微積分/複數

複數

在數學中，複數是一個形如

$a+bi$ 的數

其中 $a,b$ 是實數，而 $i$ 是虛數單位，具有性質 $i^{2}=-1$ 。實數 $a$ 被稱為複數的實部，實數 $b$ 是虛部。實數可以被視為虛部為零的複數；也就是說，實數 $a$ 等同於複數 $a+0i$ 。

例如，$3+2i$ 是一個複數，實部為 3，虛部為 2。如果 $z=a+bi$ ，則實部 $a$ 用 ${\text{Re}}(z)$ 或 $\Re (z)$ 表示，虛部 $b$ 用 ${\text{Im}}(z)$ 或 $\Im (z)$ 表示。

複數可以像實數一樣進行加減乘除，並具有其他優雅的性質。例如，僅用實數無法為每個具有實係數的多項式代數方程提供解，而複數可以（這是代數基本定理）。

相等

兩個複數相等當且僅當它們的實部相等且它們的虛部相等。也就是說，$a+bi=c+di$ 當且僅當 $a=c$ 且 $b=d$ 。

符號和運算

所有複數的集合通常用 ${\rm {C}}$ 表示，或者用黑板粗體表示為 $\mathbb {C}$ （Unicode ℂ）。實數 $\mathbb {R}$ 可以被看作是“位於” $\mathbb {C}$ 中，透過將每個實數視為複數：$a=a+0i$ 。

複數的加法、減法和乘法透過正式應用代數的結合律、交換律和分配律，以及方程 $i^{2}=-1$ 來實現。

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$

$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$

$(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i$

複數的除法也可以定義（見下文）。因此，複數的集合構成一個域，與實數不同，它在代數上是封閉的。

在數學中，形容詞“複數”意味著複數域是考慮的底層數域，例如複分析、復矩陣、復多項式和復李代數。

複數域

形式上，複數可以定義為實數對 $(a,b)$ ，以及運算

$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$

$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,bc+ad)$

這樣定義的複數構成一個域，稱為複數域，記為 $\mathbb {C}$ （域是一個代數結構，其中定義了加法、減法、乘法和除法，並滿足一定的代數定律。例如，實數構成一個域）。

實數 $a$ 與複數 $(a,0)$ 等價，這樣實數域 $\mathbb {R}$ 就成為了 $\mathbb {C}$ 的一個子域。虛數單位 $i$ 可以定義為複數 $(0,1)$ ，這驗證了

$(a,b)=a\cdot (1,0)+b\cdot (0,1)=a+bi\quad {\text{and}}\quad i^{2}=(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)=-1$

在 $\mathbb {C}$ 中，我們有

• 加法單位（“零”）： $(0,0)$
• 乘法單位（“一”）： $(1,0)$
• $(a,b)$ 的加法逆元： $(-a,-b)$
• 非零 $(a,b)$ 的乘法逆元（倒數）： $\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}},-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\right)$

由於複數 $a+bi$ 由實數的有序對 $(a,b)$ 唯一確定，所以複數與平面上的點一一對應，該平面稱為複平面。

複平面

複數 $z$ 可以看作二維笛卡爾座標系中的一點或一個位置向量，該座標系稱為複平面或阿根圖。該點以及複數 $z$ 可以用笛卡爾座標（直角座標）指定。複數的笛卡爾座標分別是實部 $x={\text{Re}}(z)$ 和虛部 $y={\text{Im}}(z)$ 。用笛卡爾座標表示複數稱為該複數的笛卡爾形式或直角形式或代數形式。

