微積分/微分/導數的應用/練習

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相對極值

找到以下函式的相對最大值和最小值（如果有）。

1.

f(x)={\frac {x}{x+1}}

無

2.

f(x)={\sqrt[{3}]{(x-1)^{2}}}

在點

(1,0)

處取得最小值

在點

(1,0)

處取得最小值

3.

f(x)=x^{2}+{\frac {2}{x}}

在

x=1

處取得相對最小值

在

x=1

處取得相對最小值

4.

f(s)={\frac {s}{1+s^{2}}}

在

s=-1

處取得相對最小值
在

s=1

處取得相對最大值

在

s=-1

處取得相對最小值
在

s=1

處取得相對最大值

5.

f(x)=x^{2}-4x+9

在

x=2

處取得相對最小值

在

x=2

處取得相對最小值

6.

f(x)={\frac {x^{2}+x+1}{x^{2}-x+1}}

在

x=-1

處取得相對最小值
在

x=1

處取得相對最大值

在

x=-1

處取得相對最小值
在

x=1

處取得相對最大值

解答

函式的值域

7. 證明表示式

x+{\frac {1}{x}}

無法取任何嚴格介於 2 和 -2 之間的數值。

${\begin{aligned}&f(x)=x+{\frac {1}{x}}\\&f'(x)=1-{\frac {1}{x^{2}}}\\&1-{\frac {1}{x^{2}}}=0\implies x=\pm 1\\&f''(x)={\frac {2}{x^{3}}}\\&f''(-1)=-2\end{aligned}}$

由於 $f''(-1)$ 為負值， $x=-1$ 對應於一個相對最大值。
${\begin{aligned}&f(-1)=-2\\&\lim \limits _{x\to -\infty }f(x)=-\infty \end{aligned}}$

對於 $x<-1$ ， $f'(x)$ 為正值，這意味著函式是遞增的。從非常負的 $x$ 值開始， $f$ 從一個非常負的值遞增到在 $x=-1$ 處達到相對最大值 $-2$ 。
對於 $-1<x<1$ ， $f'(x)$ 為負值，這意味著函式是遞減的。
$\lim _{x\to 0^{-}}f(x)=-\infty$
$\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=\infty$
$f''(1)=2$
由於 $f''(1)$ 為正數， $x=1$ 對應於一個相對最小值。
$f(1)=2$
在 $[-1,0)$ 區間內，函式從 $-2$ 遞減到 $-\infty$ ，然後跳到 $+\infty$ 並繼續遞減直到到達 $x=1$ 的相對最小值 $2$ 。
對於 $x>1$ ， $f'(x)$ 為正數，因此函式從最小值 $2$ 遞增。

以上分析表明，函式值域在

-2

和

2

之間存在間斷。

${\begin{aligned}&f(x)=x+{\frac {1}{x}}\\&f'(x)=1-{\frac {1}{x^{2}}}\\&1-{\frac {1}{x^{2}}}=0\implies x=\pm 1\\&f''(x)={\frac {2}{x^{3}}}\\&f''(-1)=-2\end{aligned}}$

由於 $f''(-1)$ 為負值， $x=-1$ 對應於一個相對最大值。
${\begin{aligned}&f(-1)=-2\\&\lim \limits _{x\to -\infty }f(x)=-\infty \end{aligned}}$

對於 $x<-1$ ， $f'(x)$ 為正值，這意味著函式是遞增的。從非常負的 $x$ 值開始， $f$ 從一個非常負的值遞增到在 $x=-1$ 處達到相對最大值 $-2$ 。
對於 $-1<x<1$ ， $f'(x)$ 為負值，這意味著函式是遞減的。
$\lim _{x\to 0^{-}}f(x)=-\infty$
$\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=\infty$
$f''(1)=2$
由於 $f''(1)$ 為正數， $x=1$ 對應於一個相對最小值。
$f(1)=2$
在 $[-1,0)$ 區間內，函式從 $-2$ 遞減到 $-\infty$ ，然後跳到 $+\infty$ 並繼續遞減直到到達 $x=1$ 的相對最小值 $2$ 。
對於 $x>1$ ， $f'(x)$ 為正數，因此函式從最小值 $2$ 遞增。

以上分析表明，函式值域在

-2

和

2

之間存在間斷。

絕對極值

確定以下函式在給定域上的絕對最大值和最小值。

8.

f(x)={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}+1

在

[0,3]

上。

最大值為

(3,{\tfrac {11}{2}})

; 最小值為

(1,{\tfrac {5}{6}})

最大值為

(3,{\tfrac {11}{2}})

; 最小值為

(1,{\tfrac {5}{6}})

9.

f(x)=\left({\frac {4}{3}}x^{2}-1\right)x

在

[-{\tfrac {1}{2}},2]

上。

最大值在

(2,{\tfrac {26}{3}})

; 最小值在

({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{3}})

最大值在

(2,{\tfrac {26}{3}})

; 最小值在

({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{3}})

