微積分/選擇δ

此頁面是對微積分/極限的正式定義的補充。

回顧極限的定義

一個數 $L$ 是函式 $f(x)$ 當 $x$ 趨近於 $c$ 的極限，當且僅當對於所有數字 $\epsilon >0$ ，存在一個數 $\delta >0$ 使得

{\Big |}f(x)-L{\Big |}<\epsilon

只要

0<|x-c|<\delta

.

換句話說，給定一個數 $\epsilon$ ，我們必須構造一個數 $\delta$ 使得在假設

0<|x-c|<\delta

的情況下，我們可以證明

{\Big |}f(x)-L{\Big |}<\epsilon

此外，這個證明必須對所有 $\epsilon >0$ 的值都成立。

注意：這個定義不是構造性的——它沒有告訴你如何 *找到* 極限 $L$ ，只告訴你如何檢查一個特定值是否確實是極限。我們使用極限的非正式定義，類似問題的經驗或定理（例如洛必達法則），來確定這個值，然後可以使用正式定義證明這個值的正確性。

示例 1：假設我們想要找到 $f(x)=x+5$ 當 $x$ 趨近於 $c=9$ 的極限。我們知道極限 $L$ 是 9+5=14，並且想要證明這一點。

我們選擇 $\delta =\epsilon$ （這將在後面解釋）。然後，因為我們假設

|x-9|<\delta

我們可以證明

${\Big \|}(x+5)-14{\Big \|}$	$=\|x-9\|$
	$<\delta$
	$=\epsilon$

這是我們想要證明的結論。

我們透過從試圖證明的公式反向推導來選擇 δ： ${\Big |}f(x)-L{\Big |}<\epsilon$ 。在本例中，我們希望證明

|x-9|<\epsilon

在

|x-9|<\delta

因此，證明它的最簡單方法是選擇 $\delta =\epsilon$ 。然而，這個例子過於簡單，不足以充分解釋如何選擇 $\delta$ 。讓我們嘗試更難的例子。

例 2：證明當 $x$ 趨近於 $2$ 時， $f(x)=x^{2}-9$ 的極限為 $L=-5$ 。

我們想要證明

{\Big |}f(x)-L{\Big |}=|x^{2}-4|<\epsilon

在

|x-2|<\delta

.

我們透過反向推導來選擇 $\delta$ 。首先，我們需要使用 $\delta$ 而不是 $x$ 來改寫我們想要證明的方程。

${\begin{matrix}|x^{2}-4|&<&\epsilon \\|x-2|\cdot |x+2|&<&\epsilon \\\delta (\delta +4)&=&\epsilon \end{matrix}}$

注意：我們使用了 $|x+2|\leq \delta +4$ 的事實，可以用三角不等式證明。

警告：以上方程組不是一個邏輯步驟序列，也不是任何證明的一部分，而是一種非正式的技術，用於幫助編寫證明。我們將選擇一個 $\delta$ 的值，使最後一個方程成立，然後利用最後一個方程依次證明它上面的方程（這就是之前所說的“反向工作”）。

注意：在上面的方程中，當 $\delta$ 代替 $x$ 時，符號 $<$ 被替換為 $=$ 。可以這樣做（但沒有必要），因為我們沒有被告知 $|x-2|=\delta$ ，而是 $|x-2|<\delta$ 。當在證明中以反向順序使用上述方程時，這種論證就變得清晰了。

我們可以使用二次公式解出最後一個方程的 $\delta$

\delta ={\frac {-4+{\sqrt {16-4(-\epsilon )}}}{2}}={\sqrt {4+\epsilon }}-2

注意： $\delta$ 幾乎總是以 $\epsilon$ 表示。除非極限是常數函式（例如， $\lim _{x\to 3}5=5$ ），否則 $\delta$ 的常數值（例如， $\delta =0.5$ ）不會起作用。

現在，我們有一個值為 $\delta$ ，我們可以進行證明

在

|x-2|<\delta

${\begin{matrix}{\Big |}f(x)-L{\Big |}&=&|x^{2}-4|\\\ &=&|x-2|\cdot |x+2|\\\ &<&\delta (\delta +4)\\\ &<&{\big (}{\sqrt {4+\epsilon }}-2{\big )}{\big (}{\sqrt {4+\epsilon }}+2{\big )}\\\ &<&{\big (}{\sqrt {4+\epsilon }}{\big )}^{2}-2^{2}\\\ &<&\epsilon \end{matrix}}$

這裡有一些選擇 $\delta$ 的例子；嘗試在閱讀解釋之前弄清楚它們。

例3：證明當 $x$ 趨近於 $0$ 時， $f(x)={\frac {\sin(x)}{x}}$ 的極限為 $L=1$ 。

解釋

例4：證明當 $x$ 趨近於 $0$ 時， $f(x)={\frac {1}{x}}$ 沒有極限。

例5：證明 $\lim _{x\to 2}x^{2}=4$

解決方案：為了做到這一點，我們將考慮兩種情況： $\epsilon \geq 4$ 和 $\epsilon <4$ 。 $\epsilon \geq 4$ 的情況很簡單。首先，令 $\epsilon =4$ 。這意味著我們希望在定義域中選擇的數值對映到範圍中的 $(0,8)$ 。我們需要一個δ，使得 $(2+\delta )^{2}=8$ ，所以我們選擇 $\delta =2{\sqrt {2}}-2$ 。選擇的 $\delta$ 定義了定義域中的區間 $(4-2{\sqrt {2}},2{\sqrt {2}})$ 。它被對映到範圍中的 $(24-16{\sqrt {2}},8)$ ，它包含在 $(0,8)$ 中。請注意， $\delta$ 不依賴於 $\epsilon$ 。因此，對於 $\epsilon >4$ ，我們將擴大範圍中允許對映到的區間，但定義域中的區間保持固定，始終對映到範圍中的同一個子區間。因此， $\delta =2{\sqrt {2}}-2$ 適用於任何 $\epsilon \geq 4$ 。

現在假設 $0<\epsilon <4$ 。我們想要一個 $\delta$ ，使得只要 $0<|x-2|<\delta$ ，就有 $0<|x^{2}-4|<\epsilon$ 。所以讓我們假設 $0<|x^{2}-4|<\epsilon$ ，並反過來推匯出一個合適的 $\delta$ 。

0<|x^{2}-4|<\epsilon

-\epsilon <x^{2}-4<\epsilon

4-\epsilon <x^{2}<4+\epsilon

由於 $0<\epsilon <4$ ，我們有 $4-\epsilon >0$ 。由於以上兩個數字都是正數，我們可以對不等式的兩端開（正）平方根

{\sqrt {4-\epsilon }}<x<{\sqrt {4+\epsilon }}

{\sqrt {4-\epsilon }}-2<x-2<{\sqrt {4+\epsilon }}-2

上面的等式表示了 $x$ 與 2 之間的距離，無論是負數還是正數，它都可以小於 $\epsilon$ ，並仍然在 4 的 $\epsilon$ 範圍內。我們想要選擇這兩個極值中較小的一個來構建我們的區間。結果證明 ${\Big |}{\sqrt {4+\epsilon }}-2{\Big |}\leq {\Big |}{\sqrt {4-\epsilon }}-2{\Big |}$ ，當 $0<\epsilon <4$ 時，所以選擇 $\delta ={\sqrt {4+\epsilon }}-2$ 。作為一項健全性檢查，讓我們嘗試使用 $\epsilon =0.002$ 。