微積分/微分/導數的應用/解答

相對極值

求以下函式的相對極大值和極小值（如果有）。

1.

f(x)={\frac {x}{x+1}}\,

f'(x)={\frac {1}{(x+1)^{2}}}

導數沒有根。導數在x=-1處不存在，但函式在該點也不存在，所以它不是極值點。因此，**該函式沒有相對極值。**

f'(x)={\frac {1}{(x+1)^{2}}}

導數沒有根。導數在x=-1處不存在，但函式在該點也不存在，所以它不是極值點。因此，**該函式沒有相對極值。**

2.

f(x)=(x-1)^{2/3}\,

f'(x)={\frac {2}{3}}(x-1)^{-1/3}={\frac {2}{3{\sqrt[{3}]{x-1}}}}

導數沒有根。導數在

x=1

處不存在。

f(1)=0

。 **點

(1,0)

是一個最小值**，因為

f(x)

是非負的，因為指數中的分子是偶數。**該函式沒有相對極大值。**

f'(x)={\frac {2}{3}}(x-1)^{-1/3}={\frac {2}{3{\sqrt[{3}]{x-1}}}}

導數沒有根。導數在

x=1

處不存在。

f(1)=0

。 **點

(1,0)

是一個最小值**，因為

f(x)

是非負的，因為指數中的分子是偶數。**該函式沒有相對極大值。**

3.

f(x)=x^{2}+{\frac {2}{x}}\,

f'(x)=2x-{\frac {2}{x^{2}}}

$2x-{\frac {2}{x^{2}}}=0\implies 2x^{3}-2=0\implies x=1$
$f^{\prime \prime }(x)=2+{\frac {4}{x^{3}}}$
$f^{\prime \prime }(1)=6$
由於二階導數為正， $x=1$ 對應於一個相對極小值。

導數在

x=0

處不存在，但函式也存在。沒有相對極大值。

f'(x)=2x-{\frac {2}{x^{2}}}

$2x-{\frac {2}{x^{2}}}=0\implies 2x^{3}-2=0\implies x=1$
$f^{\prime \prime }(x)=2+{\frac {4}{x^{3}}}$
$f^{\prime \prime }(1)=6$
由於二階導數為正， $x=1$ 對應於一個相對極小值。

導數在

x=0

處不存在，但函式也存在。沒有相對極大值。

4.

f(s)={\frac {s}{1+s^{2}}}\,

f'(x)={\frac {(1+s^{2})-2s^{2}}{(1+s^{2})^{2}}}={\frac {1-s^{2}}{(1+s^{2})^{2}}}

${\frac {1-s^{2}}{(1+s^{2})^{2}}}=0\implies s=\pm 1$
$f^{\prime \prime }(x)={\frac {-2s(1+s^{2})^{2}-2(1+s^{2})(2s)(1-s^{2})}{(1+s^{2})^{4}}}$
$f^{\prime \prime }(-1)={\frac {-2(-1)(1+(-1)^{2})^{2}-2(1+(-1)^{2})(2(-1))(1-(-1)^{2})}{(1+(-1)^{2})^{4}}}={\frac {8}{16}}={\frac {1}{2}}$
由於 $f(x)$ 在 $x=-1$ 處的二階導數為正， $x=-1$ 對應於一個相對極小值。
$f^{\prime \prime }(1)={\frac {-2(1+1^{2})^{2}-2(1+1^{2})(2)(1-1^{2})}{(1+1^{2})^{4}}}={\frac {-8}{16}}=-{\frac {1}{2}}$

因為

f(x)

在

x=1

處的二階導數為負， $x=1$ 對應於一個相對最大值。

f'(x)={\frac {(1+s^{2})-2s^{2}}{(1+s^{2})^{2}}}={\frac {1-s^{2}}{(1+s^{2})^{2}}}

${\frac {1-s^{2}}{(1+s^{2})^{2}}}=0\implies s=\pm 1$
$f^{\prime \prime }(x)={\frac {-2s(1+s^{2})^{2}-2(1+s^{2})(2s)(1-s^{2})}{(1+s^{2})^{4}}}$
$f^{\prime \prime }(-1)={\frac {-2(-1)(1+(-1)^{2})^{2}-2(1+(-1)^{2})(2(-1))(1-(-1)^{2})}{(1+(-1)^{2})^{4}}}={\frac {8}{16}}={\frac {1}{2}}$
由於 $f(x)$ 在 $x=-1$ 處的二階導數為正， $x=-1$ 對應於一個相對極小值。
$f^{\prime \prime }(1)={\frac {-2(1+1^{2})^{2}-2(1+1^{2})(2)(1-1^{2})}{(1+1^{2})^{4}}}={\frac {-8}{16}}=-{\frac {1}{2}}$

因為

f(x)

在

x=1

處的二階導數為負， $x=1$ 對應於一個相對最大值。

5.

f(x)=x^{2}-4x+9\,

f'(x)=2x-4

$2x-4=0\implies x=2$
$f^{\prime \prime }(x)=2$

因為二階導數為正， $x=2$ 對應於一個相對最小值。沒有相對最大值。

f'(x)=2x-4

$2x-4=0\implies x=2$
$f^{\prime \prime }(x)=2$

因為二階導數為正， $x=2$ 對應於一個相對最小值。沒有相對最大值。

6.

f(x)={\frac {x^{2}+x+1}{x^{2}-x+1}}\,

{\begin{aligned}f'(x)&={\frac {(x^{2}-x+1)(2x+1)-(2x-1)(x^{2}+x+1)}{(x^{2}-x+1)^{2}}}\\&={\frac {2x^{3}-2x^{2}+2x+x^{2}-x+1-2x^{3}-2x^{2}-2x+x^{2}+x+1}{(x^{2}-x+1)^{2}}}\\&={\frac {-2x^{2}+2}{(x^{2}-x+1)^{2}}}\end{aligned}}

${\frac {-2x^{2}+2}{(x^{2}-x+1)^{2}}}=0\implies x=\pm 1$
$f^{\prime \prime }(x)={\frac {(-4x)(x^{2}-x+1)^{2}-(2x-1)(-2x^{2}+2)}{(x^{2}-x+1)^{4}}}$
$f^{\prime \prime }(-1)={\frac {(-4(-1))((-1)^{2}-(-1)+1)^{2}-(2(-1)-1)(-2(-1)^{2}+2)}{((-1)^{2}-(-1)+1)^{4}}}={\frac {36}{81}}={\frac {4}{9}}$
由於 $f^{\prime \prime }(-1)$ 為正， $x=-1$ 對應於相對最小值。
$f^{\prime \prime }(1)={\frac {-4}{1}}=-4$

由於

f^{\prime \prime }(1)

為負， $x=1$ 對應於相對最大值。

{\begin{aligned}f'(x)&={\frac {(x^{2}-x+1)(2x+1)-(2x-1)(x^{2}+x+1)}{(x^{2}-x+1)^{2}}}\\&={\frac {2x^{3}-2x^{2}+2x+x^{2}-x+1-2x^{3}-2x^{2}-2x+x^{2}+x+1}{(x^{2}-x+1)^{2}}}\\&={\frac {-2x^{2}+2}{(x^{2}-x+1)^{2}}}\end{aligned}}

