微積分/函式作圖

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僅僅根據函式定義來理解函式的行為有時比較困難，視覺化表示或圖形可以非常有用。圖形是笛卡爾平面中的點集，其中每個點 $(x,y)$ 表示 $f(x)=y$ 。換句話說，圖形使用一個方向上的點的位置（縱軸或 $y$ 軸）來表示另一個方向上的點的位置（橫軸或 $x$ 軸）的 $f$ 值。

可以透過找到不同 $x$ 的 $f$ 值並繪製笛卡爾平面上的點 $(x,f(x))$ 來繪製函式圖形。對於您將要處理的函式，點之間的函式部分通常可以透過在點之間繪製直線或曲線來近似。也可以將函式擴充套件到點集之外，但這會變得越來越不準確。

線性函式

線性函式的作圖很容易理解和進行。因為我們知道兩點可以構成一條直線，所以如果這兩點位於函式上，那麼我們只需要兩個點就可以繪製線性函式的圖形。相反，如果我們只知道兩個位於函式上的點，我們就可以寫出線性函式的方程。

以下部分主要介紹線性函式符號的不同形式，以便您能夠輕鬆識別或繪製函式圖形。

簡介

這樣繪製點非常費力。幸運的是，許多函式的圖形都遵循一般的模式。對於簡單的情況，考慮以下形式的函式：

f(x)=3x+2

$f$ 的圖形是一條直線，經過點 $(0,2)$ ，斜率為 3。因此，在繪製完點之後，可以使用直尺來繪製圖形。這種型別的函式被稱為線性函式，有幾種不同的方法來表示這種型別的函式。

斜率

斜率是線性函式的基礎，因為它表示當輸入變化時函式的輸出變化多少。例如，如果函式的斜率為 2，則表示當函式的輸入增加 1 個單位時，函式的輸出增加 2 個單位。現在，讓我們來看一個更數學的例子。

考慮以下函式： $f(x)=-5x+8$ 。數字 $-5$ 代表什麼？
這意味著當 $x$ 增加 1 時， $f(x)$ 減少 5。
用數學術語來說
$f(x+1)-f(x)=(-5(x+1)+8)-(-5x+8)=-5$

計算斜率很容易，因為斜率就像車輛的速度。如果我們將距離的變化除以相應的時間變化，我們就會得到速度。類似地，如果我們將 $f(x)$ 的變化除以相應 $x$ 的變化，我們就會得到斜率。如果給定兩點， $(x_{1},y_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2})$ ，我們可以計算透過這兩點的直線的斜率。請記住，斜率被確定為“上升量除以前進量”。也就是說，斜率是 $y$ 值的變化除以 $x$ 值的變化。用符號表示

${\text{slope}}~={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

線性函式中的斜率

如果線性函式上的兩點為 $(x_{1},y_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2})$ ，那麼線性函式的斜率為

m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}

有趣的是，斜率與函式圖形與正 $x$ 軸之間的角度 $\theta$ 之間存在著微妙的關係。這種關係是

$m=\tan \theta$

這是一個顯而易見的關係，但很容易被忽略。

斜截式

當我們看到一個函式表示為

$y=f(x)=mx+b$

我們稱這種表示為斜截式。這是因為，不出所料，這種寫線性函式的方式包含了斜率， $m$ ，和 $y$ -截距， $b$ 。

示例 1： 畫出函式 $f(x)=3x+2$ 的圖。

該函式的斜率為 3，它與 $y$ 軸相交於點 $(0,2)$ 。為了畫出該函式，我們需要另一個點。由於該函式的斜率為 3，所以

$f(x+1)=f(x)+3$

$f(1)=f(0+1)=f(0)+3=5$

知道該函式經過點 $(0,2){\text{ and }}(1,5)$ ，該函式就可以很容易地畫出來。

$\blacksquare$

示例 2： 現在，考慮另一個未知的線性函式，它經過點 $(-3,-4){\text{ and }}(0,5)$ 。該函式的方程是什麼？

可以用上面提到的公式計算斜率。

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {5-(-4)}{0-(-3)}}=3$

並且由於 $y$ 軸截距是 $(0,5)$ ，我們可以知道

$b=5$

因此，該線性函式的方程應為

$g(x)=3x+5$

$\blacksquare$

點斜式

如果有人走到你面前，給你一個點和一個斜率，你可以畫出一條且只有一條經過該點且具有該斜率的直線。換句話說，一個點和一個斜率唯一地確定一條直線。因此，如果給定一個點 $(x_{0},y_{0})$ 和一個斜率 $m$ ，我們將圖表示為

$y-y_{0}=m(x-x_{0})$

我們稱這種表示為點斜式。點斜式和斜截式本質上是相同的。在點斜式中，我們可以使用圖經過的任何點。而在斜截式中，我們使用 $y$ -截距，即點 $(0,b)$ 。點斜式非常重要。雖然它不像其對應物斜截式那樣經常使用，但瞭解一個點並沿著斜率方向畫出直線的概念，在我們未來章節中學習直線和平面的向量方程時將會遇到。

