微積分/代數

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本節的目的是讓讀者複習重要的代數概念。為了學習微積分，理解代數是必要的。如果你對自己的能力有信心，你可以快速瀏覽本節。

算術和代數規則

以下定律對所有 $a,b,c$ 在 $\mathbb {R}$ 中成立，無論這些是數字、變數、函式，還是包含數字、變數和/或函式的更復雜表示式。

加法

交換律： $a+b=b+a$ .
結合律： $(a+b)+c=a+(b+c)$ .
加法單位元： $a+0=a$ .
加法逆元： $a+(-a)=0$ .

減法

定義： $a-b=a+(-b)$ .

乘法

交換律： $a\times b=b\times a$ .
結合律： $(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$ .
乘法單位元： $a\times 1=a$ .
乘法逆元： $a\times {\frac {1}{a}}=1$ ，只要 $a\neq 0$
分配律： $a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)$ .

除法

定義： ${\frac {a}{b}}=r+nb$ ，其中r是a除以b的餘數，n是整數。
定義： ${\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}$ ，只要 $b\neq 0$ 。

讓我們看一個例子，看看這些規則在實踐中是如何使用的。

${\frac {(x+2)(x+3)}{x+3}}$	$=\left[(x+2)\times (x+3)\right]\times \left({\frac {1}{x+3}}\right)$ （來自除法的定義）
	$=(x+2)\times \left[(x+3)\times \left({\frac {1}{x+3}}\right)\right]$ （來自乘法的結合律）
	$=((x+2)\times (1)),\qquad x\neq -3$ （來自乘法逆元）
	$=x+2,\qquad x\neq -3$ （來自乘法單位元）

當然，上面的步驟比直接在分子和分母中消去 $x+3$ 要長得多。但是，瞭解這些規則很重要，這樣才能知道什麼時候可以消去。例如，有些人會做以下事情，這是**錯誤的**

{\frac {2\times (x+2)}{2}}={\frac {2}{2}}\times {\frac {x+2}{2}}=1\times {\frac {x+2}{2}}={\frac {x+2}{2}}

.

正確的化簡是

{\frac {2\times (x+2)}{2}}=\left(2\times {\frac {1}{2}}\right)\times (x+2)=1\times (x+2)=x+2

,

其中，數字 $2$ 在分子和分母中都被消掉了。

區間表示法

可以用幾種不同的方法用符號表示特定的區間（兩個數字之間的所有數字）。其中一種方法是用不等式。如果我們要表示所有介於，比如，2 和 4 之間的數字，我們可以寫成“所有滿足 $2<x<4$ 的 $x$ ”。這排除了端點 2 和 4，因為我們使用的是 $<$ 而不是 $\leq$ 。如果我們要包括端點，我們將寫成“所有滿足 $2\leq x\leq 4$ 的 $x$ ”。

另一種寫這些區間的符號是用區間表示法。如果我們想表達“所有滿足 $2<x<4$ 的 $x$ ”，我們將寫成 $(2,4)$ 。這 *不* 包括端點 2 和 4。如果我們要包括端點，我們將寫成 $[2,4]$ 。如果我們要包括 2 而不包括 4，我們將寫成 $[2,4)$ ；如果我們要排除 2 幷包括 4，我們將寫成 $(2,4]$ 。

因此，我們有以下表格

端點條件	不等式表示法	區間表示法
包括 2 和 4	所有滿足 $2\leq x\leq 4$ 的 $x$	$[2,4]$
不包括 2 和 4	所有滿足 $2<x<4$ 的 $x$	$(2,4)$
包括 2 不包括 4	所有滿足 $2\leq x<4$ 的 $x$	$[2,4)$
包括 4，不包括 2	所有滿足 $2<x\leq 4$ 的 $x$	$(2,4]$