解答

確定變化區間

找到以下函式遞增或遞減的區間

10.

f(x)=10-6x-2x^{2}

在

(-\infty ,-{\tfrac {3}{2}})

; 遞減在

(-{\tfrac {3}{2}},\infty )

在

(-\infty ,-{\tfrac {3}{2}})

; 遞減在

(-{\tfrac {3}{2}},\infty )

11.

f(x)=2x^{3}-12x^{2}+18x+15

遞減在

(1,3)

; 遞增在其他地方

遞減在

(1,3)

; 遞增在其他地方

12.

f(x)=5+36x+3x^{2}-2x^{3}

遞增在

(-2,3)

; 遞減在其他地方

遞增在

(-2,3)

; 遞減在其他地方

13.

f(x)=8+36x+3x^{2}-2x^{3}

遞增在

(-2,3)

; 遞減在其他地方

遞增在

(-2,3)

; 遞減在其他地方

14.

f(x)=5x^{3}-15x^{2}-120x+3

遞減在

(-2,4)

; 遞增在其他地方

遞減在

(-2,4)

; 遞增在其他地方

15.

f(x)=x^{3}-6x^{2}-36x+2

遞減在

(-2,6)

; 遞增在其他地方

遞減在

(-2,6)

; 遞增在其他地方

解答

確定凹凸區間

找到以下函式向上凹或向下凹的區間

16.

f(x)=10-6x-2x^{2}

處處凹陷

17.

f(x)=2x^{3}-12x^{2}+18x+15

在

(-\infty ,2)

上凹陷; 在

(2,\infty )

上凸起

在

(-\infty ,2)

上凹陷; 在

(2,\infty )

上凸起

18.

f(x)=5+36x+3x^{2}-2x^{3}

在

(-\infty ,{\tfrac {1}{2}})

上凸起; 在

({\tfrac {1}{2}},\infty )

上凹陷

在

(-\infty ,{\tfrac {1}{2}})

上凸起; 在

({\tfrac {1}{2}},\infty )

上凹陷

19.

f(x)=8+36x+3x^{2}-2x^{3}

在

(-\infty ,{\tfrac {1}{2}})

上凸起; 在

({\tfrac {1}{2}},\infty )

上凹陷

在

(-\infty ,{\tfrac {1}{2}})

上凸起; 在

({\tfrac {1}{2}},\infty )

上凹陷

20.

f(x)=5x^{3}-15x^{2}-120x+3

在

(-\infty ,1)

上凹陷; 在

(1,\infty )

上凸起

在

(-\infty ,1)

上凹陷; 在

(1,\infty )

上凸起

21.

f(x)=x^{3}-6x^{2}-36x+2

在

(-\infty ,2)

上凹陷; 在

(2,\infty )

上凸起

在

(-\infty ,2)

上凹陷; 在

(2,\infty )

上凸起

解答

文字題

22. 你從拐角處探頭望去，一隻 64 米遠的迅猛龍發現了你。你以每秒 6 米的速度逃跑。迅猛龍追趕你，以

4t

米每秒的速度向你剛離開的拐角跑去（時間

t

以秒計，從發現你開始算起）。在你跑完 4 秒後，迅猛龍距離拐角 32 米。此時，死亡以多快的速度逼近你即將被撕碎的肉體？也就是說，你和迅猛龍之間的距離變化率是多少？

10{\tfrac {\rm {m}}{\rm {s}}}

10{\tfrac {\rm {m}}{\rm {s}}}

23. 兩個腳踏車同時從一個十字路口出發。一輛向北行駛，速度為

12{\rm {\,mph}}

，另一輛向東行駛，速度為

5{\rm {\,mph}}

。一小時後，兩輛腳踏車之間的距離以多快的速度增加？

13{\rm {\,mph}}

13{\rm {\,mph}}

24. 你正在製作一個容積為

200{\rm {\,m^{3}}}

的罐子，罐身用金子製作，頂部和底部用銀子製作。假設每平方米金子價值 10 美元，每平方米銀子價值 1 美元。這種罐子的最低成本是多少？

$878.76

25. 一個農民投資了

216{\rm {\,cm}}

的籬笆，用來建造一個戶外圍欄，用來展示三種不同的動物，以供出售。為了降低成本，他使用者外穀倉的一面牆作為圍欄區域的一邊，該圍欄區域能夠將整個區域包圍起來。他希望動物活動的內部區域是全等的（即，他希望將總面積分成三個相等的區域）。在這些條件下，動物所能活動的最大內部面積是多少？

972{\rm {\,cm^{2}}}

972{\rm {\,cm^{2}}}

26. 在半徑為

r

的圓內，可以內接（使矩形的角點在圓周上）的最大矩形面積是多少？

2r^{2}

.

2r^{2}

.

27. 將一個圓柱體放入一個半徑為

R=3{\rm {\,in}}

的玻璃球形展示櫃中。（球體將圍繞圓柱體形成。）在這樣的展示櫃中，圓柱體能容納的最大體積是多少？

12\pi {\sqrt {3}}{\rm {\,in^{3}}}

.