極座標形式

或者，複數 $z$ 可以用極座標來表示。極座標為 $r=|z|\geq 0$ ，稱為絕對值或模數，以及 $\phi =\arg(z)$ ，稱為 $z$ 的幅角。對於 $r=0$ ，任何 $\varphi$ 都表示同一個數字。為了得到唯一的表示，通常的選擇是設定 $\arg(0)=0$ 。對於 $r>0$ ，幅角 $\varphi$ 在模 $2\pi$ 下是唯一的；也就是說，如果複數幅角的兩個值相差 $2\pi$ 的整數倍，則它們被認為是等價的。為了得到唯一的表示，通常的選擇是將 $\varphi$ 限制在區間 $(-\pi ,\pi ]$ 內，即 $-\pi <\varphi \leq \pi$ 。用極座標表示複數的形式稱為複數的極座標形式。

從極座標形式到直角座標形式的轉換

$x=r\cos(\varphi )$

$y=r\sin(\varphi )$

從直角座標形式到極座標形式的轉換

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

$\varphi ={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\text{if }}x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\text{if }}x<0,y\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\text{if }}x<0,y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0,y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0,y<0\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0,y=0\end{cases}}$

上述公式需要相當繁瑣的分類討論。然而，許多程式語言提供了反正切函式的變體。使用反餘弦函式的公式需要更少的分類討論。

$\varphi ={\begin{cases}\arccos \left({\frac {x}{r}}\right)&{\text{if }}y\geq 0,r\neq 0\\-\arccos \left({\frac {x}{r}}\right)&{\text{if }}y<0\\{\text{undefined}}&{\text{if }}r=0\end{cases}}$

極座標形式的表示法

極座標形式的表示法為

$z=r{\big (}\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ){\big )}$

被稱為三角形式。表示法 ${\text{cis}}(\varphi )$ 有時用作 $\cos(\varphi )+i\sin(\varphi )$ 的縮寫。利用 尤拉公式，它也可以寫成

$z=re^{i\varphi }$

被稱為指數形式。

極座標形式的乘法、除法、乘方和開方

在極座標形式下，乘法、除法、乘方和開方比在直角座標系中要容易得多。

利用 和差公式 可以得到

$r_{1}e^{i\varphi _{1}}\cdot r_{2}e^{i\varphi _{2}}=r_{1}r_{2}e^{i(\varphi _{1}+\varphi _{2})}$

以及

${\frac {r_{1}e^{i\varphi _{1}}}{r_{2}e^{i\varphi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\cdot e^{i(\varphi _{1}-\varphi _{2})}$

整數指數的乘方；根據 棣莫弗定理，

${\big (}re^{i\varphi }{\big )}^{n}=r^{n}e^{ni\varphi }$

任意複數的指數運算在指數運算的文章中有所討論。

兩個複數的加法就是兩個向量的加法，而乘以一個固定的複數可以看作同時進行旋轉和拉伸。

乘以$i$ 相當於逆時針旋轉 90° 或 ${\frac {\pi }{2}}$ 弧度。方程 $i^{2}=-1$ 的幾何含義是，兩次 90° 旋轉的結果是 180° ($\pi$ 弧度) 旋轉。即使是算術中的事實 $(-1)\cdot (-1)=1$，也可以從幾何上理解為兩次 180° 旋轉的組合。

任何數（實數或複數）的所有根都可以用一個簡單的演算法找到。$n$ 次根由以下公式給出：

${\sqrt[{n}]{re^{i\varphi }}}={\sqrt[{n}]{r}}\,e^{i\left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)}$

對於 $k=0,1,2,\ldots ,n-1$，其中 ${\sqrt[{n}]{r}}$ 表示 $r$ 的主 $n$ 次根。

絕對值、共軛和距離

複數 $z=re^{i\varphi }$ 的絕對值（或模數或幅度）定義為 $|z|=r$。

代數上，如果 $z=a+bi$，那麼 $|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.$

可以很容易地驗證絕對值具有三個重要性質

$|z|=0$ 當且僅當 $z=0$

$|z+w|\leq |z|+|w|$（三角不等式）

$|z\cdot w|=|z|\cdot |w|$

對於所有複數 $z,w$ 。例如，由此可以得出 $|1|=1$ 和 $\left|{\frac {z}{w}}\right|={\frac {|z|}{|w|}}$ 。透過定義 **距離** 函式 $d(z,w)=|z-w|$，我們將複數集合轉換為一個 度量空間，因此我們可以談論極限和連續性。