${\frac {-2x^{2}+2}{(x^{2}-x+1)^{2}}}=0\implies x=\pm 1$
$f^{\prime \prime }(x)={\frac {(-4x)(x^{2}-x+1)^{2}-(2x-1)(-2x^{2}+2)}{(x^{2}-x+1)^{4}}}$
$f^{\prime \prime }(-1)={\frac {(-4(-1))((-1)^{2}-(-1)+1)^{2}-(2(-1)-1)(-2(-1)^{2}+2)}{((-1)^{2}-(-1)+1)^{4}}}={\frac {36}{81}}={\frac {4}{9}}$
由於 $f^{\prime \prime }(-1)$ 為正， $x=-1$ 對應於相對最小值。
$f^{\prime \prime }(1)={\frac {-4}{1}}=-4$

由於

f^{\prime \prime }(1)

為負， $x=1$ 對應於相對最大值。

函式的值域

7. 證明表示式

x+1/x

不能取嚴格介於 2 和 -2 之間的任何值。

f(x)=x+{\frac {1}{x}}

$f'(x)=1-{\frac {1}{x^{2}}}$
$1-{\frac {1}{x^{2}}}=0\implies x=\pm 1$
$f^{\prime \prime }(x)={\frac {2}{x^{3}}}$
$f^{\prime \prime }(-1)=-2$
由於 $f^{\prime \prime }(-1)$ 為負， $x=-1$ 對應於相對最大值。
$f(-1)=-2$
$\lim \limits _{x\to -\infty }f(x)=-\infty$
對於 $x<-1$ ， $f'(x)$ 為正，這意味著函式是遞增的。從非常負的 $x$ 值開始， $f$ 從非常負的值增加到在 $x=-1$ 達到相對最大值 $-2$ 。
對於 $-1<x<1$ ， $f'(x)$ 為負，這意味著函式是遞減的。
$\lim _{x\to 0^{-}}f(x)=-\infty$
$\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=+\infty$
$f^{\prime \prime }(1)=2$
由於 $f^{\prime \prime }(1)$ 為正， $x=1$ 對應於相對最小值。
$f(1)=2$
在 $[-1,0)$ 區間上，函式從 $-2$ 遞減到 $-\infty$ ，然後跳躍到 $+\infty$ ，並繼續遞減直到在 $x=1$ 處達到區域性最小值 $2$ 。
對於 $x>1$ ， $f'(x)$ 為正，因此函式從最小值 $2$ 遞增。

以上分析表明函式的值域在

-2

和

2

之間存在間隙。

f(x)=x+{\frac {1}{x}}

$f'(x)=1-{\frac {1}{x^{2}}}$
$1-{\frac {1}{x^{2}}}=0\implies x=\pm 1$
$f^{\prime \prime }(x)={\frac {2}{x^{3}}}$
$f^{\prime \prime }(-1)=-2$
由於 $f^{\prime \prime }(-1)$ 為負， $x=-1$ 對應於相對最大值。
$f(-1)=-2$
$\lim \limits _{x\to -\infty }f(x)=-\infty$
對於 $x<-1$ ， $f'(x)$ 為正，這意味著函式是遞增的。從非常負的 $x$ 值開始， $f$ 從非常負的值增加到在 $x=-1$ 達到相對最大值 $-2$ 。
對於 $-1<x<1$ ， $f'(x)$ 為負，這意味著函式是遞減的。
$\lim _{x\to 0^{-}}f(x)=-\infty$
$\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=+\infty$
$f^{\prime \prime }(1)=2$
由於 $f^{\prime \prime }(1)$ 為正， $x=1$ 對應於相對最小值。
$f(1)=2$
在 $[-1,0)$ 區間上，函式從 $-2$ 遞減到 $-\infty$ ，然後跳躍到 $+\infty$ ，並繼續遞減直到在 $x=1$ 處達到區域性最小值 $2$ 。
對於 $x>1$ ， $f'(x)$ 為正，因此函式從最小值 $2$ 遞增。

以上分析表明函式的值域在

-2

和

2

之間存在間隙。

絕對極值

確定以下函式在給定域上的絕對最大值和最小值

8.

f(x)={\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{2}}x^{2}+1

在

[0,3]

上

f

在

[0,3]

上可微，因此極值定理保證了在

[0,3]

上存在絕對最大值和最小值。找到並檢查臨界點

$f'(x)=x^{2}-x$
$x^{2}-x=0\implies x=0,1$
$f(0)=1$
$f(1)={\frac {5}{6}}$
檢查端點
$f(3)={\frac {11}{2}}$

最大值在 $(3,{\frac {11}{2}})$ ；最小值在 $(1,{\frac {5}{6}})$

f

在

[0,3]

上可微，因此極值定理保證了在

[0,3]

上存在絕對最大值和最小值。找到並檢查臨界點

$f'(x)=x^{2}-x$
$x^{2}-x=0\implies x=0,1$
$f(0)=1$
$f(1)={\frac {5}{6}}$
檢查端點
$f(3)={\frac {11}{2}}$

最大值在 $(3,{\frac {11}{2}})$ ；最小值在 $(1,{\frac {5}{6}})$

9.

f(x)=({\frac {4}{3}}x^{2}-1)x

在

[-{\frac {1}{2}},2]

上

f'(x)=({\frac {4}{3}}x^{2}-1)+x({\frac {8}{3}}x)=4x^{2}-1

$4x^{2}-1=0\implies x=\pm {\frac {1}{2}}$
$f(-{\frac {1}{2}})=({\frac {1}{3}}-1)(-{\frac {1}{2}})={\frac {1}{3}}$
$f({\frac {1}{2}})=({\frac {1}{3}}-1)({\frac {1}{2}})=-{\frac {1}{3}}$
$f(2)=({\frac {16}{3}}-1)(2)={\frac {26}{3}}$

最大值在 $(2,{\frac {26}{3}})$ ；最小值在 $({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{3}})$

f'(x)=({\frac {4}{3}}x^{2}-1)+x({\frac {8}{3}}x)=4x^{2}-1

$4x^{2}-1=0\implies x=\pm {\frac {1}{2}}$
$f(-{\frac {1}{2}})=({\frac {1}{3}}-1)(-{\frac {1}{2}})={\frac {1}{3}}$
$f({\frac {1}{2}})=({\frac {1}{3}}-1)({\frac {1}{2}})=-{\frac {1}{3}}$
$f(2)=({\frac {16}{3}}-1)(2)={\frac {26}{3}}$

最大值在 $(2,{\frac {26}{3}})$ ；最小值在 $({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{3}})$

確定變化區間

找到以下函式遞增或遞減的區間

10.

f(x)=10-6x-2x^{2}

f'(x)=-6-4x

$-6-4x=0\implies x=-{\frac {3}{2}}$
$f'(x)$ 是一個負斜率直線的方程，所以 $f'(x)$ 在 $x<-{\frac {3}{2}}$ 時為正，在 $x>{\frac {3}{2}}$ 時為負。

這意味著函式在

(-\infty ,-{\frac {3}{2}})

上 **遞增**，在

({\frac {3}{2}},+\infty )

上 **遞減**。

f'(x)=-6-4x

$-6-4x=0\implies x=-{\frac {3}{2}}$
$f'(x)$ 是一個負斜率直線的方程，所以 $f'(x)$ 在 $x<-{\frac {3}{2}}$ 時為正，在 $x>{\frac {3}{2}}$ 時為負。

這意味著函式在

(-\infty ,-{\frac {3}{2}})

上 **遞增**，在

({\frac {3}{2}},+\infty )

上 **遞減**。

11.

