微積分/引數方程簡介

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簡介

引數方程通常由兩個方程定義，這兩個方程使用引數指定圖的 $x,y$ 座標。它們使用引數（通常是 $t$ ）來確定 $x,y$ 座標。

${\begin{aligned}x&=t\\y&=t^{2}\end{aligned}}$

注意：此引數方程等效於直角座標方程 $y=x^{2}$ 。

${\begin{aligned}x&=\cos(t)\\y&=\sin(t)\end{aligned}}$

注意：此引數方程等效於直角座標方程 $x^{2}+y^{2}=1$ 和極座標方程 $r=1$ 。

引數方程可以透過使用 $t$ 表來顯示每個 $t$ 值的 $x,y$ 值來繪製。也可以透過消去引數來繪製它們，儘管這種方法消除了引數的重要性。

引數方程可以透過三種方式描述

前兩種形式使用頻率更高，因為它們允許我們找到給定引數值下分量的值。最後一形式使用頻率較低；它允許我們驗證方程的解，或找到引數（或其某個常數倍數）。

引數方程可以透過引數形式來表示，方法是使用方程組來描述它。例如

${\begin{aligned}x&=t\\y&=t^{2}-1\end{aligned}}$

向量形式可以用來描述引數方程，類似於引數形式。在這種情況下，給出了位置向量

${\binom {x}{y}}={\binom {t}{t^{2}-1}}$

引數方程也可以用一組等式來描述。這是透過解出引數並使分量相等來完成的。例如

${\begin{aligned}x&=t\\y&=t^{2}-1\end{aligned}}$

從這裡，我們可以解出 $t$

${\begin{aligned}t&=x\\t&=\pm {\sqrt {1+y}}\end{aligned}}$

因此，將兩個等式的右側相等

$x=\pm {\sqrt {1+y}}$

將引數方程轉換為直角座標方程，有幾種常用的方法。第一種方法是解出其中一個方程的 $t$ ，然後將 $t$ 的新表示式替換到第二個方程中。

${\begin{aligned}x&=t-3\\y&=t^{3}\end{aligned}}$

$x=t-3$ 可以變成 $x+3=t$

$y=(x+3)^{3}$

${\begin{aligned}x&=3\cos(t)\\y&=4\sin(t)\end{aligned}}$

將三角函式分離出來

${\begin{aligned}\cos(t)&={\frac {x}{3}}\\\sin(t)&={\frac {y}{4}}\end{aligned}}$

使用恆等式

${\begin{aligned}&\cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)=1\\&{\frac {x^{2}}{9}}+{\frac {y^{2}}{16}}=1\end{aligned}}$