示例 1：如果一個線性函式經過點 $(3,-4){\text{ and }}(1,5)$ ，該函式的方程是什麼？

斜率為

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {5-(-4)}{1-3}}=-{\frac {9}{2}}$

由於我們知道兩個點，以下答案都是正確的

$y+4=-{\frac {9}{2}}(x-3){\text{ or }}y-5=-{\frac {9}{2}}(x-1)$

$\blacksquare$

兩點式是另一種寫線性函式方程的形式。它類似於點斜式。給定點 $(x_{1},y_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2})$ ，我們有方程

$y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1})$

本簡報使用的是兩點式。它本質上與點斜式相同，只是我們將表示式 ${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ 替換為 $m$ 。但是，此表示式在數學中並不常用，因為在大多數情況下， $(x_{1},y_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2})$ 是已知的座標。寫下龐大的 ${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ 來代替一個簡單的斜率表示式是多餘的。

截距式

截距式如下所示

${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1$

透過將函式寫成截距式，我們可以快速確定 $x,y$ -軸截距。

$x$ -軸截距： $(a,0)$

$y$ -軸截距： $(0,b)$

當我們討論三維空間中的平面時，這種形式將非常有用，可以用來確定 $x,y,z$ -軸截距。

二次函式

要繪製二次函式的影像，有一種簡單但繁瑣的方法，還有一種複雜但巧妙的方法。簡單的方法是將自變數 $x$ 用不同的數字替換，並計算輸出 $f(x)$ 。進行一些替換後，繪製這些 $(x,f(x))$ 並用曲線連線這些點。複雜的方法是找到特殊點，如截距和頂點，然後繪製出來。以下部分是關於如何找到這些特殊點的指南，這在後面的章節中將很有用。

實際上，還有一種第三種方法，我們將在第1.6章中討論。

標準式

二次函式是看起來像這樣的函式

$y=f(x)=ax^{2}+bx+c$ ，其中 $a,b,c$ 是常數。

常數 $a$ 決定了函式的凹凸性：如果 $a>0$ ， $f(x)$ 向上凹；如果 $a<0$ ， $f(x)$ 向下凹。

常數 $c$ 是 $y$ 軸截距的座標。換句話說，該函式經過點 $(0,c)$ 。

頂點形式

頂點形式比標準形式有其優勢。標準形式可以確定凹凸性和 $y$ 軸截距，而頂點形式可以，顧名思義，確定函式的頂點。二次函式的頂點是函式影像上的最高點/最低點，取決於凹凸性。如果 $a>0$ ，頂點是影像上的最低點；如果 $a<0$ ，頂點是影像上的最高點。

頂點形式是這樣的

$y=f(x)=a(x-h)^{2}+k$ ，其中 $a,h,k$ 是常數。

該函式的頂點是 $(h,k)$ ，因為當 $x=h$ 時， $f(h)=k$ 。如果 $a>0$ ， $f(h)=k$ 是該函式所能達到的絕對最小值。如果 $a<0$ ， $f(h)=k$ 是該函式所能達到的絕對最大值。任何標準形式都可以轉換為頂點形式。頂點形式帶有常數 $a,b,c$ ，看起來像這樣

$y=f(x)=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}+(c-{\frac {b^{2}}{4a}})$ ，其中 $a,b,c$ 是標準形式中的常數

因式分解形式

因式分解形式可以確定 $x$ 軸截距，因為因式分解形式看起來像這樣

$y=f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$ ，其中 $x_{1},x_{2}$ 是常數，並且是方程 $a(x-x_{1})(x-x_{2})=0$ 的解

因此，可以確定該函式經過點 $(x_{1},0){\text{ and }}(x_{2},0)$ 。

但是，只有某些函式可以寫成這種形式。如果二次函式沒有 $x$ 軸截距，則無法用因式分解形式寫出來。

示例 1：該函式的頂點是什麼？ $f(x)=x^{2}+2x+3$

該方程可以很容易地轉換為頂點形式

$x^{2}+2x+3=(x^{2}+2x+1)+2=(x+1)^{2}+2$

因此，頂點是 $(-1,2)$ .

$\blacksquare$

例 2： 右邊的影像是一個二次函式。描述彩色文字的含義，它們是二次函式的重要屬性。

$y=ax^{2}+bx+c$

這是二次函式的方程式。在本例中， $a>0$ ， $c<0$ 。由於存在兩個 $x$ 軸截距，我們可以發現 $\Delta =b^{2}-4ac>0$ .

點 $({\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},0){\text{ and }}({\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},0)$

這是兩個 $x$ 軸截距的座標。已知座標後，該函式可以寫成其因式分解形式
$y=a(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}})(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}})$
如果你在推導二次公式或理解表示式 $\Delta$ 時遇到困難，請參見二次函式。

點 $(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}})$

這是二次函式的頂點。因為 $a>0$ ，頂點是圖中的最低點。由於頂點已知，我們可以將函式寫成頂點形式
$y=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}$
雖然這看起來不像我們之前討論過的方程，但請注意 $-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}=+c-{\frac {b^{2}}{4a}}$ .