述情況。並且由於限制之後沒有多個輸出，這些所謂的反三角函式最終成為了函式。

函式	定義域	值域	影像
$\arcsin(x)$	$[-1,1]$	$[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]$
$\arccos(x)$	$[-1,1]$	$[0,\pi ]$
$\arctan(x)$	$\mathbb {R}$	$(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})$
$\operatorname {arccot}(x)$	$\mathbb {R}$	$(0,\pi )$
$\operatorname {arcsec}(x)$	$(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$	$[0,{\frac {\pi }{2}})\cup ({\frac {\pi }{2}},\pi ]$
$\operatorname {arccsc}(x)$	$(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$	$[-{\frac {\pi }{2}},0)\cup (0,{\frac {\pi }{2}}]$

請注意，不同文獻中，反正割和反餘割的範圍可能會有所不同。

一般解

由於這些反函式被視為函式，因此這些函式的輸出不是此類問題的通解。

求滿足$\sin(\theta )={\frac {1}{2}}$的所有角度。

由於$\arcsin({\frac {1}{2}})={\frac {\pi }{6}}$，答案應該是${\frac {\pi }{6}}$。然而，在單位圓上檢查答案後，我們發現${\frac {5\pi }{6}}$也滿足問題。因此，應該有一種方法可以使用反正弦函式來表示所有滿足要求的可能角度。幸運的是，確實有。一種寫答案的方法是

$\theta \in \{\theta |\theta ={\frac {\pi }{6}}+2k\pi ,k\in \mathbb {Z} \}\cup \{\theta |\theta ={\frac {5\pi }{6}}+2k\pi ,k\in \mathbb {Z} \}$

如您所見，${\frac {\pi }{6}}=\arcsin({\frac {1}{2}})$ 和 ${\frac {5\pi }{6}}=-\arcsin({\frac {1}{2}})+\pi$。將這些結果代入答案將得到

$\theta \in \{\theta |\theta =\arcsin({\frac {1}{2}})+2k\pi ,k\in \mathbb {Z} \}\cup \{\theta |\theta =-\arcsin({\frac {1}{2}})+(2k+1)\pi ,k\in \mathbb {Z} \}$

現在，將 ${\frac {1}{2}}$ 作為 $y$ 代入，$\theta {\text{ in }}\sin(\theta )=y$ 的一般解是

$\theta \in \{\theta |\theta =\arcsin(y)+2k\pi ,k\in \mathbb {Z} \}\cup \{\theta |\theta =-\arcsin(y)+(2k+1)\pi ,k\in \mathbb {Z} \}$

使用相同的方法，其他方程的一般解為

問題	解答
$\sin(\theta )=y$	$\theta \in \{\theta |\theta =\arcsin(y)+2k\pi ,k\in \mathbb {Z} \}\cup \{\theta |\theta =-\arcsin(y)+(2k+1)\pi ,k\in \mathbb {Z} \}$
$\cos(\theta )=x$	$\theta \in \{\theta |\theta =\arccos(x)+2k\pi ,k\in \mathbb {Z} \}\cup \{\theta |\theta =-\arccos(x)+2(k+1)\pi ,k\in \mathbb {Z} \}$
$\tan(\theta )=r$	$\theta \in \{\theta |\theta =\arctan(r)+k\pi ,k\in \mathbb {Z} \}$

其他諸如 $\cot(\theta )={\frac {1}{r}}$ 的問題可以簡化為 ${\frac {1}{\tan(\theta )}}={\frac {1}{r}}$.

由於逆函式具有恆等式 $f^{-1}(f(x))=x$, $\arcsin(\sin(\theta ))=\theta$。因此，當處理像這樣的方程：$\sin(\theta )=\sin(\alpha )$，其中 $\alpha$ 是一個常數，一般解可以更簡化，因為 $\arcsin(\sin(\alpha ))=\alpha$.

關係

下表展示了三角函式和逆三角函式之間的關係。

$\theta$	$\sin(\theta )$	$\cos(\theta )$	$\tan(\theta )$
$\arcsin(x)$	$\sin(\arcsin(x))=x$	$\cos(\arcsin(x))={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\tan(\arcsin(x))={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arccos(x)$	$\sin(\arccos(x))={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\cos(\arccos(x))=x$	$\tan(\arccos(x))={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$
$\arctan(x)$	$\sin(\arctan(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos(\arctan(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan(\arctan(x))=x$
$\operatorname {arccot}(x)$	$\sin(\operatorname {arccot}(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos(\operatorname {arccot}(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan(\operatorname {arccot}(x))={\frac {1}{x}}$
$\operatorname {arcsec}(x)$	$\sin(\operatorname {arcsec}(x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}$	$\cos(\operatorname {arcsec}(x))={\frac {1}{x}}$	$\tan(\operatorname {arcsec}(x))={\sqrt {x^{2}-1}}$
$\operatorname {arccsc}(x)$	$\sin(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {1}{x}}$	$\cos(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}$	$\tan(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$

證明這些並不困難。例如，取 $\tan(\arcsin(x))={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$。首先，令 $x=\sin(\theta )$。所以

$\tan(\arcsin(x))=\tan(\arcsin(\sin(\theta )))=\tan(\theta )$

由於 $\tan(\theta )={\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}$ 並且 $\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1$,

$\tan(\theta )={\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}={\frac {\sin(\theta )}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}$

由於 $x=\sin(\theta )$,

${\frac {\sin(\theta )}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

因此，$\tan(\arcsin(x))={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$.

其他關係式可以透過此方法證明。

相關函式

儘管這些其他相關函式在微積分中同樣重要，但不需要像首頁上的基本函式那樣強記。

雙曲函式

透過 單位雙曲線 x² − y² = 1 上的點 (cosh a, sinh a) 作射線，其中 $a$ 是射線、雙曲線和 $x$ 軸圍成的面積的兩倍。對於雙曲線下方 $x$ 軸的點，面積被認為是負的（見 動畫版本，與三角函式（圓函式）比較）。

雙曲函式是三角函式的另一種形式。三角函式是在單位圓上定義的（參見首頁上的部分），而雙曲函式是在單位雙曲線的正 x 軸上定義的（參見更多關於 雙曲函式的資訊）。

單位雙曲線的方程是 $x^{2}-y^{2}=1$。由於雙曲函式只在方程的正 x 軸部分定義，更確切地說，我們只需要方程的這一部分

$x^{2}-y^{2}=1$ $(x>0)$

將一條射線從x軸正半軸方向旋轉角度$\theta$（當$\theta >0,$時為逆時針方向，當$\theta <0$時為順時針方向），將得到此射線與單位雙曲線相交的交點：$A=(x_{A},y_{A})$。定義如下：

$\sinh a=y_{A}$

$\cosh a=x_{A}$

$\tanh a={\frac {y_{A}}{x_{A}}}$

其中$a$是射線、雙曲線和$x$軸之間面積的兩倍。

根據定義，我們可以看到$\cosh ^{2}a-\sinh ^{2}a=1$。

sinh，cosh 和 tanh

尤拉公式

尤拉公式是複變函式中的一個數學公式，它建立了三角函式和復指數函式之間的基本關係。尤拉公式指出，對於任何實數x

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

對於不知道的人來說，$e$是對數的自然底數，$i$是虛數單位$(i={\sqrt {-1}})$。此公式在各種科學領域中非常有用。但是，這超出了本章的範圍。此公式將在第6.11章中提及。