微積分/函式影像

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有時很難僅從函式定義來理解函式的行為；視覺表示或影像可以非常有用。影像是笛卡爾平面中的一組點，其中每個點 $(x,y)$ 表示 $f(x)=y$ 。換句話說，影像使用一個方向（縱軸或 $y$ 軸）的點的位置來指示另一個方向（橫軸或 $x$ 軸）的點位置的 $f$ 的值。

可以透過找到各種 $x$ 的 $f$ 的值，並在笛卡爾平面上繪製點 $(x,f(x))$ 來繪製函式影像。對於您將要處理的函式，點之間的函式部分通常可以透過在點之間繪製直線或曲線來近似。也可以將函式擴充套件到點集之外，但這會越來越不準確。

線性函式

線性函式的影像很容易理解和繪製。因為我們知道兩點可以形成一條直線，所以如果這兩個點位於函式上，我們只需要兩個點就可以繪製線性函式影像。反之，如果我們只知道函式上的兩個點，我們就可以寫出線性函式的方程。

以下部分主要討論線性函式符號的不同形式，以便您可以輕鬆識別或繪製函式影像。

介紹

像這樣繪製點很費力。幸運的是，許多函式的影像符合一般的模式。對於一個簡單的例子，考慮形式為

f(x)=3x+2

的函式的影像

斜率

斜率是線性函式的支柱，因為它顯示了當輸入發生變化時函式的輸出變化了多少。例如，如果函式的斜率為 2，則意味著當函式的輸入增加 1 個單位時，函式的輸出增加 2 個單位。現在，讓我們看一個更數學的例子。

考慮這個函式： $f(x)=-5x+8$ 。數字 $-5$ 代表什麼？
這意味著當 $x$ 增加 1 時， $f(x)$ 減少 5。
用數學術語來說
$f(x+1)-f(x)=(-5(x+1)+8)-(-5x+8)=-5$

計算斜率很容易，因為斜率就像車輛的速度。如果我們將距離變化和對應的時間變化相除，就會得到速度。類似地，如果我們將 $f(x)$ 的變化除以 $x$ 的對應變化，我們就會得到斜率。如果給出兩個點， $(x_{1},y_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2})$ ，我們就可以計算經過這兩個點的直線的斜率。記住，斜率被定義為“上升量除以執行量”。也就是說，斜率是 $y$ 值的變化除以 $x$ 值的變化。用符號表示

${\text{slope}}~={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$

線性函式中的斜率

如果線性函式上有兩個點 $(x_{1},y_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2})$ ，則線性函式的斜率是

m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}

有趣的是，斜率和函式圖與正 $x$ 軸之間的角度 $\theta$ 之間存在著微妙的關係。這種關係是

$m=\tan \theta$

這是一個顯而易見的公式，但很容易被忽略。

斜截式

當我們看到一個函式被表示為

$y=f(x)=mx+b$

我們稱這種表示為 **斜截式**。這是因為，不出所料，這種寫線性函式的方式包含了斜率， $m$ ，以及 $y$ 軸截距， $b$ 。

示例 1： 畫出函式 $f(x)=3x+2$ 的影像。

該函式的斜率為 3，它在 $y$ 軸上的點 $(0,2)$ 與之相交。為了畫出該函式的影像，我們需要另一個點。由於該函式的斜率為 3，那麼

$f(x+1)=f(x)+3$

$f(1)=f(0+1)=f(0)+3=5$

知道該函式經過點 $(0,2){\text{ and }}(1,5)$ ，該函式的影像可以很容易地畫出來。

$\blacksquare$

示例 2： 現在，考慮另一個經過點 $(-3,-4){\text{ and }}(0,5)$ 的未知線性函式。該函式的方程是什麼？

可以用上面提到的公式計算斜率。

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {5-(-4)}{0-(-3)}}=3$

由於 $y$ 軸截距是 $(0,5)$ ，我們可以知道

$b=5$

因此，此線性函式的方程應該是

$g(x)=3x+5$

$\blacksquare$

點斜式

如果有人走近你，給你一個點和一個斜率，你可以畫出一條直線，並且只有一條直線經過該點並且具有該斜率。換句話說，一個點和一個斜率唯一地確定一條直線。因此，如果給定一個點 $(x_{0},y_{0})$ 和一個斜率 $m$ ，我們將圖形表示為

$y-y_{0}=m(x-x_{0})$

我們將這種表示稱為**點斜式**。點斜式和斜截式本質上是相同的。在點斜式中，我們可以使用圖形經過的任何點。而斜截式，我們使用的是 $y$ 截距，即點 $(0,b)$ 。點斜式非常重要。雖然它不像它的對應斜截式那樣頻繁地使用，但瞭解一個點並沿著斜率方向畫出直線的概念將在我們進入以後章節的直線和平面的向量方程時遇到。

**示例 1：**如果一個線性函式經過點 $(3,-4){\text{ and }}(1,5)$ ，此函式的方程是什麼？

斜率為

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {5-(-4)}{1-3}}=-{\frac {9}{2}}$