f(x)=2x^{3}-12x^{2}+18x+15

f'(x)=6x^{2}-24x+18

${\begin{aligned}6x^{2}-24x+18=0&\implies x-4x+3=0\\&\implies (x-1)(x-3)=0\\&\implies x=1,3\end{aligned}}$
$f'(x)$ 是一個碗形的拋物線，它在 $x$ 軸上與 $1$ 和 $3$ 相交，所以 $f'(x)$ 在 $1<x<3$ 時為負，在其他地方為正。

這意味著函式在

(1,3)

上 **遞減**，在其他地方 **遞增**。

f'(x)=6x^{2}-24x+18

${\begin{aligned}6x^{2}-24x+18=0&\implies x-4x+3=0\\&\implies (x-1)(x-3)=0\\&\implies x=1,3\end{aligned}}$
$f'(x)$ 是一個碗形的拋物線，它在 $x$ 軸上與 $1$ 和 $3$ 相交，所以 $f'(x)$ 在 $1<x<3$ 時為負，在其他地方為正。

這意味著函式在

(1,3)

上 **遞減**，在其他地方 **遞增**。

12.

f(x)=5+36x+3x^{2}-2x^{3}

f'(x)=36+6x-6x^{2}

${\begin{aligned}36+6x-6x^{2}=0&\implies 6+x-x^{2}=0\\&\implies (x+2)(-x+3)=0\\&\implies x=-2,3\end{aligned}}$
$f'(x)$ 是一個山形拋物線，它穿過 $x$ 軸於 $-2$ 和 $3$ ，所以 $f'(x)$ 在 $-2<x<3$ 時為正，在其他地方為負。

這意味著該函式在

(-2,3)

上 **遞增**，在其他地方 **遞減**。

f'(x)=36+6x-6x^{2}

${\begin{aligned}36+6x-6x^{2}=0&\implies 6+x-x^{2}=0\\&\implies (x+2)(-x+3)=0\\&\implies x=-2,3\end{aligned}}$
$f'(x)$ 是一個山形拋物線，它穿過 $x$ 軸於 $-2$ 和 $3$ ，所以 $f'(x)$ 在 $-2<x<3$ 時為正，在其他地方為負。

這意味著該函式在

(-2,3)

上 **遞增**，在其他地方 **遞減**。

13.

f(x)=8+36x+3x^{2}-2x^{3}

如果你做了上一個練習，那麼就不需要任何計算，因為這個函式與那個函式具有相同的導數，因此在相同的區間上遞增和遞減；也就是說，該函式在

(-2,3)

上 **遞增**，在其他地方 **遞減**。

如果你做了上一個練習，那麼就不需要任何計算，因為這個函式與那個函式具有相同的導數，因此在相同的區間上遞增和遞減；也就是說，該函式在

(-2,3)

上 **遞增**，在其他地方 **遞減**。

14.

f(x)=5x^{3}-15x^{2}-120x+3

f'(x)=15x^{2}-30x-120

${\begin{aligned}15x^{2}-30x-120=0&\implies x^{2}-2x-8=0\\&\implies (x+2)(x-4)=0\\&\implies x=-2,4\end{aligned}}$
$f'$ 在 $(-2,4)$ 上為負，在其他地方為正。

所以

f

在

(-2,4)

上是遞減的，在其他地方是遞增的。

f'(x)=15x^{2}-30x-120

${\begin{aligned}15x^{2}-30x-120=0&\implies x^{2}-2x-8=0\\&\implies (x+2)(x-4)=0\\&\implies x=-2,4\end{aligned}}$
$f'$ 在 $(-2,4)$ 上為負，在其他地方為正。

所以

f

在

(-2,4)

上是遞減的，在其他地方是遞增的。

15.

f(x)=x^{3}-6x^{2}-36x+2

f'(x)=3x^{2}-12x-36

${\begin{aligned}3x^{2}-12x-36=0&\implies x^{2}-4x-12=0\\&\implies (x+2)(x-6)=0\\&\implies x=-2,6\end{aligned}}$

f

在

(-2,6)

上是遞減的，在其他地方是遞增的。

f'(x)=3x^{2}-12x-36

${\begin{aligned}3x^{2}-12x-36=0&\implies x^{2}-4x-12=0\\&\implies (x+2)(x-6)=0\\&\implies x=-2,6\end{aligned}}$

f

在

(-2,6)

上是遞減的，在其他地方是遞增的。

確定凹凸區間

找出以下函式向上凹或向下凹的區間

16.

f(x)=10-6x-2x^{2}

f'(x)=-6-4x

$f''(x)=-4$

該函式在任何地方都是向下凹的。

f'(x)=-6-4x

$f''(x)=-4$

該函式在任何地方都是向下凹的。

17.

f(x)=2x^{3}-12x^{2}+18x+15

f'(x)=6x^{2}-24x+18

$f^{\prime \prime }(x)=12x-24$
$12x-24=0\implies x=2$
當 $x<2$ 時， $f^{\prime \prime }(x)$ 為負，當 $x>2$ 時， $f^{\prime \prime }(x)$ 為正。

這意味著該函式在

(-\infty ,2)

上是凹的，在

(2,+\infty )

上是凸的。

f'(x)=6x^{2}-24x+18

$f^{\prime \prime }(x)=12x-24$
$12x-24=0\implies x=2$
當 $x<2$ 時， $f^{\prime \prime }(x)$ 為負，當 $x>2$ 時， $f^{\prime \prime }(x)$ 為正。

這意味著該函式在

(-\infty ,2)

上是凹的，在

(2,+\infty )

上是凸的。

18.

f(x)=5+36x+3x^{2}-2x^{3}

f'(x)=36+6x-6x^{2}

$f^{\prime \prime }(x)=6-12x$
$6-12x=0\implies x={\frac {1}{2}}$

這意味著該函式在

(-\infty ,{\frac {1}{2}})

上是凸的，在

({\frac {1}{2}},+\infty )

上是凹的。

f'(x)=36+6x-6x^{2}

$f^{\prime \prime }(x)=6-12x$
$6-12x=0\implies x={\frac {1}{2}}$

這意味著該函式在

(-\infty ,{\frac {1}{2}})

上是凸的，在

({\frac {1}{2}},+\infty )

上是凹的。

19.

f(x)=8+36x+3x^{2}-2x^{3}

如果你做了上一題，那麼就無需進行任何計算，因為該函式與上一題函式具有相同的二階導數，因此在相同的區間上是凸的和凹的；也就是說，該函式在

(-\infty ,{\frac {1}{2}})

上是凸的，在

({\frac {1}{2}},+\infty )

上是凹的。

如果你做了上一題，那麼就無需進行任何計算，因為該函式與上一題函式具有相同的二階導數，因此在相同的區間上是凸的和凹的；也就是說，該函式在

(-\infty ,{\frac {1}{2}})

上是凸的，在

({\frac {1}{2}},+\infty )

上是凹的。

20.

f(x)=5x^{3}-15x^{2}-120x+3

f'(x)=15x^{2}-30x-120

$f^{\prime \prime }(x)=30x-30$
$30x-30=0\implies x=1$
$f^{\prime \prime }(x)$ 當 $x>1$ 時為正，當 $x<1$ 時為負。

這意味著該函式在

(-\infty ,1)

上是 **凹的**，在

(1,+\infty )

上是 **凸的**。**

f'(x)=15x^{2}-30x-120

$f^{\prime \prime }(x)=30x-30$
$30x-30=0\implies x=1$
$f^{\prime \prime }(x)$ 當 $x>1$ 時為正，當 $x<1$ 時為負。

