微積分/無限極限/無窮大不是一個數字

大多數人在第一次接觸微積分，特別是極限時，似乎對這個事實感到困惑。

$\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x}}=\infty$

但 $\infty$ 是不同的。 $\infty$ 不是一個數字。

數學基於支配該學科的正式規則。當一組正式規則適用於某類物件（例如，“一個數字”）時，這些規則必須始終適用 - 絕無例外！

使 $\infty$ 不同的原因是：“沒有比無窮大的數字更大”。您可以用很多不同的方式寫下公式，但這裡有一種方法：$1+\infty =\infty$。如果您將 1 加到無窮大，您仍然有無窮大；您沒有得到一個更大的數字。如果您相信這一點，那麼無窮大就不是一個數字。

由於 $\infty$ 不遵循為數字制定的規則，因此它不能是一個數字。每次您在公式中使用符號 $\infty$ 來代替您通常使用的數字時，您都必須以不同的方式解釋該公式。讓我們看看 $\infty$ 如何不遵循每個實際數字都遵循的規則

加法失效

每個數字都有一個負數，加法是結合律。對於 $\infty$，我們可以寫 $-\infty$ 並注意到 $\infty -\infty =0$。這是一件好事，因為它意味著我們可以證明，如果你從無窮大中減去 1，你仍然有無窮大：$\infty -1=(\infty +1)-1=\infty +(1-1)=\infty +0=\infty$。但這同時也意味著我們可以證明 1 = 0，這不是一件好事。

${\begin{aligned}&1+\infty =\infty \\&(1+\infty )-\infty =\infty -\infty \\&1+(\infty -\infty )=\infty -\infty \\&1=0\end{aligned}}$

因此，$\infty -\infty ={\text{indeterminate}}$ .

重新解釋使用$\infty$的公式

我們從一個公式開始，即使它使用了$\infty$ 和 $\infty$ 而不是數字，它仍然“意味著”一些東西。

$\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x}}=\infty$

與我們使用常規數字而不是無窮大符號相比，這意味著什麼？

$\lim _{x\to 2}{\frac {1}{x}}={\frac {1}{2}}$

這個公式說明我可以確保 ${\frac {1}{x}}$ 的值與 ${\tfrac {1}{2}}$ 不會相差太大，只要我能控制 $x$ 偏離 2 的程度。我不需要讓 ${\frac {1}{x}}$ 嚴格等於 ${\tfrac {1}{2}}$ ，但我也不能將 $x$ 控制得太嚴格。我必須給你一個範圍來改變 $x$。如果你想要讓 ${\frac {1}{x}}$ 非常接近 ${\tfrac {1}{2}}$，這個範圍（可能）就會非常非常小。順便說一下，當 $x=2$ 時發生了什麼完全不重要。

如果我們將這段文字作為模板應用到我的原始公式上，我們會發現一些問題。將 0 代入 2，將 $\infty$ 代入 ${\frac {1}{2}}$。

$\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x}}=\infty$

這個公式表明，只要我能控制 ${\frac {1}{x}}$ 與 $\infty$ 的差異不會太大，我就能確保 ${\frac {1}{x}}$ 的值。只要我控制 $x$ 遠離 0 的變化範圍。我不需要讓 ${\frac {1}{x}}$ 完全等於 $\infty$，但我也不能對 $x$ 進行過於嚴格的控制。我必須給你一個範圍來變化 $x$。如果你想看到 ${\frac {1}{x}}$ 變得非常非常接近 $\infty$，這個範圍（可能）會非常非常小。順便說一下，當 $x=0$ 時發生了什麼根本不重要。

它接近於有意義，但還沒有完全達到。說某個實數真的“接近” $\infty$ 並沒有意義。例如，當 $x=0.001$ 且 ${\frac {1}{x}}=1000$ 時，說 1000 比 1 更接近 $\infty$ 真的有意義嗎？求解以下關於 $\delta$ 的方程。

${\begin{aligned}&1000+\delta =\infty \\&\delta =\infty -1000\\&\delta =\infty \end{aligned}}$

${\begin{aligned}&1+\delta =\infty \\&\delta =\infty -1\\&\delta =\infty \end{aligned}}$

沒有一個實數能無限接近於$\infty$；這正是$\infty$如此特殊的原因！因此，我們需要重新解釋這句話。

$\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x}}=\infty$

這個公式說，只要我能控制$x$遠離 0 的變化程度，我就可以確保${\frac {1}{x}}$ **變得像你選擇的任何數字一樣大**。我不需要讓${\frac {1}{x}}$ **大於所有數字**，但我也不能將$x$ 控制得太緊。我必須給你一個範圍來改變$x$。如果你想看到${\frac {1}{x}}$變得非常非常 **大**，這個範圍可能就非常非常小。順便說一下，當$x=0$時發生的事情根本不重要。

你可以看到，這個公式的基本性質沒有改變，但確切的細節需要一些人類的解讀。雖然嚴謹的定義和清晰的區分對於數學研究至關重要，但有時一些非正式的改寫也是可以的。你只需要確保你理解一個公式的真正含義，這樣才能得出正確的結論。

練習

寫出以下包含$\infty$ 的極限的解釋性段落。請記住，你必須將實數與$\infty$ 之間的任何大小比較改為不同的短語。在第二種情況下，你將不得不自己弄清楚這個公式的含義。

1. $\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x^{2}}}=0$

2. $\sum _{n=0}^{\infty }2^{-n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =2$