當一個點 x {\displaystyle x} δ {\displaystyle \delta } c {\displaystyle c} f ( x ) {\displaystyle f(x)} ε {\displaystyle \varepsilon } L {\displaystyle L}
極限的直觀定義不足以證明任何關於它的嚴格結論。問題在於模稜兩可的術語“任意接近”。我們之前討論過，這個術語的意思是， x {\displaystyle x} x {\displaystyle x}
為了進一步解釋，我們之前說過，“無論我們想要使函式與極限之間的距離有多近，我們總能找到一個相應的 x {\displaystyle x} ε {\displaystyle \varepsilon } δ {\displaystyle \delta } f ( x ) {\displaystyle f(x)} ε {\displaystyle \varepsilon } L {\displaystyle L} x {\displaystyle x} δ {\displaystyle \delta } c {\displaystyle c}
再次強調，由於這個概念比較棘手，讓我們重新審視之前的例子： f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} x = 2 {\displaystyle x=2} f ( x ) {\displaystyle f(x)} ε = 0.01 {\displaystyle \varepsilon =0.01} δ {\displaystyle \delta } 0 < | x − c | < δ {\displaystyle 0<|x-c|<\delta } | f ( x ) − L | < ε {\displaystyle {\Big |}f(x)-L{\Big |}<\varepsilon }
為了說明這一點，我們可以選擇任意 δ {\displaystyle \delta } 10 − 14 {\displaystyle 10^{-14}} x {\displaystyle x} 10 − 14 {\displaystyle 10^{-14}} f ( x ) {\displaystyle f(x)} 0.01 {\displaystyle 0.01} δ {\displaystyle \delta } ε = 0.01 {\displaystyle \varepsilon =0.01} ε {\displaystyle \varepsilon } 每個 ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} δ {\displaystyle \delta } ε {\displaystyle \varepsilon }
當然，我們知道一個非常好的方法來做到這一點；我們只需建立一個函式，這樣對於每個 ε {\displaystyle \varepsilon } δ {\displaystyle \delta } δ {\displaystyle \delta } δ ( ε ) = { 2 2 − 2 if ϵ ≥ 4 ϵ + 4 − 2 if ϵ < 4 {\displaystyle \delta (\varepsilon )=\left\{{\begin{matrix}2{\sqrt {2}}-2&{\mbox{if }}\epsilon \geq 4\\{\sqrt {\epsilon +4}}-2&{\mbox{if }}\epsilon <4\end{matrix}}\right.} 選擇 delta 中的示例 5，瞭解如何選擇此 delta 的解釋）。
那麼，一般來說，你如何證明 f ( x ) {\displaystyle f(x)} x {\displaystyle x} c {\displaystyle c} L {\displaystyle L} ε {\displaystyle \varepsilon } ε = 0.03 {\displaystyle \varepsilon =0.03} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 0 < | x − c | < δ {\displaystyle 0<|x-c|<\delta } | f ( x ) − L | < 0.03 {\displaystyle {\Big |}f(x)-L{\Big |}<0.03} ε {\displaystyle \varepsilon } ε = 0.002 {\displaystyle \varepsilon =0.002} δ {\displaystyle \delta } ε {\displaystyle \varepsilon } f ( x ) {\displaystyle f(x)} x {\displaystyle x} c {\displaystyle c} L {\displaystyle L} ε {\displaystyle \varepsilon } δ {\displaystyle \delta }
請注意這兩個定義之間的區別。對於 f ( x ) {\displaystyle f(x)} x {\displaystyle x} ∞ {\displaystyle \infty } x > δ {\displaystyle x>\delta } x {\displaystyle x} f ( x ) {\displaystyle f(x)} x {\displaystyle x} − ∞ {\displaystyle -\infty } x < δ {\displaystyle x<\delta } x {\displaystyle x}
以下是一些形式化定義的示例。
示例 1 我們從本章的前面知道