這意味著該函式在

(-\infty ,1)

上是 **凹的**，在

(1,+\infty )

上是 **凸的**。**

21.

f(x)=x^{3}-6x^{2}-36x+2

f'(x)=3x^{2}-12x-36

$f^{\prime \prime }(x)=6x-12$
$6x-12=0\implies x=2$
$f^{\prime \prime }(x)$ 當 $x>2$ 時為正，當 $x<2$ 時為負。

這意味著該函式在

(-\infty ,2)

上是凹的，在

(2,+\infty )

上是凸的。

f'(x)=3x^{2}-12x-36

$f^{\prime \prime }(x)=6x-12$
$6x-12=0\implies x=2$
$f^{\prime \prime }(x)$ 當 $x>2$ 時為正，當 $x<2$ 時為負。

這意味著該函式在

(-\infty ,2)

上是凹的，在

(2,+\infty )

上是凸的。

文字問題

22. 你從拐角處探頭，一隻 64 米遠的迅猛龍發現了你。你以每秒 6 米的速度逃跑。迅猛龍追趕，以

4t

米/秒的速度朝著你剛離開的拐角跑去（時間

t

以秒為單位，從發現你開始計時）。在你跑了 4 秒後，迅猛龍距離拐角 32 米。此時，死亡以多快的速度接近你即將被撕碎的肉體？也就是說，你與迅猛龍之間距離的變化率是多少？

速度是位置相對於時間的變化率。迅猛龍相對於你的速度由下式給出：

${\frac {dx}{dt}}=v(t)=4t-6$
4 秒後，位置相對於時間的變化率是

v(4)=16-6=\mathbf {10{\frac {m}{s}}}

速度是位置相對於時間的變化率。迅猛龍相對於你的速度由下式給出：

${\frac {dx}{dt}}=v(t)=4t-6$
4 秒後，位置相對於時間的變化率是

v(4)=16-6=\mathbf {10{\frac {m}{s}}}

23. 兩輛腳踏車同時從一個十字路口出發。一輛向北行駛，速度為 12 英里/小時，另一輛向東行駛，速度為 5 英里/小時。一小時後，這兩輛腳踏車彼此遠離的速度是多少？

建立一個座標系，以十字路口為原點，

+y

軸指向北。我們假設向北行駛的腳踏車的距離是向東行駛的腳踏車的距離的函式。

$y={\frac {12}{5}}x$
兩輛腳踏車之間的距離由下式給出：
$s={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {x^{2}+({\frac {12}{5}}x)^{2}}}={\sqrt {{\frac {144+25}{25}}x^{2}}}={\sqrt {{\frac {169}{25}}x^{2}}}={\frac {13}{5}}x$
令 $t$ 代表經過的時間（以小時計）。我們想要 ${\frac {ds}{dt}}$ 當 $t=1$ 。對 $s$ 應用鏈式法則。
${\frac {ds}{dt}}={\frac {ds}{dx}}{\frac {dx}{dt}}={\frac {13}{5}}\cdot 5=13$

因此，兩輛腳踏車以 **13 英里/小時** 的速度相互遠離。

建立一個座標系，以十字路口為原點，

+y

軸指向北。我們假設向北行駛的腳踏車的距離是向東行駛的腳踏車的距離的函式。

$y={\frac {12}{5}}x$
兩輛腳踏車之間的距離由下式給出：
$s={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {x^{2}+({\frac {12}{5}}x)^{2}}}={\sqrt {{\frac {144+25}{25}}x^{2}}}={\sqrt {{\frac {169}{25}}x^{2}}}={\frac {13}{5}}x$
令 $t$ 代表經過的時間（以小時計）。我們想要 ${\frac {ds}{dt}}$ 當 $t=1$ 。對 $s$ 應用鏈式法則。
${\frac {ds}{dt}}={\frac {ds}{dx}}{\frac {dx}{dt}}={\frac {13}{5}}\cdot 5=13$

因此，兩輛腳踏車以 **13 英里/小時** 的速度相互遠離。

24. 你正在製作一個容積為 200 m

^{3}

的罐子，用金子做側面，用銀子做頂部和底部。假設金子每平方米的價格為 10 美元，銀子每平方米的價格為 1 美元。這種罐子的最低成本是多少？

罐子的容積是半徑

r

和高度

h

的函式：

$V=\pi r^{2}h$
我們被限制為製作一個容積為 $200m^{3}$ 的罐子，所以我們使用這個事實來關聯半徑和高度：
$\pi r^{2}h=200\implies h={\frac {200}{\pi r^{2}}}$
側面的表面積為：
$A_{side}=2\pi rh=2\pi r{\frac {200}{\pi r^{2}}}={\frac {400}{r}}$
側面的成本為：
$C_{side}={\frac {4000}{r}}$
頂部和底部的表面積（也是成本）為
$A_{tb}=C_{tb}=2\pi r^{2}$
總成本由下式給出
$C={\frac {4000}{r}}+2\pi r^{2}$
我們想要最小化 $C$ ，所以求導數
$C'=-{\frac {4000}{r^{2}}}+4\pi r$
找到臨界點
$-{\frac {4000}{r^{2}}}+4\pi r=0\implies 4\pi r={\frac {4000}{r^{2}}}\implies 4\pi r^{3}=4000\implies r={\sqrt[{3}]{\frac {1000}{\pi }}}={\frac {10}{\sqrt[{3}]{\pi }}}$
檢查二階導數以檢視此點是否對應於最大值或最小值
$C^{\prime \prime }={\frac {8000}{r^{3}}}+4\pi$
$C^{\prime \prime }({\frac {10}{\sqrt[{3}]{\pi }}})={\frac {8000}{1000/\pi }}+4\pi =8\pi +4\pi =12\pi$
由於二階導數為正，臨界點對應於最小值。因此，最小成本為

C({\frac {10}{\sqrt[{3}]{\pi }}})={\frac {4000}{10/{\sqrt[{3}]{\pi }}}}+2\pi {\frac {10}{\sqrt[{3}]{\pi }}}\approx \mathbf {\$878.76}

罐子的容積是半徑

r

和高度

h

的函式：

$V=\pi r^{2}h$
我們被限制為製作一個容積為 $200m^{3}$ 的罐子，所以我們使用這個事實來關聯半徑和高度：
$\pi r^{2}h=200\implies h={\frac {200}{\pi r^{2}}}$
側面的表面積為：
$A_{side}=2\pi rh=2\pi r{\frac {200}{\pi r^{2}}}={\frac {400}{r}}$
側面的成本為：
$C_{side}={\frac {4000}{r}}$
頂部和底部的表面積（也是成本）為
$A_{tb}=C_{tb}=2\pi r^{2}$
總成本由下式給出
$C={\frac {4000}{r}}+2\pi r^{2}$
我們想要最小化 $C$ ，所以求導數
$C'=-{\frac {4000}{r^{2}}}+4\pi r$
找到臨界點
$-{\frac {4000}{r^{2}}}+4\pi r=0\implies 4\pi r={\frac {4000}{r^{2}}}\implies 4\pi r^{3}=4000\implies r={\sqrt[{3}]{\frac {1000}{\pi }}}={\frac {10}{\sqrt[{3}]{\pi }}}$
檢查二階導數以檢視此點是否對應於最大值或最小值
$C^{\prime \prime }={\frac {8000}{r^{3}}}+4\pi$
$C^{\prime \prime }({\frac {10}{\sqrt[{3}]{\pi }}})={\frac {8000}{1000/\pi }}+4\pi =8\pi +4\pi =12\pi$
由於二階導數為正，臨界點對應於最小值。因此，最小成本為