一般而言，我們有以下表格，其中 $a,b\in \mathbb {R}$ 。

含義	區間表示法	集合表示法
所有大於或等於 $a$ 且小於或等於 $b$ 的所有值	$[a,b]$	$\{x:a\leq x\leq b\}$
所有大於 $a$ 且小於 $b$ 的所有值	$(a,b)$	$\{x:a<x<b\}$
所有大於或等於 $a$ 且小於 $b$ 的所有值	$[a,b)$	$\{x:a\leq x<b\}$
所有大於 $a$ 且小於或等於 $b$ 的值	$(a,b]$	$\{x:a<x\leq b\}$
所有大於或等於 $a$ 的值	$[a,\infty )$	$\{x:x\geq a\}$
所有大於 $a$ 的值	$(a,\infty )$	$\{x:x>a\}$
所有小於或等於 $a$ 的值	$(-\infty ,a]$	$\{x:x\leq a\}$
所有小於 $a$ 的值	$(-\infty ,a)$	$\{x:x<a\}$
所有值	$(-\infty ,\infty )$	$\{x:x\in \mathbb {R} \}$

請注意， $\infty$ 和 $-\infty$ 必須始終使用開括號，而不是閉括號。這是因為 $\infty$ 不是一個數字，因此不能包含在我們的集合中。 $\infty$ 實際上只是一個符號，使得書寫更容易，就像上面的區間一樣。

區間 $(a,b)$ 稱為 **開區間**，區間 $[a,b]$ 稱為 **閉區間**。

區間是集合，我們可以使用集合符號來表示值和區間之間的關係。如果我們想說某個值包含在一個區間中，我們可以使用符號 $\in$ 來表示。例如， $2\in [1,3]$ 。同樣，符號 $\notin$ 表示某個元素不在一個區間中。例如 $0\notin (0,1)$ 。

指數和根式

指數和根式涉及一些規則和性質。根據定義，如果 $n$ 是一個正整數，那麼 $a^{n}$ 表示 $n$ 個 $a$ 相乘。也就是說，

a^{n}=a\cdot a\cdot a\cdots a\qquad (n~{\mbox{times}})

如果 $a\neq 0$ ，那麼我們說 $a^{0}=1$ 。

如果 $n$ 是一個負整數，那麼我們說 $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$ 。

如果指數是分數，那麼我們說 $a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}$ 。在表示式 ${\sqrt[{n}]{a}}$ 中， $n$ 被稱為根式的指數，符號 ${\sqrt {\;\;}}$ 被稱為根號， $a$ 被稱為被開方數。

除了前面的定義，以下規則適用

規則	示例
$a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$	$3^{6}\cdot 3^{9}=3^{15}$
$(a^{n})^{m}=a^{n\cdot m}$	$(x^{4})^{5}=x^{20}$
$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$	$(3x)^{5}=3^{5}x^{5}$

化簡包含根式的表示式

我們將使用以下約定來化簡包含根式的表示式

給定表示式 $a^{\frac {b}{c}}$ ，將其寫成 ${\sqrt[{c}]{a^{b}}}$
根號下沒有分數
分母中沒有根式
被開方數沒有指數大於或等於根式指數的冪因子

示例：化簡表示式

\left({\frac {1}{8}}\right)^{\frac {1}{2}}

使用約定 1，我們將給定表示式改寫為

(1) $\left({\frac {1}{8}}\right)^{\frac {1}{2}}={\sqrt[{2}]{\left({\frac {1}{8}}\right)^{1}}}={\sqrt {\frac {1}{8}}}$

表示式現在違反了約定 2。為了消除根號中的分數，應用規則 $\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$ 並簡化結果。

(2) ${\sqrt {\frac {1}{8}}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {8}}}={\frac {1}{\sqrt {8}}}$

所得表示式違反了約定 3。為了消除分母中的根號，乘以 ${\frac {\sqrt {8}}{\sqrt {8}}}$

(3) ${\frac {1}{\sqrt {8}}}={\frac {1}{\sqrt {8}}}\cdot {\frac {\sqrt {8}}{\sqrt {8}}}={\frac {\sqrt {8}}{8}}$

注意 $8=2^{3}$ 。由於根號的指數為 2，因此我們的表示式違反了約定 4。我們可以按如下方式減少根號下表達式的指數。

(4) ${\frac {\sqrt {8}}{8}}={\frac {\sqrt {2^{3}}}{8}}={\frac {\sqrt {2^{2}\cdot 2}}{8}}={\frac {2\cdot {\sqrt {2}}}{8}}={\frac {\sqrt {2}}{4}}$

練習

對數

考慮方程

(5) $y=b^{x}$

$b$ 稱為底數， $x$ 稱為指數。假設我們要解出 $x$ 。我們需要對等式的兩邊應用一個運算，以消除等式右側的底數。我們想要的運算稱為對數，簡稱log，它的定義如下

定義：（對數的形式定義）

\log _{b}y=x

當且僅當

y=b^{x}

且

x>0

，

b>0

且

b\neq 1

.

