微積分/有理函式

有理函式是指“任何可以用有理分數定義的函式，即代數分數，其分子和分母都是多項式”。

定義。 函式 $f(x)$ 稱為有理函式當且僅當它可以寫成以下形式

$f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}$

其中 $P\,$ 和 $Q\,$ 是 $x\,$ 的多項式，並且 $Q\,$ 不是零多項式。函式 $f\,$ 的定義域是所有點 $x\,$ 的集合，對於這些點，分母 $Q(x)\,$ 不為零。

可以證明，有理函式的和、積和商（除了被零多項式除以外，這將導致函式未定義）都是有理函式。

示例。 定義 $f_{1}(x)=x^{2}/x$，$f_{2}(x)=x$，$g(x)=\pi$ 和 $h(x)=\tan x$。

1 在以下選項中，選擇所有有理函式。

	$f_{1}(x)$
	$f_{2}(x)$
	$g(x)$
	$h(x)$

2 是 $f_{1}(x)=f_{2}(x)$ 嗎？

	是
	否

3 選擇所有可能的$g(x)$ 的表示式，形式為$P(x)/Q(x)$，其中$P(x),Q(x)$ 是多項式函式。

	$g(x)$ 不是有理函式。因此，沒有可能的表示式。
	$g(x)=3\pi /3$
	$g(x)=\pi /1$
	$g(x)=\pi x/x$
	$g(x)=0\pi /0$
	$g(x)=\pi ^{2}/\pi$

示例

有理函式的例子

三次有理函式：$y={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}$

二次有理函式：$y={\frac {x^{2}-3x-2}{x^{2}-4}}$

有理函式$f(x)={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}$ 在$x^{2}=5\Leftrightarrow x=\pm {\sqrt {5}}$ 處沒有定義。它關於$y={\frac {x}{2}}$ 是漸近線，即$x$ 趨近正無窮或負無窮時，越來越接近$y={\frac {x}{2}}$。

有理函式 $f(x)={\frac {x^{2}+2}{x^{2}+1}}$ 對所有實數都有定義，但對所有複數沒有定義，因為如果 $x$ 是 $-1$ 的平方根（即虛數單位或它的負數），那麼正式求值將導致被零除：$f(i)={\frac {i^{2}+2}{i^{2}+1}}={\frac {-1+2}{-1+1}}={\frac {1}{0}}$，這是未定義的。

每個多項式函式 $f(x)=P(x)$ 是一個有理函式，其中 $Q(x)=1$。不能寫成這種形式的函式，例如 $f(x)=\sin(x)$，不是有理函式。形容詞“無理數”通常不用於函式。

畫出一個有理函式的圖形

(1)我們來畫出 $y={\frac {1}{x}}$ 的圖形。
首先，我們必須避免 $x=0$，因為任何東西都不能被 0 除。因此，x 在等式中不應該是 0。現在我們只需代入一些 x 的值。結果如下

$x=1$	$y=1$
$x=2$	$y={\frac {1}{2}}$
$x=3$	$y={\frac {1}{3}}$
$x=-3$	$y=-{\frac {1}{3}}$
$x=-2$	$y=-{\frac {1}{2}}$
$x=-1$	$y=-1$

當 x 越來越大時，函式本身越來越小。這是 ${\frac {1}{x}}$ 的影像。

參考文獻

• 維基百科關於有理函式的文章
• Paul 的線上數學筆記"有理函式"