C({\frac {10}{\sqrt[{3}]{\pi }}})={\frac {4000}{10/{\sqrt[{3}]{\pi }}}}+2\pi {\frac {10}{\sqrt[{3}]{\pi }}}\approx \mathbf {\$878.76}

25. 一位農民正在投資

216{\rm {\,cm}}

的圍欄，以便他可以建立一個戶外圍欄來展示三種不同的動物出售。為了使成本效益最大化，他使使用者外穀倉的其中一面牆作為圍欄區域的一側，該區域能夠包圍整個區域。他希望動物漫遊的內部區域是全等的（即他希望將總面積分成三個相等的區域）。在這些條件下，動物可以漫遊的最大內部區域是多少？

在給定材料長度的情況下最大化面積時，一個重要因素是要考慮其中一面不是由相同材料製成的，而是已經存在的材料（即穀倉牆代替圍欄）。此外，漫遊區域是全等的，所以

A=3lw

對於某些長度和寬度，因此周長是

3w+4l=216

。嘗試繪製所呈現的情況，面積和周長引數可能會更有意義。

注意， $3w+4l=216\Leftrightarrow 3w=216-4l$ ，所以 $A=3lw=l(3w)\Rightarrow A(l)=l(216-4l)=216l-4l^{2}$ 。因此，為了最大化總面積（這也將最大化動物的內部活動區域，因為每個區域都是全等的），我們對面積函式關於長度求導。

A^{\prime }(l)=216-8l

A^{\prime }(l)=0\Rightarrow l=27

注意，由於 $A^{\prime \prime }(l)=-8<0$ 對於所有 $l$ ，這意味著 $A(27)$ 是一個區域性最大值。

A(27)=27(216-4\cdot 27)=2916

因此，其中一隻動物的內部最大活動區域是

2916/3=\mathbf {972} {\rm {\,cm^{2}}}

。

在給定材料長度的情況下最大化面積時，一個重要因素是要考慮其中一面不是由相同材料製成的，而是已經存在的材料（即穀倉牆代替圍欄）。此外，漫遊區域是全等的，所以

A=3lw

對於某些長度和寬度，因此周長是

3w+4l=216

。嘗試繪製所呈現的情況，面積和周長引數可能會更有意義。

注意， $3w+4l=216\Leftrightarrow 3w=216-4l$ ，所以 $A=3lw=l(3w)\Rightarrow A(l)=l(216-4l)=216l-4l^{2}$ 。因此，為了最大化總面積（這也將最大化動物的內部活動區域，因為每個區域都是全等的），我們對面積函式關於長度求導。

A^{\prime }(l)=216-8l

A^{\prime }(l)=0\Rightarrow l=27

注意，由於 $A^{\prime \prime }(l)=-8<0$ 對於所有 $l$ ，這意味著 $A(27)$ 是一個區域性最大值。

A(27)=27(216-4\cdot 27)=2916

因此，其中一隻動物的內部最大活動區域是

2916/3=\mathbf {972} {\rm {\,cm^{2}}}

。

26. 在半徑為

r

的圓內，內接矩形（使矩形的角點在圓周上）的最大面積是多少？

矩形的對角線在同一點相遇。由於它內接於圓內，因此圓的中點與矩形對角線的交點相同。因此，半徑和圓和矩形上的一個點

(x,y)

之間的關係為

x^{2}+y^{2}=r^{2}

。

由於必須滿足 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ ，這也意味著點集 $P=\{(x,y),(-x,y),(x,-y),(-x,-y)\}$ 也滿足該關係。因此，水平或垂直相關兩點之間的距離分別是 $2x$ 和 $2y$ ，因此矩形的面積由 $A=2x\cdot 2y=4xy$ 給出。

因此，根據 $x$ ，矩形的面積為 $A(x)=4x{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$ ，其中 $0\leq x\leq r$ 。求導以找到最大值，

A^{\prime }(x)=4{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}-{\frac {4x^{2}}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}

請注意，在 $x=\pm r$ 處存在臨界點（因為導數在這些點上不存在）。我們只關注 $x=r$ ，因為 $x=-r$ 超出了感興趣的點。

將導數設定為零以找到其他臨界點。

{\begin{aligned}A^{\prime }(x)=0&\Rightarrow 4{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}-{\frac {4x^{2}}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}=0\\&\Rightarrow 4\left(r^{2}-x^{2}\right)-4x^{2}=0\\&\Rightarrow 4r^{2}-8x^{2}=0\\&\Rightarrow x^{2}={\frac {r^{2}}{2}}{\text{ or }}x=\pm {\frac {r}{\sqrt {2}}}\end{aligned}}

由於 $x=-{\frac {r}{\sqrt {2}}}$ 超出了我們感興趣的點，所以我們只關注在 $x={\frac {r}{\sqrt {2}}}$ 處的臨界點。因此，我們測試三個臨界點

{\begin{aligned}A(0)&=4\cdot (0)\cdot {\sqrt {r^{2}-(0)^{2}}}=0\\A\left({\frac {r}{\sqrt {2}}}\right)&=4\cdot \left({\frac {r}{\sqrt {2}}}\right)\cdot {\sqrt {r^{2}-\left({\frac {r}{\sqrt {2}}}\right)^{2}}}\\&=4\cdot {\frac {r}{\sqrt {2}}}\cdot {\sqrt {\frac {r^{2}}{2}}}\\&=4\cdot {\frac {r^{2}}{2}}=2r^{2}\\A(r)&=4\cdot (r)\cdot {\sqrt {r^{2}-(r)^{2}}}=0\end{aligned}}

測試的臨界點中，最大的面積是

{\textbf {2r}}^{\textbf {2}}

.

矩形的對角線在同一點相遇。由於它內接於圓內，因此圓的中點與矩形對角線的交點相同。因此，半徑和圓和矩形上的一個點

(x,y)

之間的關係為

x^{2}+y^{2}=r^{2}

。

由於必須滿足 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ ，這也意味著點集 $P=\{(x,y),(-x,y),(x,-y),(-x,-y)\}$ 也滿足該關係。因此，水平或垂直相關兩點之間的距離分別是 $2x$ 和 $2y$ ，因此矩形的面積由 $A=2x\cdot 2y=4xy$ 給出。

因此，根據 $x$ ，矩形的面積為 $A(x)=4x{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$ ，其中 $0\leq x\leq r$ 。求導以找到最大值，

A^{\prime }(x)=4{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}-{\frac {4x^{2}}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}

請注意，在 $x=\pm r$ 處存在臨界點（因為導數在這些點上不存在）。我們只關注 $x=r$ ，因為 $x=-r$ 超出了感興趣的點。

將導數設定為零以找到其他臨界點。

{\begin{aligned}A^{\prime }(x)=0&\Rightarrow 4{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}-{\frac {4x^{2}}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}=0\\&\Rightarrow 4\left(r^{2}-x^{2}\right)-4x^{2}=0\\&\Rightarrow 4r^{2}-8x^{2}=0\\&\Rightarrow x^{2}={\frac {r^{2}}{2}}{\text{ or }}x=\pm {\frac {r}{\sqrt {2}}}\end{aligned}}

由於 $x=-{\frac {r}{\sqrt {2}}}$ 超出了我們感興趣的點，所以我們只關注在 $x={\frac {r}{\sqrt {2}}}$ 處的臨界點。因此，我們測試三個臨界點

{\begin{aligned}A(0)&=4\cdot (0)\cdot {\sqrt {r^{2}-(0)^{2}}}=0\\A\left({\frac {r}{\sqrt {2}}}\right)&=4\cdot \left({\frac {r}{\sqrt {2}}}\right)\cdot {\sqrt {r^{2}-\left({\frac {r}{\sqrt {2}}}\right)^{2}}}\\&=4\cdot {\frac {r}{\sqrt {2}}}\cdot {\sqrt {\frac {r^{2}}{2}}}\\&=4\cdot {\frac {r^{2}}{2}}=2r^{2}\\A(r)&=4\cdot (r)\cdot {\sqrt {r^{2}-(r)^{2}}}=0\end{aligned}}

測試的臨界點中，最大的面積是

{\textbf {2r}}^{\textbf {2}}

.

