微積分/引數積分

簡介

因為大多數引數方程是以顯式形式給出的，所以它們可以像許多其他方程一樣積分。積分對於引數方程有很多應用，特別是在運動學和向量微積分中。

${\begin{aligned}x&=\int x'(t)\mathrm {d} t\\y&=\int y'(t)\mathrm {d} t\end{aligned}}$

因此，以 t 為例，

$y=\int \cos(t)\mathrm {d} t=\sin(t)+C$

弧長

考慮一個由以下定義的函式，

$x=f(t)$

$y=g(t)$

假設 $f$ 在某個區間上遞增， $[\alpha ,\beta ]$。回想一下，正如我們在上一章中推導的那樣，函式在一個區間上產生的弧的長度， $[\alpha ,\beta ]$，由以下給出，

$L=\int _{\alpha }^{\beta }{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\mathrm {d} x$

使用萊布尼茨符號可以更好地理解上述公式，

$L=\int _{\alpha }^{\beta }{\sqrt {1+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}\mathrm {d} x$

使用鏈式法則，

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} x}}$

我們就可以重新寫 $\mathrm {d} x$，

${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} t$

因此， $L$ 變為，

$L=\int _{\alpha }^{\beta }{\sqrt {1+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} t$

提取因子 $\left({\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}$，

$L=\int _{\alpha }^{\beta }{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} t$

由於 $f$ 在 $[\alpha ,\beta ]$ 上是遞增的，${\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}={\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} x}}$，因此我們可以將 $L$ 的最終表示式寫成：

$\int _{\alpha }^{\beta }{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\mathrm {d} t$

例子

以半徑為 $R$ 的圓為例，可以用以下引數方程定義：

$x=R\sin \theta$

$y=R\cos \theta$

例如，我們可以取曲線在區間 $[0,R]$ 上生成的弧的長度。用 $\theta$ 表示，

$x=0\implies \theta =\arcsin \left({\frac {0}{R}}\right)=0$

$x=R\implies \theta =\arcsin \left({\frac {R}{R}}\right)=\arcsin(1)={\frac {\pi }{2}}$

計算兩個方程的導數，

${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \theta }}=R\cos \theta$

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \theta }}=-R\sin \theta$

這意味著弧長由下式給出，

$L=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {(-R\sin \theta )^{2}+R^{2}\cos ^{2}\theta }}\mathrm {d} \theta$

根據畢達哥拉斯恆等式，

$L=R\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\mathrm {d} \theta =R{\frac {\pi }{2}}$

可以使用此結果確定給定半徑的圓的周長。因為這是一個“象限”上的弧長，所以可以將 $L$ 乘以 4 來推匯出半徑為 $R$ 的圓的周長為 $2\pi R$。