複數 $z=a+bi$ 的 **共軛複數** 被定義為 $a-bi$，記為 ${\bar {z}}$ 或 $z^{*}$。如圖所示， ${\bar {z}}$ 是 $z$ 關於實軸的“反射”。可以驗證以下關係

${\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}$

${\overline {z\cdot w}}={\bar {z}}\cdot {\bar {w}}$

${\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\bar {z}}{\bar {w}}}$

${\bar {\bar {z}}}=z$

${\bar {z}}=z$ 當且僅當 $z$ 是實數。

$|z|=|{\bar {z}}|$

$|z|^{2}=z\cdot {\bar {z}}$

$z^{-1}={\bar {z}}\cdot |z|^{-2}$ 如果 $z$ 非零。

當複數以直角座標給出時，後一個公式是計算複數逆的最佳方法。

共軛與所有代數運算（以及許多函式；例如 $\sin({\bar {z}})={\overline {\sin(z)}}$）的交換性源於對 $i$ 的選擇具有模糊性（−1 有兩個平方根）。然而，重要的是要注意，函式 $f(z)={\bar {z}}$ 不是復可微的。

尤拉公式

讓我們回顧一下給定函式 $y=f(x)$ 

$y=f(x)=f(0)+f'(0)\cdot x+{\frac {f''(0)\cdot x^{2}}{2!}}+{\frac {f'''(0)\cdot x^{3}}{3!}}+\cdots$

這裡，$n!$ 是 階乘 的 $n$ 。

為了寫出麥克勞林展開式，我們需要知道給定函式的一階導數、二階導數、三階導數等。我們知道的導數階數越高，展開式就越精確。因此，理想情況下，如果我們能夠知道所有階數的導數，那麼展開式將是絕對精確的。幸運的是，有一些函式的所有導數都是已知的：正弦、餘弦和指數函式 $y=e^{x}$ 是這樣三個函式的例子。

$e^{x}$ 的導數是它本身，因此 $e^{x}$ 的所有導數都是 $e^{x}$ 。

$e^{x}$ 的麥克勞林展開式是

$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots$

它對所有實數有效，因為它始終是收斂的。

$\sin(x)$ 的導數是

${\begin{aligned}&y=\sin(x)\\&y'=\cos(x)\\&y''=-\sin(x)\\&y'''=-\cos(x)\\&y^{(4)}=\sin(x)\\&y^{(5)}=\cos(x)\end{aligned}}$

五階導數與一階導數相同，因此六階導數與二階導數相同，以此類推。

$\cos(x)$ 也一樣。一階導數是 $-\sin(x)$ ，二階導數是 $-\cos(x)$ ，以此類推。

$\sin(x)$ 的麥克勞林展開式是

$\sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots$

$\cos(x)$ 的麥克勞林展開式是

$\cos(x)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots$

這些公式對所有實數都有效，因為它們總是收斂的。

但是，如果有人代入一個虛數並計算 $e^{i\cdot x}$，其中 $x$ 是實數？這聽起來可能很荒謬，無法想象，因為指數形式的虛數還沒有定義。但是，如果我們真的這樣做，我們會得到一個有趣的結果。

${\begin{aligned}e^{ix}&=1+i\cdot x+{\frac {(i\cdot x)^{2}}{2!}}+{\frac {(i\cdot x)^{3}}{3!}}+{\frac {(i\cdot x)^{4}}{4!}}+{\frac {(i\cdot x)^{5}}{5!}}+{\frac {(i\cdot x)^{6}}{6!}}+{\frac {(i\cdot x)^{7}}{7!}}+\cdots \\&=1+i\cdot x-{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {i\cdot x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {i\cdot x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {i\cdot x^{7}}{7!}}+\cdots \\&=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\&=\cos(x)+i\sin(x)\end{aligned}}$