27. 有一根圓柱體要安裝在一個半徑為

R=3{\rm {\,in}}

的玻璃球形展示櫃中。（球體將圍繞圓柱體形成）。圓柱體在這樣的展示櫃中能達到的最大體積是多少？

請注意圖中，圓柱的角可以連線到球體的中心

O

。此外，球體的中心也是圓柱的中心，因此，給定高度

h

和半徑

r

，圓柱的角與球體的關係由下式給出：

r^{2}+\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}=R^{2}

。

給定圓柱的體積為 $V=\pi r^{2}h$ ，並且 $r^{2}=R^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}=R^{2}-{\frac {h^{2}}{4}}$ ，圓柱相對於高度的體積為

V(h)=\pi \left(R^{2}-{\frac {h^{2}}{4}}\right)h=\pi hR^{2}-{\frac {h^{3}\pi }{4}}

V^{\prime }(h)=\pi R^{2}-{\frac {3h^{2}\pi }{4}}

將導數設定為零得到臨界點。

{\begin{aligned}V^{\prime }(h)=0&\Rightarrow \pi R^{2}-{\frac {3h^{2}\pi }{4}}=0\\&\Rightarrow \pi \left(R^{2}-{\frac {3h^{2}}{4}}\right)=0\\&\Rightarrow R^{2}-{\frac {3h^{2}}{4}}=0\Rightarrow R^{2}={\frac {3h^{2}}{4}}\\&\Rightarrow {\frac {4}{3}}R^{2}=h^{2}\\&\Rightarrow h=\pm {\sqrt {{\frac {4}{3}}R^{2}}}\end{aligned}}

.

請記住，體積必須為正數，因此 $h>0$ 。因此，我們只需要考慮臨界點 $h={\sqrt {{\frac {4}{3}}R^{2}}}$ 。求二階導數

V^{\prime \prime }(h)=-{\frac {6\pi }{4}}h=-{\frac {3\pi }{2}}h

由於臨界點 $h={\sqrt {{\frac {4}{3}}R^{2}}}$ 為正數，且 $V^{\prime \prime }(h)$ 為線性函式， $V^{\prime \prime }(0)=0$ ，且 $V^{\prime \prime }(h)$ 呈下降趨勢，

V^{\prime \prime }\left({\sqrt {{\frac {4}{3}}R^{2}}}\right)<0

，所以根據二階導數檢驗，

V\left({\sqrt {{\frac {4}{3}}R^{2}}}\right)

是一個區域性最大值。

回想一下，球體的半徑為 $R=3$ ，因此 $h={\sqrt {{\frac {4}{3}}\cdot 3^{2}}}={\sqrt {12}}$ 。

{\begin{aligned}V({\sqrt {12}})&=\pi \left(3^{2}-{\frac {\left({\sqrt {12}}\right)^{2}}{4}}\right){\sqrt {12}}\\&=\pi \left(9-3\right){\sqrt {4\cdot 3}}\\&=\pi \left(6\right)2{\sqrt {3}}=12\pi {\sqrt {3}}\end{aligned}}

因此，內接於球體的圓柱體的最大體積為

{\textbf {12}}{\boldsymbol {\pi }}{\sqrt {\textbf {3}}}\,{\textbf {in}}^{\textbf {3}}

。

請注意圖中，圓柱的角可以連線到球體的中心

O

。此外，球體的中心也是圓柱的中心，因此，給定高度

h

和半徑

r

，圓柱的角與球體的關係由下式給出：

r^{2}+\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}=R^{2}

。

給定圓柱的體積為 $V=\pi r^{2}h$ ，並且 $r^{2}=R^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}=R^{2}-{\frac {h^{2}}{4}}$ ，圓柱相對於高度的體積為

V(h)=\pi \left(R^{2}-{\frac {h^{2}}{4}}\right)h=\pi hR^{2}-{\frac {h^{3}\pi }{4}}

V^{\prime }(h)=\pi R^{2}-{\frac {3h^{2}\pi }{4}}

將導數設定為零得到臨界點。

{\begin{aligned}V^{\prime }(h)=0&\Rightarrow \pi R^{2}-{\frac {3h^{2}\pi }{4}}=0\\&\Rightarrow \pi \left(R^{2}-{\frac {3h^{2}}{4}}\right)=0\\&\Rightarrow R^{2}-{\frac {3h^{2}}{4}}=0\Rightarrow R^{2}={\frac {3h^{2}}{4}}\\&\Rightarrow {\frac {4}{3}}R^{2}=h^{2}\\&\Rightarrow h=\pm {\sqrt {{\frac {4}{3}}R^{2}}}\end{aligned}}

.

請記住，體積必須為正數，因此 $h>0$ 。因此，我們只需要考慮臨界點 $h={\sqrt {{\frac {4}{3}}R^{2}}}$ 。求二階導數

V^{\prime \prime }(h)=-{\frac {6\pi }{4}}h=-{\frac {3\pi }{2}}h

由於臨界點 $h={\sqrt {{\frac {4}{3}}R^{2}}}$ 為正數，且 $V^{\prime \prime }(h)$ 為線性函式， $V^{\prime \prime }(0)=0$ ，且 $V^{\prime \prime }(h)$ 呈下降趨勢，

V^{\prime \prime }\left({\sqrt {{\frac {4}{3}}R^{2}}}\right)<0

，所以根據二階導數檢驗，

V\left({\sqrt {{\frac {4}{3}}R^{2}}}\right)

是一個區域性最大值。

回想一下，球體的半徑為 $R=3$ ，因此 $h={\sqrt {{\frac {4}{3}}\cdot 3^{2}}}={\sqrt {12}}$ 。

{\begin{aligned}V({\sqrt {12}})&=\pi \left(3^{2}-{\frac {\left({\sqrt {12}}\right)^{2}}{4}}\right){\sqrt {12}}\\&=\pi \left(9-3\right){\sqrt {4\cdot 3}}\\&=\pi \left(6\right)2{\sqrt {3}}=12\pi {\sqrt {3}}\end{aligned}}

因此，內接於球體的圓柱體的最大體積為

{\textbf {12}}{\boldsymbol {\pi }}{\sqrt {\textbf {3}}}\,{\textbf {in}}^{\textbf {3}}

