微積分/實數

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域

你可能已經熟悉了你過去經驗中的許多不同的數字集合。一些常用的數字集合是

自然數，通常用 $\mathbb {N}$ 表示，是數字 $1,2,3,\ldots$
整數，通常用 $\mathbb {Z}$ 表示，是正負自然數： $\ldots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots$
有理數，用 $\mathbb {Q}$ 表示，是整數的比值（不包括除以零）： $\left\{{\frac {p}{q}}:p,q\in \mathbb {Z} ,q\neq 0\right\}$
實數，用 $\mathbb {R}$ 表示，將在下面構造和討論。

注意，不同的數字集合具有不同的性質。例如，在整數集合中，任何數字總是有一個加法逆元：對於任何整數 $x$ ，存在另一個整數 $t$ 使得 $x+t=0$ 這應該並不令人驚訝：從基本算術我們知道 $t=-x$ 。試著證明，並非所有自然數都有加法逆元。

在數學中，注意這些數字集合的每個重要性質是有用的。有理數，在構造實數中將是主要關注的，具有以下性質

存在一個數字 0，使得對於任何其他數字

a

，

0+a=a+0=a

對於任何兩個數字

a,b

，

a+b

是另一個數字

對於任何三個數字 a,b 和 c，a+(b+c)=(a+b)+c

對於任何數字 a，存在另一個數字 -a，使得 a+(-a)=0

對於任何兩個數字 a 和 b，a+b=b+a

對於任何兩個數字 a 和 b，a*b 是另一個數字

存在一個數字 1，使得對於任何數字 a，a*1=1*a=a

對於任何兩個數字 a 和 b，a*b=b*a

對於任何三個數字 a,b 和 c，a(bc)=(ab)c

對於任意三個數 *a,b* 和 *c*, *a*(*b*+*c*)=*ab*+*ac*

對於每個數 *a*，都存在另一個數 *a*^-1 使得 aa^-1=1

如上所述，這些可能看起來很嚇人。然而，這些性質不過是從算術中得出的基本事實。任何滿足上述性質的數字集合（以及這些數字上的運算 + 和 *）被稱為 *域*。上述性質通常稱為 *域公理*。作為練習，確定整數是否構成一個域，如果不是，它們違反了哪些域公理。

儘管域公理的列表相當廣泛，但它並沒有完全探討有理數的性質。有理數也具有 *序*。*全序* 必須滿足幾個性質：對於任意數 *a*, *b* 和 *c*

如果 *a* ≤ *b* 且 *b* ≤ *a* 則 *a* = *b*（反對稱性）

如果 *a* ≤ *b* 且 *b* ≤ *c* 則 *a* ≤ *c*（傳遞性）

*a* ≤ *b* 或 *b* ≤ *a*（完全性）

為了熟悉這些性質，嘗試證明 (a) 自然數、整數和有理數都是全序的，更一般地 (b) 說服自己任何有理數集合都是全序的（注意整數和自然數都是有理數集合）。

最後，認識有理數的另一個特徵是有用的是：每個有理數都有一個要麼是迴圈的要麼是有限的十進位制展開式。這個事實的證明被省略了，但是它遵循了每個有理數作為分數的定義。當執行長除法時，任何階段的餘數只能取小於分母的正整數，這些正整數的數量是有限的。

構造實數

構造實數還需要兩個額外的工具：上界和最小上界。**定義** 一個數集 *E* 是有上界的，如果存在一個數 *m* 使得對於所有 *E* 中的 *x*，*x≤m*。任何滿足此條件的數 *m* 稱為集合 *E* 的上界。

**定義** 如果一個數集 *E* 是有上界的，並且 *m* 是 *E* 的上界，而 *E* 的所有其他上界都大於 *m*，則我們稱 *m* 為 *E* 的 *最小上界* 或 *上確界*，記為 sup *E*。

許多有理數集合沒有一個也是有理數的最小上界，儘管有些有。假設數字 5 和 10/3 一起構成 *E*。數字 5 不僅是 *E* 的上界，它也是最小上界。一般來說，存在許多上界（例如 12 是上述集合的上界），但最多隻能有一個最小上界。

考慮數集 $\{3,3.1,3.14,3.141,3.1415,\dots \}$ ：您可能認出這些小數是圓周率的前幾位數字。由於每個小數都是有限的，因此此集合中的每個數字都是有理數。此集合有無限多個上界。例如，數字 4 是一個上界。沒有最小上界，至少在有理數中沒有。嘗試透過嘗試構造這樣一個最小上界來說服自己這個事實：(a) 為什麼圓周率不能作為最小上界（提示：圓周率沒有迴圈或有限的十進位制展開式），(b) 如果提議的上確界與圓周率在某一位小數後相同，然後是零，會發生什麼 (c) 如果提議的上確界大於圓周率，您能找到一個更小的上界來解決這個問題嗎？

事實上，有無限多個有理數集合沒有有理數最小上界。我們定義一個實數為任何是某個有理數集合的最小上界的數。

實數的性質

實數是全序的。

對於所有實數； *a*, *b*, *c*

要麼 *b>a*, *b=a*, 要麼 *b<a*。

如果 *a<b* 且 *b<c* 則 *a<c*

另外

*b>a* 意味著 *b+c>a+c*

*b>a* 且 *c>0* 意味著 *bc>ac*

*b>a* 意味著 *-a>-b*

上界公理

每個非空的、有上界的實數集都具有上確界。

上界公理對於微積分是必要的。它對於有理數不成立。

我們也可以用相同的方式定義下界。

**定義** 一個集合 *E* 是有下界的，如果存在一個實數 *M* 使得對於所有 *E* 中的 *x*，*x≥M*。任何滿足此條件的 *M* 稱為集合 *E* 的下界。

**定義** 如果一個集合 *E* 是有下界的，*M* 是 *E* 的下界，而 *E* 的所有其他下界都小於 *M*，則我們稱 *M* 為 *E* 的 *最大下界* 或 *下確界*，記為 inf *E*。

有限集的上確界和下確界與其最大值和最小值相同。

定理

每個非空的、有下界的實數集都具有下確界。

證明

設 *E* 是一個非空的、有下界的實數集

設 *L* 是 *E* 的所有下界的集合

*L* 不為空，根據有下界的定義

*E* 中的每個元素都是集合 *L* 的上界，根據定義

因此，*L* 是一個非空的、有上界的集合

*L* 具有上確界，根據上界公理

1/ *E* 的每個下界都 ≤sup *L*，根據上確界的定義

假設存在一個 *E* 中的 *e* 使得 e<sup *L*

*L* 中的每個元素都 ≤e，根據定義

因此 *e* 是 *L* 的上界，且 e<sup *L*

這與上確界的定義相矛盾，因此不存在這樣的 *e*。

如果 *e*∈*E* 則 e≥sup *L*，透過反證法證明

2/ 因此，sup *L* 是 *E* 的下界

**inf *E* 存在，且等於 sup *L* **，透過將下確界的定義與第 1 行和第 2 行進行比較

界和不等式，定理： $A\subseteq B\Rightarrow \sup A\leq \sup B$ $A\subseteq B\Rightarrow \inf A\geq \inf B$ $\sup A\cup B=\max(\sup A,\sup B)$ $\inf A\cup B=\min(\inf A,\inf B)$