對數是對某個底數取的。這個等式表示的是，當 $x$ 是 $b$ 的指數時，結果將是 $y$ .

示例

例如：計算

\log _{10}100000

$\log _{10}100000$ 是使 $10^{x}=100000$ 的數字 $x$ 。因為 $10^{5}=100000$ ，所以 $\log _{10}100000=5$

對數的常見底數

當底數未指定時， $\log$ 指的是以 10 為底的對數。在我們學習微積分的過程中，我們將經常使用以 $e\approx 2.718282$ 為底的對數。實際上，以 $e$ 為底的對數出現頻率很高，因此它有自己的名稱和符號。它被稱為 *自然對數*，其符號是 $\ln$ 。在計算機科學中，以 2 為底的對數經常出現。

對數的性質

對數加減法

對數具有以下性質： $\log _{b}x+\log _{b}y=\log _{b}(x\cdot y)$ 。要了解為什麼這是真的，假設

$\log _{b}x=r$ 和 $\log _{b}y=s$

這些假設意味著

$x=b^{r}$ 和 $y=b^{s}$

然後根據指數的性質

$x\cdot y=b^{r}\cdot b^{s}=b^{r+s}$

根據對數的定義

$\log _{b}(x\cdot y)=r+s=\log _{b}x+\log _{b}y$

類似地， $\log _{b}x-\log _{b}y=\log _{b}\left({\frac {x}{y}}\right)$ 同樣可以使用相同的方法證明。

歷史上，對數的發展是受這一事實的啟發，即它可以將繁瑣的乘法運算簡化為用查表和加法代替，從而簡化手工計算。

對數冪和根

對數的另一個有用性質是 $\log _{b}a^{c}=c\cdot \log _{b}a$ 。要了解為什麼，請考慮表示式 $\log _{b}a^{c}$ 。假設

$\log _{b}a^{c}=x$

根據對數的定義

$a^{c}=b^{x}$

現在將等式兩邊都乘以 ${\frac {1}{c}}$ 並化簡，得到

$a=b^{\frac {x}{c}}$

現在如果你對等式兩邊取底數為 $b$ 的對數，你將得到

$\log _{b}a={\frac {x}{c}}$

解方程求 $x$ 可得

$x=c\cdot \log _{b}a$

類似地，表示式 $\log _{b}{\sqrt[{c}]{a}}={\frac {\log _{b}a}{c}}$ 使用相同的方法也是成立的。

底數之間的轉換

大多數科學計算器都內建了 $\log$ 和 $\ln$ 函式，它們不包括其他底數的對數。考慮如何計算 $\log _{b}a$ ，其中 $b$ 和 $a$ 是給定的已知數，而我們只能計算某個底數 $\beta$ 的對數。首先，假設

$\log _{b}a=x$

那麼對數的定義意味著

$a=b^{x}$

如果我們取兩邊以 $\beta$ 為底的對數，我們得到

$\log _{\beta }a=\log _{\beta }b^{x}=x\cdot \log _{\beta }b$

解方程求 $x$ ，我們發現

$x={\frac {\log _{\beta }a}{\log _{\beta }b}}$

例如，如果我們只使用以 10 為底計算 $\log _{2}45$ ，我們得到 $\log _{2}45={\frac {\log 45}{\log 2}}\approx {\frac {1.653212514}{0.301029996}}\approx 5.491853096$ 。

對數恆等式總結

下表是對數恆等式的總結。

	公式	示例
積	$\log _{b}(x\cdot y)=\log _{b}x+\log _{b}y$	$\log _{2}32=\log _{2}(4\cdot 8)=\log _{2}4+\log _{2}8=2+3=5$
商	$\log _{b}\!{\frac {x}{y}}=\log _{b}x-\log _{b}y$	$\log _{2}16=\log _{2}\!{\frac {64}{4}}=\log _{2}64-\log _{2}4=6-2=4$
冪	$\log _{b}\left(a^{c}\right)=c\log _{b}a$	$\log _{2}64=\log _{2}\left(2^{6}\right)=6\log _{2}2=6$
根	$\log _{b}{\sqrt[{c}]{a}}={\frac {\log _{b}a}{c}}$	$\log _{10}{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1.5$
換底	$\log _{b}a={\frac {\log _{\beta }a}{\log _{\beta }b}}$	$\log _{9}243={\frac {\log _{3}243}{\log _{3}9}}={\frac {5}{2}}=2.5$

因式分解和根

給定表示式 $x^{2}+3x+2$ ，人們可能會問“什麼值 $x$ 使這個表示式為 0？” 如果我們進行因式分解，我們會得到

x^{2}+3x+2=(x+2)(x+1)

.