。

28. 一個身高

6\,{\rm {ft}}

的人正遠離一盞

15

英尺高的路燈。此人以

6

英尺每秒的速度遠離路燈。請問，此人影子長度相對於時間的變化速度（速度而不是速率）是多少？

路燈和人可以用三角關係來表示，如下圖所示。人， ${\overline {PB}}$ ，正以 $6$ 英尺每秒的速度遠離路燈，因此 ${\overline {AB}}$ 的長度也必須在變化。所以，我們將此長度設為 $x$ 。假設影子的長度和人與燈柱的距離是 $L$ ，即 $m{\overline {AQ}}=L$ ，則影子長度為 $m{\overline {BQ}}=L-x$ 。

注意所涉及的相似三角形： $\triangle OCP\sim \triangle PBQ$ ，因為 $\angle OPC\cong \angle PQB$ （你自己證明吧！）。因此，我們可以將長度表示如下：

{\begin{aligned}{\frac {m{\overline {BQ}}}{m{\overline {PB}}}}&={\frac {m{\overline {CP}}}{m{\overline {OC}}}}\\{\frac {L-x}{6}}&={\frac {x}{15-6}}\\(L-x)(15-6)=9L-9x&=6x\\L&={\frac {15}{9}}x\end{aligned}}

影子長度作為人與燈柱距離的函式是

S(x)=L-x={\frac {15}{9}}x-x={\frac {2}{3}}x

。因此，影子長度的變化率是

{\frac {dS}{dt}}={\frac {2}{3}}{\frac {dx}{dt}}={\frac {2}{3}}\cdot 6\,{\rm {ft/s}}={\textbf {4}}\,{\textbf {ft/s}}

。

路燈和人可以用三角關係來表示，如下圖所示。人， ${\overline {PB}}$ ，正以 $6$ 英尺每秒的速度遠離路燈，因此 ${\overline {AB}}$ 的長度也必須在變化。所以，我們將此長度設為 $x$ 。假設影子的長度和人與燈柱的距離是 $L$ ，即 $m{\overline {AQ}}=L$ ，則影子長度為 $m{\overline {BQ}}=L-x$ 。

注意所涉及的相似三角形： $\triangle OCP\sim \triangle PBQ$ ，因為 $\angle OPC\cong \angle PQB$ （你自己證明吧！）。因此，我們可以將長度表示如下：

{\begin{aligned}{\frac {m{\overline {BQ}}}{m{\overline {PB}}}}&={\frac {m{\overline {CP}}}{m{\overline {OC}}}}\\{\frac {L-x}{6}}&={\frac {x}{15-6}}\\(L-x)(15-6)=9L-9x&=6x\\L&={\frac {15}{9}}x\end{aligned}}

影子長度作為人與燈柱距離的函式是

S(x)=L-x={\frac {15}{9}}x-x={\frac {2}{3}}x

。因此，影子長度的變化率是

{\frac {dS}{dt}}={\frac {2}{3}}{\frac {dx}{dt}}={\frac {2}{3}}\cdot 6\,{\rm {ft/s}}={\textbf {4}}\,{\textbf {ft/s}}

。

29. 一艘獨木舟正被一根繃緊的繩索拉向碼頭（垂直於水面）。獨木舟在被拉動時與水面垂直。繩索以恆定的速度 $5\,{\rm {ft/s}}$ 被拉入。碼頭距離水面 $5\,{\rm {ft}}$ 。回答問題（a）至（b）。

(a) 當

13\,{\rm {ft}}

的繩索伸出時，船以多快的速度靠近碼頭？

由於船距離碼頭

x

英尺，碼頭高度為

y=5\,{\rm {ft}}

，並且這兩個測量值是垂直的，因此畢達哥拉斯定理適用。繩索的長度，

r=13\,{\rm {ft}}

，是

x

和

y

之間的斜邊，所以

x^{2}+5^{2}=13^{2}\Rightarrow x=12\,{\rm {ft}}

.

隱式地對關係 ( $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ ) 求導，我們得到 $2x\cdot {\frac {dx}{dt}}=2r\cdot {\frac {dr}{dt}}$ （注意碼頭高度是恆定的）。將 ${\frac {dx}{dt}}={\dot {x}}$ 單獨分離

{\begin{aligned}{\dot {x}}&={\frac {r}{x}}{\dot {r}}\\&={\frac {13}{5}}\cdot 5\,{\rm {ft/s}}\\&={\textbf {13}}\,{\textbf {ft/s}}\end{aligned}}

由於船距離碼頭

x

英尺，碼頭高度為

y=5\,{\rm {ft}}

，並且這兩個測量值是垂直的，因此畢達哥拉斯定理適用。繩索的長度，

r=13\,{\rm {ft}}

，是

x

和

y

之間的斜邊，所以

x^{2}+5^{2}=13^{2}\Rightarrow x=12\,{\rm {ft}}

.

隱式地對關係 ( $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ ) 求導，我們得到 $2x\cdot {\frac {dx}{dt}}=2r\cdot {\frac {dr}{dt}}$ （注意碼頭高度是恆定的）。將 ${\frac {dx}{dt}}={\dot {x}}$ 單獨分離

{\begin{aligned}{\dot {x}}&={\frac {r}{x}}{\dot {r}}\\&={\frac {13}{5}}\cdot 5\,{\rm {ft/s}}\\&={\textbf {13}}\,{\textbf {ft/s}}\end{aligned}}

(b) 因此，繩索與碼頭之間角度的變化率是多少？

在這種情況下，碼頭和繩索之間的夾角為

\sin(\theta )={\frac {x}{r}}={\frac {12}{13}}

。請注意，根據給定的量，

\cos(\theta )={\frac {5}{13}}

。隱式求導告訴我們

{\begin{aligned}{\dot {\theta }}\cos(\theta )&={\frac {r{\dot {x}}-x{\dot {r}}}{r^{2}}}\\{\dot {\theta }}&={\frac {r{\dot {x}}-x{\dot {r}}}{r^{2}\cos(\theta )}}\\{\dot {\theta }}&={\frac {13\cdot 13-12\cdot 13}{(13)^{2}\cdot {\frac {5}{13}}}}\\&={\frac {1}{5}}={\textbf {0.2}}\,{\textbf {rad/s}}\end{aligned}}

需要注意的是，角度在數量上是一個無量綱的量，但在上下文中，定義單位是有用的。

在這種情況下，碼頭和繩索之間的夾角為

\sin(\theta )={\frac {x}{r}}={\frac {12}{13}}

。請注意，根據給定的量，

\cos(\theta )={\frac {5}{13}}

。隱式求導告訴我們

{\begin{aligned}{\dot {\theta }}\cos(\theta )&={\frac {r{\dot {x}}-x{\dot {r}}}{r^{2}}}\\{\dot {\theta }}&={\frac {r{\dot {x}}-x{\dot {r}}}{r^{2}\cos(\theta )}}\\{\dot {\theta }}&={\frac {13\cdot 13-12\cdot 13}{(13)^{2}\cdot {\frac {5}{13}}}}\\&={\frac {1}{5}}={\textbf {0.2}}\,{\textbf {rad/s}}\end{aligned}}