結果是 $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$。這個等式被稱為 *尤拉公式*。

這是數學中最奇妙的公式，因為指數函式和三角函式透過虛數單位$i$ 以這種方式聯絡在一起。如前所述，$e^{ix}$ 沒有定義，但為什麼不這樣定義呢？它不違反任何數學規則，而且可能會展示一些深層數學的性質。如果我們將$x=\pi$ 代入，方程將變為

$e^{\pi i}=-1$

被稱為 *尤拉恆等式*。

許多人喜歡將尤拉恆等式寫成

$e^{\pi i}+1=0$

因為在這個公式中，我們有五個最重要的數學常數，$0,1,i,e,\pi$ 全都在一個方程式中，沒有其他任何東西。

根據同樣的推理，我們得到以下恆等式

$e^{0i}=e^{0}=1$

$e^{{\frac {\pi }{2}}i}=i$

$e^{\pi i}=-1$

$e^{{\frac {3\pi }{2}}i}=-i$

$e^{2\pi i}=1$

$e^{{\frac {5\pi }{2}}i}=i$

等等。

複數分數

我們可以用兩種方法將一個複數$a+bi$ 除以另一個複數$c+di\neq 0$。第一種方法已經暗示：將兩個複數都轉換為指數形式，從中可以很容易地得到它們的商。第二種方法是將除法表示為分數，然後用分母的複共軛乘以分子和分母。新的分母是一個實數。

${\begin{aligned}{\frac {a+bi}{c+di}}&={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}}\\&=\left({\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}\right)+\left({\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}\right)i\end{aligned}}$

複數的矩陣表示

雖然通常沒有用，但複數域的替代表示可以讓人們對其本質有所瞭解。一個特別優雅的表示將每個複數解釋為具有實數項的 2×2 矩陣，該矩陣拉伸和旋轉平面的點。每個這樣的矩陣都具有以下形式

${\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}$

其中$a,b$ 是實數。兩個此類矩陣的和與積仍然是這種形式。這種形式的每一個非零矩陣都是可逆的，它的逆矩陣也是這種形式。因此，這種形式的矩陣構成一個域。實際上，這正是複數域。每一個這樣的矩陣可以寫成

${\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}=a{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+b{\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}$

這表明我們應該將實數 1 與單位矩陣等同起來

${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

以及虛數單位$i$ 與

${\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}$

順時針旋轉 90 度。注意，後一個矩陣的平方確實等於表示 -1 的 2×2 矩陣。

以矩陣形式表示的複數的絕對值的平方等於該矩陣的行列式。

$|z|^{2}={\begin{vmatrix}a&-b\\b&a\end{vmatrix}}=(a^{2})-((-b)(b))=a^{2}+b^{2}$

如果將矩陣視為平面變換，那麼變換將點繞一個等於複數幅角的角度旋轉，並按一個等於複數絕對值的因子縮放。複數$z$的共軛對應於變換，該變換將繞與$z$相同角度但相反方向旋轉，並以與$z$相同的方式縮放；這可以用對應於$z$的矩陣的轉置來表示。

如果矩陣元素本身是複數，那麼得到的代數就是四元數的代數。換句話說，這種矩陣表示是表達凱萊-迪克森代數構造的一種方式。

練習

1) 如果$z=\exp(i\theta )\ \ {\text{prove then that}}\ \ z+{\bar {z}}=2\cos \theta .$

2) 經過 0 和 z 的直線垂直於經過 0 和 w 的直線，當  $z{\bar {w}}+w{\bar {z}}=0.$

3) 考慮旋轉變換 $T(z)\ =\ e^{i\theta }z.$。證明垂直線在變換T下仍然對映為垂直線。

4) 使用矩陣表示法計算以下兩個複數的加法、減法和乘法：$z_{1}=3+5i,z_{2}=7-12i$