如果 $x=-1,-2$ ，那麼右邊的因式之一將變為零。因此，整個表示式必須為零。因此，透過因式分解，我們發現了 $x$ 的值，使表示式為零。這些值被稱為“根”。一般而言，給定一個二次多項式 $px^{2}+qx+r$ ，其可以分解為

px^{2}+qx+r=(ax+c)(bx+d)

那麼我們有 $x=-{\frac {c}{a}}$ 和 $x=-{\frac {d}{b}}$ 是原始多項式的根。

需要注意的一個特殊情況是平方差， $a^{2}-b^{2}$ 。在這種情況下，我們總是可以將其分解為

a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)

例如，考慮 $4x^{2}-9$ 。初步觀察我們會發現 $4x^{2}$ 和 $9$ 分別是 $2x$ 和 $3$ 的平方。應用之前的規則，我們有

4x^{2}-9=(2x+3)(2x-3)

AC 方法

有一種使用 AC 方法簡化因式分解過程的方法。假設一個二次多項式的公式為

x^{2}+qx+r

如果存在滿足以下兩個條件的數字 $a$ 和 $b$

a\cdot b=r

並且

a+b=q

那麼，因式分解的結果將是

x^{2}+qx+r=(x+a)(x+b)

一元二次方程求根公式

一元二次方程求根公式
給定任何一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0\ ,\ a\neq 0$ ，該方程的所有解都可以用一元二次方程求根公式給出

x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

注意， $b^{2}-4ac$ 的值會影響該方程的 _實數_ 解的數量。

如果	那麼
$b^{2}-4ac>0$	該方程有兩個實數解
$b^{2}-4ac=0$	該方程只有一個實數解
$b^{2}-4ac<0$	該方程沒有實數解

例如：求

4x^{2}+7x-2

的所有根

求根等價於求解方程 $4x^{2}+7x-2=0$ 。將 $a=4\ ,\ b=7\ ,\ c=-2$ 代入一元二次方程求根公式，我們有
$x={\frac {-7\pm {\sqrt {7^{2}-4(4)(-2)}}}{2(4)}}$

$x={\frac {-7\pm {\sqrt {49+32}}}{8}}$

$x={\frac {-7\pm {\sqrt {81}}}{8}}$

$x={\frac {-7\pm 9}{8}}$

$x={\frac {2}{8}}\ ,\ x={\frac {-16}{8}}$

$x={\frac {1}{4}}\ ,\ x=-2$

二次方程式也能幫助因式分解，接下來的例子將展示這一點。

例子：對多項式

4x^{2}+7x-2

我們已經從前面的例子知道這個多項式有根 $x={\frac {1}{4}}$ 和 $x=-2$ 。我們的因式分解將採用以下形式
$C(x+2)\left(x-{\tfrac {1}{4}}\right)$
我們只需要將這個表示式等於我們的多項式，然後求解未知常數C
$C(x+2)\left(x-{\tfrac {1}{4}}\right)=4x^{2}+7x-2$

$C\left(x^{2}+\left(-{\tfrac {1}{4}}+2\right)x-{\tfrac {2}{4}}\right)=4x^{2}+7x-2$

$C\left(x^{2}+{\tfrac {7}{4}}x-{\tfrac {1}{2}}\right)=4x^{2}+7x-2$

你可以看到 $C=4$ 解決了這個方程。所以因式分解是
$4x^{2}+7x-2=4(x+2)\left(x-{\tfrac {1}{4}}\right)=(x+2)(4x-1)$

韋達定理

韋達定理將多項式的係數與根的和與積聯絡起來。它非常方便，因為在某些情況下，當給出二次方程根的和與積時，就不需要求解整個二次多項式。

韋達定理 在二次多項式中
對於任何二次方程 $ax^{2}+bx+c=0\ ,\ a\neq 0$ , 二次多項式的根 $x_{1},x_{2}$ 滿足

x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}.