12\pi {\sqrt {3}}{\rm {\,in^{3}}}

.

28. 一個身高

6\,{\rm {ft}}

的人正從一盞

15

英尺高的燈下走開。這個人以

6

英尺每秒的速度遠離燈光。這個人投下的影子，其長度相對於時間的變化速度（速度而非速率）是多少？

4{\rm {\,ft/s}}

.

4{\rm {\,ft/s}}

.

29. 一艘獨木舟正被一根繃緊的繩子拉向碼頭（垂直於水面）。獨木舟在被拉動時垂直於水面。繩子以恆定的 $5\,{\rm {ft/s}}$ 速度被拉入。碼頭距離水面 $5\,{\rm {ft}}$ 。回答以下問題（a）到（b）。

(a) 當繩子伸出

13\,{\rm {ft}}

時，船以多快的速度靠近碼頭？

13{\rm {\,ft/s}}

.

13{\rm {\,ft/s}}

.

(b) 因此，繩子與碼頭之間的角度變化率是多少？

0.2{\rm {\,rad/s}}

.

0.2{\rm {\,rad/s}}

.

30. 一位非常熱情的家長正在用攝像機拍攝你班上的一名運動員參加

100\,{\rm {m}}

的比賽。家長將運動員置於畫面中央，並從直線跑道上

2\,{\rm {m}}

的距離拍攝。你班上的運動員以恆定的

4\,{\rm {m/s}}

速度跑步。如果運動員在家長直接拍攝（運動員的運動方向與家長的視線垂直）之後半秒鐘經過家長，那麼拍攝角度的變化率是多少？

1\,{\rm {rad/s}}

1\,{\rm {rad/s}}

解答

函式繪圖

對於以下每個問題，畫出一個滿足給定特徵的函式圖

30.

f(1)=f(-2)=0,\ \lim _{x\to \infty }f(x)=\lim _{x\to -\infty }f(x)=0,\ {\mbox{ vertical asymptote at }}x=-3,\ f'(x)>0{\mbox{ on }}(0,2),

f'(x)<0{\mbox{ on }}(-\infty ,-3)\cup (-3,0)\cup (2,\infty ),\ f''(x)>0{\mbox{ on }}(-3,1)\cup (3,\infty ),\ f''(x)<0{\mbox{ on }}(-\infty ,-3)\cup (1,3).

有很多函式滿足所有條件。這裡是一個例子

有很多函式滿足所有條件。這裡是一個例子

31.

f{\mbox{ has domain }}[-1,1],\ f(-1)=-1,\ f(-{\tfrac {1}{2}})=-2,\ f'(-{\tfrac {1}{2}})=0,\ f''(x)>0{\mbox{ on }}(-1,1)

有很多函式滿足所有條件。這裡是一個例子

有很多函式滿足所有條件。這裡是一個例子

解答

近似問題

假設這些問題中， $\pi \approx 3.14$ 和 $e\approx 2.718$ ，除非另有說明。可以使用計算器或設計計算機程式，但必須指明方法和每一步的必要理由。

35. 使用任何方法近似

\sin(3)

。如果您使用牛頓法或尤拉法，請最多進行三次迭代。

示例：使用尤拉法，步長為

\Delta x=0.14

和

f(x,y)=1-y^{2}

近似

\sin(3)\approx 0.14

。有關詳細資訊，請參見解決方案頁面

示例：使用尤拉法，步長為

\Delta x=0.14

和

f(x,y)=1-y^{2}

近似

\sin(3)\approx 0.14

。有關詳細資訊，請參見解決方案頁面

36. 使用任何方法近似

{\sqrt {2}}

。如果您使用牛頓法或尤拉法，請最多進行三次迭代。

示例：使用牛頓-拉夫森方法，透過

2

次迭代近似

{\sqrt {2}}\approx 1.4167

。有關詳細資訊，請參見解決方案頁面

示例：使用牛頓-拉夫森方法，透過

2

次迭代近似

{\sqrt {2}}\approx 1.4167

。有關詳細資訊，請參見解決方案頁面

37. 使用任何方法近似

\ln(3)

。如果您使用牛頓法或尤拉法，請在最多 3 次迭代中完成。

示例:

\ln(3)\approx 1.10{\text{ OR }}1.09

使用區域性點線性化。有關詳細資訊，請參閱解決方案頁面。

示例:

\ln(3)\approx 1.10{\text{ OR }}1.09

使用區域性點線性化。有關詳細資訊，請參閱解決方案頁面。

解答

高階理解

45. 考慮可微函式 $f(x)$ 對於所有 $x>-2$ 以及連續函式 $g(x)$ 如下所示，其中 $g(x)$ 對於所有 $x\geq 1$ 是線性的，對於所有 $x\in (-2,1)\cup (1,\infty )$ 是可微的，並且 $f(x)$ 和 $g(x)$ 對於所有 $x\geq -2$ 是連續的。