lim x → 8 x 4 = 2 {\displaystyle \lim _{x\to 8}{\frac {x}{4}}=2} 當 ε = 0.01 {\displaystyle \varepsilon =0.01} δ {\displaystyle \delta }
我們從期望的結論開始，並代入 f ( x ) {\displaystyle f(x)} ε {\displaystyle \varepsilon }
| x 4 − 2 | < 0.01 {\displaystyle \left|{\frac {x}{4}}-2\right|<0.01} 然後我們解出關於 x {\displaystyle x}
7.96 < x < 8.04 {\displaystyle 7.96<x<8.04} 這等同於說
− 0.04 < x − 8 < 0.04 {\displaystyle -0.04<x-8<0.04} (我們想要不等式中間的部分是 x − 8 {\displaystyle x-8} | − 0.04 | {\displaystyle |-0.04|} 0.04 {\displaystyle 0.04} δ {\displaystyle \delta } δ = 0.04 {\displaystyle \delta =0.04}
示例 2 當 x {\displaystyle x} f ( x ) = x + 7 {\displaystyle f(x)=x+7}
回答這類問題需要兩個步驟：首先我們必須確定答案 - 這裡直覺和猜測是有用的，還有極限的非正式定義 - 然後我們必須證明答案是正確的。
在本例中，11 是極限，因為我們知道 f ( x ) = x + 7 {\displaystyle f(x)=x+7} x {\displaystyle x} 4 + 7 = 11 {\displaystyle 4+7=11}
但是，我們還沒有完成，因為我們從未嚴格證明任何極限定律；我們只是陳述了它們。事實上，我們無法證明它們，因為我們還沒有得到極限的正式定義。因此，為了確保 11 是正確答案，我們需要證明無論給定我們什麼值的 ε {\displaystyle \varepsilon } δ {\displaystyle \delta }
| f ( x ) − 11 | < ε {\displaystyle {\Big |}f(x)-11{\Big |}<\varepsilon } 只要
| x − 4 | < δ {\displaystyle |x-4|<\delta } 對於這個問題，令 δ = ε {\displaystyle \delta =\varepsilon } 選擇 delta 瞭解如何確定其他問題中使用的 δ {\displaystyle \delta }
| f ( x ) − 11 | < ε {\displaystyle {\Big |}f(x)-11{\Big |}<\varepsilon } 鑑於
| x − 4 | < δ = ε {\displaystyle |x-4|<\delta =\varepsilon } 由於 | x − 4 | < ε {\displaystyle |x-4|<\varepsilon }
| f ( x ) − 11 | = | x + 7 − 11 | = | x − 4 | < ε {\displaystyle {\Big |}f(x)-11{\Big |}={\Big |}x+7-11{\Big |}=|x-4|<\varepsilon } 這就是我們想要證明的。
示例 3 當 x {\displaystyle x} f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}}
如前所述，我們利用本章前面學到的知識來猜測極限是 4 2 = 16 {\displaystyle 4^{2}=16}
δ = ε + 16 − 4 {\displaystyle \delta ={\sqrt {\varepsilon +16}}-4} 請注意，由於 ε {\displaystyle \varepsilon } δ {\displaystyle \delta }
| x 2 − 16 | < ε {\displaystyle {\Big |}x^{2}-16{\Big |}<\varepsilon } 鑑於
| x − 4 | < δ = ε + 16 − 4 {\displaystyle |x-4|<\delta ={\sqrt {\varepsilon +16}}-4} 我們知道
| x + 4 | = | ( x − 4 ) + 8 | ≤ | x − 4 | + 8 < δ + 8 {\displaystyle |x+4|={\Big |}(x-4)+8{\Big |}\leq |x-4|+8<\delta +8} （因為三角不等式），所以
| x 2 − 16 | = | x − 4 | ⋅ | x + 4 | < δ ( δ + 8 ) < ( 16 + ε − 4 ) ( 16 + ε + 4 ) < ( 16 + ε ) 2 − 4 2 = ε + 16 − 16 < ε {\displaystyle {\begin{matrix}{\Big |}x^{2}-16{\Big |}&=&|x-4|\cdot |x+4|\\\\\ &<&\delta (\delta +8)\\\\\ &<&({\sqrt {16+\varepsilon }}-4)({\sqrt {16+\varepsilon }}+4)\\\\\ &<&({\sqrt {16+\varepsilon }})^{2}-4^{2}\\\\\ &=&\varepsilon +16-16\\\\\ &<&\varepsilon \end{matrix}}} 示例 4 證明當 x {\displaystyle x} sin ( 1 x ) {\displaystyle \sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}