簡化有理表示式

考慮兩個多項式

p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}

和

q(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots +b_{1}x+b_{0}

當我們取這兩個多項式的商時，我們得到

{\frac {p(x)}{q(x)}}={\frac {a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}}

兩個多項式的比率稱為有理表示式。很多時候我們希望簡化這種東西。例如，假設我們得到了 ${\frac {x^{2}-1}{x+1}}$ 。我們可以用以下方式簡化它

{\frac {x^{2}-1}{x+1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x+1}}=x-1,\qquad x\neq -1

這很好，因為我們從我們不理解的東西中獲得了我們非常理解的東西， $x-1$ 。

多項式乘法的公式

以下是一些對於解決多項式問題非常有用的公式

(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}

(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}

(a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}

a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})

多項式長除法

假設我們想用一個多項式除以另一個多項式。這個過程類似於數字的長除法，並在以下示例中說明。

示例

用

x+3

（除數或分母）除以

x^{2}-2x-15

（被除數或分子）。

類似於數字的長除法，我們將問題設定如下。

{\begin{array}{rl}\\x+3\!\!\!\!&{\big )}\!\!\!{\begin{array}{lll}\hline \,x^{2}-2x-15\end{array}}\end{array}}

首先，我們必須回答這個問題： $x+3$ 可以進入 $x^{2}$ 多少次？要找到答案，請將被除數的領先項除以除數的領先項。所以它進入 $x$ 次。我們將它記錄在被除數的領先項之上。

{\begin{array}{rl}&~~\,x\\x+3\!\!\!\!&{\big )}\!\!\!{\begin{array}{lll}\hline \,x^{2}-2x-15\end{array}}\\\end{array}}

然後，我們將 $x+3$ 乘以 $x$ ，並將結果寫在被除數下面，如下所示。

{\begin{array}{rl}&~~\,x\\x+3\!\!\!\!&{\big )}\!\!\!{\begin{array}{lll}\hline \,x^{2}-2x-15\end{array}}\\&\!\!\!\!-{\underline {(x^{2}+3x)~~~}}\\\end{array}}

現在我們執行減法，並將被除數中未與減數匹配的任何項帶下來。

{\begin{array}{rl}&~~\,x\\x+3\!\!\!\!&{\big )}\!\!\!{\begin{array}{lll}\hline \,x^{2}-2x-15\end{array}}\\&\!\!\!\!-{\underline {(x^{2}+3x)~~~}}\\&\!\!\!\!~~~~~~-5x-15~~~\\\end{array}}

現在我們重複操作，將底行視為新的被除數。

{\begin{array}{rl}&~~\,x-5\\x+3\!\!\!\!&{\big )}\!\!\!{\begin{array}{lll}\hline \,x^{2}-2x-15\end{array}}\\&\!\!\!\!-{\underline {(x^{2}+3x)~~~}}\\&\!\!\!\!~~~~~~-5x-15~~~\\&\!\!\!\!~~~-{\underline {(-5x-15)~~~}}\\&\!\!\!\!~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0~~~\\\end{array}}

在這種情況下，我們沒有餘數。

應用：多項式因式分解

如果我們事先知道多項式的其中一個因式，就可以使用多項式長除法來分解多項式。例如，假設我們有一個多項式 $P(x)$ ，並且我們知道 $r$ 是 $P$ 的根。如果我們使用P(x)作為被除數， $(x-r)$ 作為除數進行多項式長除法，我們將得到一個多項式 $Q(x)$ ，使得 $P(x)=(x-r)Q(x)$ ，其中 $Q$ 的次數比 $P$ 的次數少一。

練習

使用 ^ 來表示指數

應用：分解有理函式

類似於將假分數轉換為整數加真分數的方式，可以將一個有理函式 $P(x)$ ，其分子 $N(x)$ 的次數為 $n$ ，分母 $D(x)$ 的次數為 $d$ ，且 $n\geq d$ ，轉換為一個多項式加上一個新的有理函式，新有理函式的分子次數為 $\nu$ ，分母次數為 $\delta$ ，且 $\nu <\delta$ 。