微積分/一些基本極限規則的證明

現在我們有了極限的正式定義，我們可以著手證明本章前面關於極限的一些性質。

極限的常數規則

如果 $a,b$ 是常數，那麼 $\lim _{x\to a}b=b$ 。

極限的常數規則證明

我們需要找到一個 $\delta >0$ ，使得對於每個 $\varepsilon >0$ ，$|b-b|<\varepsilon$ 當且僅當 $0<|x-a|<\delta$ 。$|b-b|=0$ 並且 $\varepsilon >0$ ，因此 $|b-b|<\varepsilon$ 獨立於任何 $\delta$ 的值都滿足；也就是說，我們可以選擇任何我們喜歡的 $\delta$ ，$\varepsilon$ 條件都成立。

極限的恆等式規則

如果 $a$ 是一個常數，那麼 $\lim _{x\to a}x=a$ 。

證明

為了證明 $\lim _{x\to a}x=a$ ，我們需要找到一個 $\delta >0$ ，使得對於任何 $\varepsilon >0$ ，只要 $0<|x-a|<\delta$ ，就有 $|x-a|<\varepsilon$ 。選擇 $\delta =\varepsilon$ 滿足這個條件。

極限的標量積法則

假設對於有限的 $L$ ， $\lim _{x\to a}f(x)=L$ ，並且 $c$ 是一個常數。那麼 $\lim _{x\to a}c\cdot f(x)=c\cdot \lim _{x\to a}f(x)=c\cdot L$

證明

根據上面的極限，特別地，存在一個 $\delta >0$ ，使得只要 $0<|x-a|<\delta$ ，就有 ${\Big |}f(x)-L{\Big |}<{\frac {\varepsilon }{k}}$ ，對於某個 $k>0$ ，使得 $|c|<k$ 。因此

${\Big |}c\cdot f(x)-c\cdot L{\Big |}=|c|\cdot {\Big |}f(x)-L{\Big |}<k\cdot {\frac {\varepsilon }{k}}=\varepsilon$

極限的和法則

假設 $\lim _{x\to c}f(x)=L$ 且 $\lim _{x\to c}g(x)=M$ 。那麼

$\lim _{x\to c}{\Big [}f(x)+g(x){\Big ]}=\lim _{x\to c}f(x)+\lim _{x\to c}g(x)=L+M$

證明

由於我們知道 $\lim _{x\to c}f(x)=L$ 和 $\lim _{x\to c}g(x)=M$，一定存在函式（分別稱為 $\delta _{f}(\varepsilon )$ 和 $\delta _{g}(\varepsilon )$），使得對於所有 $\varepsilon >0$，${\Big |}f(x)-L{\Big |}<\varepsilon$，只要 $|x-c|<\delta _{f}(\varepsilon )$，並且 ${\Big |}g(x)-M{\Big |}<\varepsilon$，只要 $|x-c|<\delta _{g}(\varepsilon )$。
將兩個不等式相加得到 ${\Big |}f(x)-L{\Big |}+{\big |}g(x)-M{\big |}<2\varepsilon$。根據三角不等式，我們有${\bigg |}(f(x)-L)+(g(x)-M){\bigg |}={\bigg |}(f(x)+g(x))-(L+M){\bigg |}\leq {\Big |}f(x)-L{\Big |}+{\Big |}g(x)-M{\Big |}$，所以我們有 ${\bigg |}(f(x)+g(x))-(L+M){\bigg |}<2\varepsilon$，只要$|x-c|<\delta _{f}(\varepsilon )$ 且$|x-c|<\delta _{g}(\varepsilon )$。設$\delta _{fg}(\varepsilon )$ 為 $\delta _{f}({\tfrac {\varepsilon }{2}})$ 和 $\delta _{g}({\tfrac {\varepsilon }{2}})$ 中較小的那個。那麼這個 $\delta$ 滿足 $\lim _{x\to c}{\Big [}f(x)+g(x){\Big ]}$ 極限為 $L+M$ 的定義。

極限的差值法則

假設 $\lim _{x\to c}f(x)=L$ 且 $\lim _{x\to c}g(x)=M$ 。那麼

$\lim _{x\to c}{\Big [}f(x)-g(x){\Big ]}=\lim _{x\to c}f(x)-\lim _{x\to c}g(x)=L-M$

證明

定義 $h(x)=-g(x)$。根據極限的標量積法則，$\lim _{x\to c}h(x)=-M$。然後根據極限的和法則，$\lim _{x\to c}{\Big [}f(x)-g(x){\Big ]}=\lim _{x\to c}{\Big [}f(x)+h(x){\Big ]}=L-M$。

極限的積法則

假設 $\lim _{x\to c}f(x)=L$ 且 $\lim _{x\to c}g(x)=M$。那麼 $\lim _{x\to c}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}=\lim _{x\to c}f(x)\cdot \lim _{x\to c}g(x)=L\cdot M$

證明

令 $\varepsilon$ 為任意正數。假設意味著存在正數 $\delta _{1},\delta _{2},\delta _{3}$ 使得

$(1)\qquad {\Big |}f(x)-L{\Big |}<{\frac {\varepsilon }{2(1+|M|)}}$ 當 $0<|x-c|<\delta _{1}$