需要注意的是，角度在數量上是一個無量綱的量，但在上下文中，定義單位是有用的。

30. 一位非常熱情的家長正在用攝像機拍攝你班上的一名跑步者在

100\,{\rm {m}}

比賽中的表現。這位家長將跑步者置於畫面中心，並且正在錄製距離直線跑道

2\,{\rm {m}}

的地方。你班上的跑步者以恆定的

4\,{\rm {m/s}}

速度奔跑。如果跑步者在家長直接拍攝（跑步者的運動方向和家長的視線垂直的點）後半秒鐘經過家長，那麼拍攝角度的變化率是多少？

在這種情況下，跑步者和從跑道到家長的直線之間的夾角為

\tan(\theta )={\frac {x}{2}}

。隱式求導告訴我們

{\begin{aligned}{\dot {\theta }}\sec ^{2}(\theta )&={\frac {\dot {x}}{2}}\\{\dot {\theta }}&={\frac {\dot {x}}{2\sec ^{2}(\theta )}}\\&={\frac {\dot {x}}{2}}\cos ^{2}(\theta )\end{aligned}}

注意 $\theta =\tan ^{-1}\left({\frac {x}{2}}\right)$ 。由於在直線射擊後 $x(t)=4t$ ， $x(0.5)=4\cdot 0.5=2$ 。因此，因為 $\tan ^{-1}\left(1\right)={\frac {\pi }{4}}$ ,

{\begin{aligned}{\dot {\theta }}&={\frac {4}{2}}\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}\right)\\&=2\cdot {\frac {1}{2}}={\textbf {1}}\;{\textbf {rad/s}}\end{aligned}}

需要注意的是，角度在數量上是一個無量綱的量，但在上下文中，定義單位是有用的。

在這種情況下，跑步者和從跑道到家長的直線之間的夾角為

\tan(\theta )={\frac {x}{2}}

。隱式求導告訴我們

{\begin{aligned}{\dot {\theta }}\sec ^{2}(\theta )&={\frac {\dot {x}}{2}}\\{\dot {\theta }}&={\frac {\dot {x}}{2\sec ^{2}(\theta )}}\\&={\frac {\dot {x}}{2}}\cos ^{2}(\theta )\end{aligned}}

注意 $\theta =\tan ^{-1}\left({\frac {x}{2}}\right)$ 。由於在直線射擊後 $x(t)=4t$ ， $x(0.5)=4\cdot 0.5=2$ 。因此，因為 $\tan ^{-1}\left(1\right)={\frac {\pi }{4}}$ ,

{\begin{aligned}{\dot {\theta }}&={\frac {4}{2}}\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}\right)\\&=2\cdot {\frac {1}{2}}={\textbf {1}}\;{\textbf {rad/s}}\end{aligned}}

需要注意的是，角度在數量上是一個無量綱的量，但在上下文中，定義單位是有用的。

近似問題

假設，對於這些問題，假設 $\pi \approx 3.14$ 和 $e\approx 2.718$ ，除非另有說明。可以使用計算器或設計計算機程式，但必須在必要時指示每個步驟的方法和推理。

35. 使用任何方法近似

\sin(3)

。如果您使用牛頓法或尤拉法，請最多進行三次 (3) 迭代。

這只是一個示例解決方案，並不意味著不存在其他方法。我們將使用尤拉法。為此，請用

y(x)

表示導數

f(x,y)={\frac {dy}{dx}}

。

{\frac {d}{dx}}\left[\sin(x)\right]=\cos(x)

我們知道 $\cos(x)={\sqrt {1-\sin ^{2}(x)}}$ 。由於 $y=\sin(x)$ ,

f(x,y)={\sqrt {1-y^{2}}}

.

我們將使用步長 $\Delta x=\pi -3\approx 0.14$ ，因為這樣在沒有使用計算器的情況下最容易計算。令 $y_{0}=y(\pi )$ 。

y_{1}=0+0.14f\left(\pi ,0\right)

y_{1}=0.14\cdot 1=0.14

由此，

\sin(3)\approx \mathbf {0.14}

。

這只是一個示例解決方案，並不意味著不存在其他方法。我們將使用尤拉法。為此，請用

y(x)

表示導數

f(x,y)={\frac {dy}{dx}}

。

{\frac {d}{dx}}\left[\sin(x)\right]=\cos(x)

我們知道 $\cos(x)={\sqrt {1-\sin ^{2}(x)}}$ 。由於 $y=\sin(x)$ ,

f(x,y)={\sqrt {1-y^{2}}}

.

我們將使用步長 $\Delta x=\pi -3\approx 0.14$ ，因為這樣在沒有使用計算器的情況下最容易計算。令 $y_{0}=y(\pi )$ 。

y_{1}=0+0.14f\left(\pi ,0\right)

y_{1}=0.14\cdot 1=0.14

由此，

\sin(3)\approx \mathbf {0.14}

。

36. 使用任何方法近似

{\sqrt {2}}

。如果使用牛頓法或尤拉法，請在最多 THREE (3) 次迭代中完成。

這是一個示例解決方案，並不意味著不存在其他方法。我們將使用牛頓-拉夫森法。為了使用該方法，我們需要找到一個方程，使

{\sqrt {2}}

成為該函式的根。一個明顯的例子是

f(x)=x^{2}-2

。從那裡，

f^{\prime }(x)=2x

。令

x_{0}=1

x_{1}=1-{\frac {-1}{2}}=1.5

x_{2}=1.5-{\frac {0.25}{3}}\approx 1.4167

由此，

{\sqrt {2}}\approx \mathbf {1.4167}

這是一個示例解決方案，並不意味著不存在其他方法。我們將使用牛頓-拉夫森法。為了使用該方法，我們需要找到一個方程，使

{\sqrt {2}}

成為該函式的根。一個明顯的例子是

f(x)=x^{2}-2

。從那裡，

f^{\prime }(x)=2x

。令

x_{0}=1

x_{1}=1-{\frac {-1}{2}}=1.5

x_{2}=1.5-{\frac {0.25}{3}}\approx 1.4167

由此，

{\sqrt {2}}\approx \mathbf {1.4167}

37. 使用任何方法近似

\ln(3)

。如果使用牛頓法或尤拉法，請在最多 THREE (3) 次迭代中完成。

這是一個示例解決方案，並不意味著不存在其他方法。我們將使用區域性線性近似。我們知道

\ln(e)=1

. 令

f(x)=\ln(x)

;

f^{\prime }(e)={\frac {1}{e}}

. 點

(e,1)

處的切線方程為

y={\frac {1}{e}}\left(x-e\right)+1={\frac {x}{e}}

. 因為

3-e

是一個很小的差異，我們可以假設

y\approx f(x)

. 因此

f(3)\approx {\frac {3}{e}}\approx 1.10

. 因此，使用線性化，

\ln(3)\approx \mathbf {1.10} {\text{ OR }}\mathbf {1.09}

.

這是一個示例解決方案，並不意味著不存在其他方法。我們將使用區域性線性近似。我們知道

\ln(e)=1

. 令

f(x)=\ln(x)

;

f^{\prime }(e)={\frac {1}{e}}

. 點

(e,1)

處的切線方程為

y={\frac {1}{e}}\left(x-e\right)+1={\frac {x}{e}}

. 因為

3-e

是一個很小的差異，我們可以假設

y\approx f(x)

. 因此

f(3)\approx {\frac {3}{e}}\approx 1.10

. 因此，使用線性化，

\ln(3)\approx \mathbf {1.10} {\text{ OR }}\mathbf {1.09}

.

深入理解

45. 考慮可微函式 $f(x)$ ，對所有 $x>-2$ 都有效，以及以下的連續函式 $g(x)$ ，其中， $g(x)$ 對所有 $x\geq 1$ 都是線性的，並且對所有 $x\in (-2,1)\cup (1,\infty )$ 都可微，並且 $f(x)$ 和 $g(x)$ 對所有 $x\geq -2$ 都是連續的。