微積分/連續性

定義連續性

現在我們準備好定義函式是**連續**的概念。這個想法是，我們想說一個函式是連續的，如果你可以在不抬起鉛筆的情況下畫出它的圖形。但有時這對於圖形的某些部分來說是正確的，而對於其他部分來說則不然。因此，我們想先定義函式在一個點上連續的含義。現在我們有了極限的概念，這個定義就簡單了。

定義：（在一點處的連續性）

如果 $f(x)$ 在包含 $c$ 的一個開區間上定義，那麼 $f(x)$ 被稱為在**$c$ 處連續**當且僅當 $\lim _{x\to c}f(x)=f(c)$ 。

注意，對於 $f$ 在 $c$ 處連續，這個定義實際上要求三個條件

1. 即 $f$ 在 $c$ 處定義，因此 $f(c)$ 存在，
2. 當 $x$ 趨近於 $c$ 時，極限存在，並且
3. 極限和 $f(c)$ 相等。

如果這些條件中的任何一個不成立，那麼 $f$ 在 $c$ 處不連續。

這個定義的意義是，對應於 $c$ 的圖形點將接近對應於附近 $x$ 值的圖形點。現在我們可以定義函式在一般情況下連續的含義，而不僅僅是在一個點上連續。

定義：（連續性）

如果一個函式在區間 $(a,b)$ 的每個點上都連續，那麼稱這個函式在 $(a,b)$ 上**連續**。

我們通常使用“函式是連續的”這句話來表示該函式在每個實數上都連續。這等同於說該函式在 $(-\infty ,\infty )$ 上連續，但簡單地說“連續”更方便。

注意，根據我們已知的內容，只要有理函式、指數函式、三角函式或對數函式在某點定義，那麼該函式在該點的極限值就等於其在該點的函式值。因此，所有這些函式在其定義域內都是連續的。（當然，它們在其未定義的地方不能是連續的！）

間斷點

**間斷點**是指函式不連續的點。當然，有很多可能導致這種情況發生的方式。在這裡，我們只討論兩種簡單的方式。

可去間斷點

函式 $f(x)={\frac {x^{2}-9}{x-3}}$ 在 $x=3$ 處不連續。它在該點不連續，因為此時分數變為 ${\frac {0}{0}}$，這是未定義的。因此，該函式不滿足我們在點 3 處連續性的三個條件中的第一個條件；3 根本不在其定義域內。

然而，我們說這種間斷點是**可去**的。這是因為，如果我們在這個點修改函式，就可以消除間斷點，使函式連續。為了瞭解如何使函式 $f(x)$ 連續，我們需要簡化 $f(x)$，得到 $f(x)={\frac {x^{2}-9}{x-3}}={\frac {(x+3)(x-3)}{(x-3)}}={\frac {x+3}{1}}\cdot {\frac {x-3}{x-3}}$。我們可以定義一個新的函式 $g(x)$，其中 $g(x)=x+3$。注意，函式 $g(x)$ 與原始函式 $f(x)$ 不同，因為 $g(x)$ 在 $x=3$ 有定義，而 $f(x)$ 沒有。因此，$g(x)$ 在 $x=3$ 是連續的，因為 $\lim _{x\to 3}(x+3)=6=g(3)$。但是，只要 $x\neq 3$，$f(x)=g(x)$；我們對 $f$ 做的只是使它在 $x=3$ 有定義。

事實上，這種簡化對於有理函式的間斷點來說通常是可能的。我們可以用公因數（在我們這個例子中是 $x-3$）來約分分子和分母，得到一個除了公因數為 0 的點（在我們這個例子中是 $x=3$）以外與原函式相同的函式。這個新函式將與舊函式相同，只是它在以前除以 0 的點被定義。

但是，並非所有情況下都可行。例如，函式 $f(x)={\frac {x-3}{x^{2}-6x+9}}$ 在分子和分母中都有一個公因子 $x-3$，但當您簡化它時，會得到 $g(x)={\frac {1}{x-3}}$，它在 $x=3$ 處仍然沒有定義。在這種情況下，$f(x)$ 和 $g(x)$ 的定義域相同，並且它們在其定義的每個地方都是相等的，因此它們實際上是同一個函式。原因是 $g(x)$ 與 $f(x)$ 在第一個例子中有所不同，是因為我們可以假設它有一個更大的定義域，而不是僅僅是定義 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的公式不同。

跳躍間斷

並非所有間斷都可以從函式中去除。考慮這個函式

$k(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x>0\\-1&{\text{if }}x\leq 0\end{cases}}$

因為 $\lim _{x\to 0}k(x)$ 不存在，因此無法重新定義 $k$ 在一點處，使其在 0 處連續。這種間斷被稱為 *不可去除* 間斷。

但是請注意，單邊極限都存在；$\lim _{x\to 0^{-}}k(x)=-1$ 和 $\lim _{x\to 0^{+}}k(x)=1$。問題是它們不相等，因此圖形在 0 的兩側之間“跳躍”。在這種情況下，我們說函式有一個 *跳躍* 間斷。（注意，跳躍間斷是一種不可去除的間斷。）

單邊連續

正如函式可以具有單邊極限一樣，函式也可以從特定的一側連續。為了使函式在一點處從給定的一側連續，我們需要滿足以下三個條件

1. 該函式在該點處定義。
2. 該函式在該點處從該側有一個極限。
3. 單邊極限等於函式在該點處的值。

當且僅當函式在該點處從兩側都連續時，它才在該點處連續。現在我們可以定義函式在閉區間上連續的含義。

定義：（閉區間上的連續性）

當且僅當滿足以下條件時，我們稱一個函式在 $[a,b]$ 上 **連續**：

1. 它在 $(a,b)$ 上是連續的。
2. 它在 $a$ 處右連續。
3. 它在 $b$ 處左連續。

請注意，如果一個函式是連續的，那麼它在其定義域內的每個閉區間上都是連續的。

介值定理

關於連續函式的一個有用定理如下

介值定理

如果一個函式 $f$ 在閉區間 $[a,b]$ 上是連續的，那麼對於 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之間的每個值 $y$ ，存在一個值 $c\in (a,b)$ 使得 $f(c)=y$ 。

應用：二分法

在起始範圍 $[a_{1},b_{1}]$ 上應用二分法的幾個步驟。紅色的大圓點是函式的根。

二分法是尋找連續函式零點的最簡單、最可靠的演算法。

假設我們要解方程 $f(x)=0$ 。給定兩個點 $a$ 和 $b$ 使得 $f(a)$ 和 $f(b)$ 的符號相反，中間值定理告訴我們，只要 $f$ 在區間 $[a,b]$ 上是連續的，$f$ 必須在 $a$ 和 $b$ 之間至少有一個根。如果我們知道 $f$ 一般來說是連續的（例如，因為它由有理函式、三角函式、指數函式和對數函式組成），那麼只要 $f$ 在 $a$ 和 $b$ 之間的每個點都被定義了，這將起作用。所以，讓我們透過計算 $c={\frac {a+b}{2}}$ 將區間 $[a,b]$ 分為兩半。現在有三種可能。

1. $f(c)=0$ ,
2. $f(a)$ 和 $f(c)$ 的符號相反，或者
3. $f(c)$ 和 $f(b)$ 的符號相反。

在第一種情況下，我們已經完成了。在第二和第三種情況下，我們可以對發生符號變化的子區間重複該過程。透過這種方式，我們將縮小到包含 0 的一個小子區間。小子區間的中間點通常被認為是 0 的一個很好的近似值。

請注意，與你在代數中學習到的方法不同，這種方法適用於你（或你的計算器）知道如何計算的任何連續函式。