微積分/常微分方程組

我們已經研究了只有一個微分方程的情況，並找到了幾種方法來幫助我們找到這些方程的解。但是，如果我們有兩個或多個相互依賴的微分方程會發生什麼？例如，考慮以下情況：

$D_{t}x(t)=3y(t)^{2}+x(t)t$

以及

$D_{t}y(t)=x(t)+y(t)$

這樣的微分方程組被稱為耦合的。本節將探討此類常微分方程組。

一階系統

一般形式的微分方程組可以寫成

$D_{t}\mathbf {x} =\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)$

除了用向量表示方程組外，我們還可以將每個方程顯式地寫成如下形式：

$D_{t}x_{1}=F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n},t)$

$\vdots \!\;$

$D_{t}x_{i}=F_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n},t)$

如果我們有最開始的系統，我們可以將其寫成

$D_{t}\mathbf {x} =\mathbf {G} (\mathbf {x} ,t)$

其中

$\mathbf {x} =(x(t),y(t))=(x,y)$

以及

$\mathbf {G} (\mathbf {x} ,t)=(3y^{2}+xt,x+y)$

或者像上面那樣寫出每個方程。

為什麼這些形式很重要？通常，這源於一個單一的、更高階的微分方程，該方程被轉換為系統中的更簡單形式。例如，對於同一個例子，

$D_{t}x(t)=3y(t)^{2}+x(t)t$

$D_{t}y(t)=x(t)+y(t)$

我們可以透過簡單的替換將其寫成一個更高階的微分方程。

$D_{t}y(t)-y(t)=x(t)$

然後

$D_{t}x(t)=3y(t)^{2}+(D_{t}y(t)-y(t))t$

$D_{t}x(t)=3y(t)^{2}+tD_{t}y(t)-ty(t)$

現在注意到，由於第一個分量依賴於t，所以系統的向量形式依賴於t。

$\mathbf {G} (\mathbf {x} ,t)=(3y^{2}+xt,x+y)$

但是，如果我們有

$\mathbf {H} (\mathbf {x} )=(3y^{2}+x,x+y)$

請注意，向量場不再依賴於t。我們將此類系統稱為自治系統。它們以以下形式出現

$D_{t}\mathbf {x} =\mathbf {H} (\mathbf {x} )$

我們可以透過簡單的替換（涉及t，例如y=(x, t)）在自治系統和非自治系統之間進行轉換，以得到一個系統

$D_{t}\mathbf {y} =(\mathbf {F} (\mathbf {y} ),1)=(\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t),1)$

以向量形式，我們可能能夠以線性方式分離F，得到如下形式

$\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)=A(t)\mathbf {x} +\mathbf {b} (t)$

其中A(t) 是一個矩陣，b 是一個向量。顯然，矩陣可以包含函式或常數，具體取決於矩陣是否依賴於t。