我們將透過反證法來證明。假設極限存在，記為 L {\displaystyle L} L ≠ 1 {\displaystyle L\neq 1} L = 1 {\displaystyle L=1} ε = | 1 − L | {\displaystyle \varepsilon =|1-L|} L {\displaystyle L} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 0 < | x | < δ {\displaystyle 0<|x|<\delta } x {\displaystyle x} | sin ( 1 x ) − L | < ε = | 1 − L | {\displaystyle \left|\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)-L\right|<\varepsilon =|1-L|} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} n {\displaystyle n} 0 < x 0 = 1 π 2 + 2 π n < δ {\displaystyle 0<x_{0}={\frac {1}{{\frac {\pi }{2}}+2\pi n}}<\delta } | sin ( 1 x 0 ) − L | = | 1 − L | {\displaystyle \left|\sin \left({\tfrac {1}{x_{0}}}\right)-L\right|=|1-L|}
例 5 當 x {\displaystyle x} x sin ( 1 x ) {\displaystyle x\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}
根據夾逼定理，我們知道答案應該是 0。為了證明這一點，我們令 δ = ε {\displaystyle \delta =\varepsilon } x {\displaystyle x} 0 < | x | < δ {\displaystyle 0<|x|<\delta } | x sin ( 1 x ) − 0 | ≤ | x | < ε {\displaystyle \left|x\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)-0\right|\leq |x|<\varepsilon }
示例 6 假設 lim x → a f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L} lim x → a g ( x ) = M {\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=M} lim x → a [ f ( x ) + g ( x ) ] {\displaystyle \lim _{x\to a}{\big [}f(x)+g(x){\big ]}}
Of course, we know the answer should be L + M {\displaystyle L+M} ε {\displaystyle \varepsilon } δ 1 {\displaystyle \delta _{1}} x {\displaystyle x} 0 < | x − a | < δ 1 {\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{1}} | f ( x ) − L | < ε 2 {\displaystyle {\Big |}f(x)-L{\Big |}<{\frac {\varepsilon }{2}}} ε {\displaystyle \varepsilon } ε 2 {\displaystyle {\frac {\varepsilon }{2}}} δ 2 {\displaystyle \delta _{2}} x {\displaystyle x} 0 < | x − a | < δ 2 {\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{2}} | g ( x ) − M | < ε 2 {\displaystyle {\Big |}g(x)-M{\Big |}<{\frac {\varepsilon }{2}}} δ {\displaystyle \delta } δ 1 {\displaystyle \delta _{1}} δ 2 {\displaystyle \delta _{2}} x {\displaystyle x} 0 < | x − a | < δ {\displaystyle 0<|x-a|<\delta } | ( f ( x ) + g ( x ) ) − ( L + M ) | ≤ | f ( x ) − L | + | g ( x ) − M | < ε 2 + ε 2 = ε {\displaystyle {\bigg |}{\big (}f(x)+g(x){\big )}-(L+M){\bigg |}\leq {\Big |}f(x)-L{\Big |}+{\Big |}g(x)-M{\Big |}<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon }
如果你願意，你可以使用新的定義證明其他極限規則。數學家已經完成了這項工作，因此我們知道這些規則是有效的。因此，從現在開始計算極限時，我們可以回到使用規則，並且仍然可以確信我們的極限根據嚴格定義是正確的。
![{\displaystyle \lim _{x\to a}{\big [}f(x)+g(x){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38060b7158f65e3a3b93578e271e872b054a8682)
