微積分/引數微分

引數系統的導數

就像我們能夠對 $x$ 的函式進行微分，我們也能夠對 $x$ 和 $y$ 進行微分，它們是 $t$ 的函式。考慮

${\begin{aligned}x&=\sin(t)\\y&=t\end{aligned}}$

我們將找到 $x$ 關於 $t$ 的導數，以及 $y$ 關於 $t$ 

${\begin{aligned}x'&=\cos(t)\\y'&=1\end{aligned}}$

一般來說，如果

${\begin{aligned}x&=x(t)\\y&=y(t)\end{aligned}}$

那麼

${\begin{aligned}x'&=x'(t)\\y'&=y'(t)\end{aligned}}$

就這麼簡單。

這個過程適用於任何數量的變數。

引數方程的斜率

在上述過程中，$x'$ 僅告訴我們 $x$ 變化的速率，而不是 $y$ 的速率，反之亦然。兩者都不是斜率。

為了找到斜率，我們需要類似於 ${\frac {dy}{dx}}$ 的形式。

我們可以透過簡單的代數運算來發現一個方法。

${\frac {y'}{x'}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {dy}{dx}}$

因此，對於第 1 節中的示例，在任何時間 $t$ 

${\frac {1}{\cos(t)}}=\sec(t)$

為了找到一條垂直切線，將水平變化，或 $x'$ ，設為 0 並求解。

為了找到一條水平切線，將垂直變化，或 $y'$ ，設為 0 並求解。

如果在某個時間點 $x',y'$ 都為 0，那麼該點被稱為奇點。

引數方程的凹凸性

求解引數方程的二階導數可能比乍一看複雜得多。

當你對 ${\frac {dy}{dx}}$ 進行求導並以 $t$ 表示時，你得到的是 ${\frac {\frac {d^{2}y}{dx}}{dt}}$ 

${\frac {d}{dt}}\left[{\frac {dy}{dx}}\right]={\frac {\frac {d^{2}y}{dx}}{dt}}$ .

透過將此表示式乘以 ${\frac {dt}{dx}}$ ，我們能夠求解引數方程的二階導數。

${\frac {\frac {d^{2}y}{dx}}{dt}}\times {\frac {dt}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ .

因此，引數方程的凹凸性可以描述為

${\frac {d}{dt}}\left[{\frac {dy}{dx}}\right]\times {\frac {dt}{dx}}$

因此，對於第 1 節和第 2 節中的示例，在任意時間 $t$ 

${\frac {d}{dt}}[\csc(t)]\times \cos(t)=-\csc ^{2}(t)\times \cos(t)$