由於我們知道兩個點，以下答案都是正確的

$y+4=-{\frac {9}{2}}(x-3){\text{ or }}y-5=-{\frac {9}{2}}(x-1)$

$\blacksquare$

兩點式是另一種寫線性函式方程的形式。它類似於點斜式。給定點 $(x_{1},y_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2})$ ，我們有方程

$y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1})$

本簡報採用兩點式。它本質上與點斜式相同，只是我們將表示式 ${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ 替換為 $m$ 。然而，這個表示式在數學中並不常用，因為在大多數情況下， $(x_{1},y_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2})$ 是已知座標。寫下笨重的 ${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ ，而不是簡單的斜率表示式，將是多餘的。

截距式

截距式看起來像這樣

${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1$

透過將函式寫成截距式，我們可以快速確定 $x,y$ 軸的截距。

$x$ 軸截距： $(a,0)$

$y$ 軸截距： $(0,b)$

當我們討論三維空間中的平面時，這種形式對於確定 $x,y,z$ 軸的截距非常有用。

二次函式

要繪製二次函式，有一種簡單但工作量大的方法，也有一種複雜但巧妙的方法。簡單的方法是用各種數字替換自變數 $x$ ，並計算輸出 $f(x)$ 。在進行一些替換後，將這些 $(x,f(x))$ 繪製出來，並用曲線連線這些點。複雜的方法是找到特殊的點，例如截距和頂點，然後繪製出來。以下部分將指導您找到這些特殊點，這將在以後的章節中發揮作用。

實際上，還有一種第三種方法，我們將在第1.6章中討論。

標準形式

二次函式是看起來像這樣的函式

$y=f(x)=ax^{2}+bx+c$ ，其中 $a,b,c$ 是常數

常數 $a$ 決定了函式的凹凸性：如果 $a>0$ ， $f(x)$ 向上凹；如果 $a<0$ ， $f(x)$ 向下凹。

常數 $c$ 是 $y$ 軸截距的 $y$ 座標。換句話說，該函式經過點 $(0,c)$ 。

頂點形式

頂點形式比標準形式有其優勢。雖然標準形式可以確定凹凸性和 $y$ 軸截距，但頂點形式，顧名思義，可以確定函式的頂點。二次函式的頂點是函式圖上最高或最低的點，這取決於凹凸性。如果 $a>0$ ，頂點是圖上的最低點；如果 $a<0$ ，頂點是圖上的最高點。

頂點形式如下所示

$y=f(x)=a(x-h)^{2}+k$ ，其中 $a,h,k$ 是常數

該函式的頂點是 $(h,k)$ ，因為當 $x=h$ 時， $f(h)=k$ 。如果 $a>0$ ， $f(h)=k$ 是該函式所能達到的絕對最小值。如果 $a<0$ ， $f(h)=k$ 是該函式所能達到的絕對最大值。任何標準形式都可以轉換為頂點形式。頂點形式，其中常數為 $a,b,c$ ，看起來像這樣

$y=f(x)=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}+(c-{\frac {b^{2}}{4a}})$ ，其中 $a,b,c$ 是標準形式中的常數

因式分解形式

因式分解形式可以確定 $x$ 軸截距，因為因式分解形式看起來像這樣

$y=f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$ ，其中 $x_{1},x_{2}$ 是常數，並且是方程 $a(x-x_{1})(x-x_{2})=0$ 的解。

因此，可以確定該函式經過點 $(x_{1},0){\text{ and }}(x_{2},0)$ 。

然而，只有某些函式可以寫成這種形式。如果二次函式沒有 $x$ 軸截距，則不可能將其寫成因式分解形式。

示例 1：該函式的頂點是什麼？ $f(x)=x^{2}+2x+3$

該方程可以很容易地轉換為頂點形式

$x^{2}+2x+3=(x^{2}+2x+1)+2=(x+1)^{2}+2$

因此，頂點是 $(-1,2)$ .

$\blacksquare$

例2： 右邊的影像是一個二次函式。描述彩色文字的含義，它們是二次函式的重要屬性。

$y=ax^{2}+bx+c$

這是二次函式的方程。在這種情況下， $a>0$ ， $c<0$ 。由於存在兩個 $x$ 軸截距，我們可以發現 $\Delta =b^{2}-4ac>0$ .

點 $({\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},0){\text{ and }}({\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},0)$

這些是兩個 $x$ 軸截距的座標。已知座標，則該函式可以寫成其因式分解形式
$y=a(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}})(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}})$
如果您在推匯出二次方程公式或理解表示式 $\Delta$ 方面遇到困難，請參閱二次函式.

點 $(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}})$

這是二次函式的頂點。因為 $a>0$ ，頂點是圖上的最低點。由於已知頂點，我們可以用頂點形式來寫出該函式
$y=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}$
雖然這看起來不像我們之前討論過的方程，但請注意 $-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}=+c-{\frac {b^{2}}{4a}}$ .