微積分/方向導數和梯度向量

方向導數

通常，一個函式關於其一個變數（比如，x_j）的偏導數，是對該函式沿x_j軸平行的那“片”求導。

更確切地說，我們可以想象在空間中沿著x_j軸切割一個函式f(x₁,...,x_n)，同時保持除x_j之外的所有變數不變。

根據定義，我們有沿該“片”在點p處的函式的偏導數為

${\partial \mathbf {f} \over \partial x_{j}}=\lim _{t\rightarrow 0}{\mathbf {f} (\mathbf {p} +t\mathbf {e} _{j})-\mathbf {f} (\mathbf {p} ) \over t}$

只要這個極限存在。

除了對應於沿著該軸求導的基向量，我們可以選擇任何方向上的向量（通常我們把它作為單位向量），我們把一個函式的方向導數定義為

${\partial \mathbf {f} \over \partial \mathbf {d} }=\lim _{t\rightarrow 0}{\mathbf {f} (\mathbf {p} +t\mathbf {d} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} ) \over t}$

其中d是方向向量。

如果我們想計算方向導數，根據極限定義來計算的話會非常麻煩，但是，我們有以下結論：如果f : Rⁿ → R 在點p處可微，|p|=1，

${\partial \mathbf {f} \over \partial \mathbf {d} }=D_{\mathbf {p} }\mathbf {f} (\mathbf {d} )$

在下一節中，我們將研究一個密切相關的公式。

梯度向量

一個標量的偏導數告訴我們，如果我們沿著一個軸移動，它會發生多少變化。如果我們朝其他方向移動會怎樣呢？

我們將這個標量稱為f，並考慮一下，如果我們朝一個無窮小的方向dr=(dx,dy,dz)移動，使用鏈式法則會發生什麼。

$\mathbf {df} =dx{\frac {\partial f}{\partial x}}+dy{\frac {\partial f}{\partial y}}+dz{\frac {\partial f}{\partial z}}$

這是dr與一個向量的點積，這個向量的分量是f的偏導數，稱為f的梯度。

$\operatorname {grad} \mathbf {f} =\nabla \mathbf {f} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {p} )}{\partial x_{1}}},\cdots ,{\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {p} )}{\partial x_{n}}}\right)$

然後我們可以透過將梯度與d進行點積來計算在點p處沿方向d的方向導數

${\partial \mathbf {f} (\mathbf {p} ) \over \partial \mathbf {d} }=\mathbf {d} \cdot \nabla \mathbf {f} (\mathbf {p} )$.

請注意，grad f 看起來像一個向量乘以一個標量。這種偏導數的特定組合很常見，因此我們將其縮寫為

$\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$

我們可以將求梯度向量的操作寫成一個“運算子”。回想一下，在一元函式情況下，我們可以寫成 d/dx 來表示對 x 求導的操作。這種情況類似，但 ∇ 就像一個向量一樣起作用。

我們也可以將求梯度向量的操作寫成

$\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},\cdots {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)$

梯度向量的性質

幾何

• Grad f(p) 是指向 f 最陡斜率方向的向量。|grad f(p)| 是該點斜率的變化率。

例如，如果我們考慮 h(x, y)=x²+y²。h 的等高線是同心圓，圓心在原點，並且

$\nabla h=(h_{x},h_{y})=2(x,y)=2\mathbf {r}$

grad h 指向遠離原點的方向，垂直於等高線。

• 沿著等高線，(∇f)(p) 垂直於等高線 {x|f(x)=f(p)} 在 x=p 處。

如果 dr 指向 f 的等高線方向，其中函式為常數，則 df 將為零。由於 df 是點積，這意味著兩個向量 df 和 grad f 必須成直角，即梯度垂直於等高線。

代數性質

和 d/dx 一樣，∇ 是線性的。對於任意一對常數 a 和 b，以及任意一對標量函式 f 和 g

${\frac {d}{dx}}(af+bg)=a{\frac {d}{dx}}f+b{\frac {d}{dx}}g\quad \nabla (af+bg)=a\nabla f+b\nabla g$

由於它是一個向量，我們可以嘗試用其他向量和它自身來進行點積和叉積。