$(2)\qquad {\Big |}g(x)-M{\Big |}<{\frac {\varepsilon }{2(1+|L|)}}$ 當 $0<|x-c|<\delta _{2}$

$(3)\qquad {\Big |}g(x)-M{\Big |}<1$ 當 $0<|x-c|<\delta _{3}$

根據條件 (3)，我們看到

${\Big |}g(x){\Big |}={\bigg |}g(x)-M+M{\bigg |}\leq {\Big |}g(x)-M{\Big |}+|M|<1+|M|$ 當 $0<|x-c|<\delta _{3}$

假設 $0<|x-c|<\min\{\delta _{1},\delta _{2},\delta _{3}\}$，並使用 (1) 和 (2)，我們得到

${\begin{aligned}{\bigg |}f(x)g(x)-LM{\bigg |}&={\bigg |}f(x)g(x)-Lg(x)+Lg(x)-LM{\bigg |}\\&\leq {\bigg |}f(x)g(x)-Lg(x){\bigg |}+{\bigg |}Lg(x)-LM{\bigg |}\\&={\Big |}g(x){\Big |}\cdot {\Big |}f(x)-L{\Big |}+|L|\cdot {\Big |}g(x)-M{\Big |}\\&<(1+|M|){\frac {\varepsilon }{2(1+|M|)}}+(1+|L|){\frac {\varepsilon }{2(1+|L|)}}\\&=\varepsilon \end{aligned}}$

極限的商法則

假設$\lim _{x\to c}f(x)=L$ 且 $\lim _{x\to c}g(x)=M$ 且 $M\neq 0$ 。 則 $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\lim \limits _{x\to c}f(x)}{\lim \limits _{x\to c}g(x)}}={\frac {L}{M}}$

證明

如果我們能證明$\lim _{x\to c}{\frac {1}{g(x)}}={\frac {1}{M}}$ ， 那麼我們可以定義一個函式， $h(x)$ 為 $h(x)={\frac {1}{g(x)}}$ 並利用極限的乘積法則來證明定理。 所以我們只需要證明$\lim _{x\to c}{\frac {1}{g(x)}}={\frac {1}{M}}$ 。

設$\varepsilon$ 為任意正數。 假設意味著存在正數$\delta _{1},\delta _{2}$ 使得

$(1)\qquad {\Big |}g(x)-M{\Big |}<{\frac {\varepsilon |M|^{2}}{2}}$ 當 $0<|x-c|<\delta _{1}$

$(2)\qquad {\Big |}g(x)-M{\Big |}<{\frac {|M|}{2}}$ 當 $0<|x-c|<\delta _{2}$

根據條件 (2) 我們看到

$|M|=|M-g(x)+g(x)|\leq |M-g(x)|+|g(x)|<{\frac {|M|}{2}}+|g(x)|$ 所以 $|g(x)|>{\frac {|M|}{2}}$ 當 $0<|x-c|<\delta _{2}$

這意味著

$(3)\qquad \left|{\frac {1}{g(x)}}\right|<{\frac {2}{|M|}}$ 當 $0<|x-c|<\delta _{2}$

假設 $0<|x-c|<\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}$ 並使用 (1) 和 (3) 我們得到

${\begin{aligned}\left|{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {1}{M}}\right|&=\left|{\frac {M-g(x)}{Mg(x)}}\right|\\&=\left|{\frac {g(x)-M}{Mg(x)}}\right|\\&=\left|{\frac {1}{g(x)}}\right|\cdot \left|{\frac {1}{M}}\right|\cdot |g(x)-M|\\&<{\frac {2}{|M|}}\cdot {\frac {1}{|M|}}\cdot |g(x)-M|\\&<{\frac {2}{|M|}}\cdot {\frac {1}{|M|}}\cdot {\frac {\varepsilon |M|^{2}}{2}}\\&=\varepsilon \end{aligned}}$

定理：（夾逼定理）

假設對於包含 $c$ 的某個開區間中的所有 $x$（可能除了 $x=c$ 本身），$g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ 成立。同時假設 $\lim _{x\to c}g(x)=\lim _{x\to c}h(x)=L$。那麼，$\lim _{x\to c}f(x)=L$ 也成立。

證明

根據假設，我們知道存在一個 $\delta$ 使得當 $0<|x-c|<\delta$ 時，${\Big |}g(x)-L{\Big |}<\varepsilon$ 且 ${\Big |}h(x)-L{\Big |}<\varepsilon$。
這些不等式等價於當 $0<|x-c|<\delta$ 時，$L-\varepsilon <g(x)<L+\varepsilon$ 且 $L-\varepsilon <h(x)<L+\varepsilon$。
利用我們對 $f(x),g(x)$ 和 $h(x)$ 相對順序的瞭解，我們有
當 $0<|x-c|<\delta$ 時，$L-\varepsilon <g(x)\leq f(x)\leq h(x)<L+\varepsilon$。
那麼
當 $0<|x-c|<\delta$ 時，$-\varepsilon <f(x)-L<\varepsilon$。
所以
${\Big |}f(x)-L{\Big |}<\varepsilon$ 當 $0<|x-c|<\delta$ 。