微積分/雙曲角

通常的做法是將雙曲角稱為雙曲函式的自變數，如雙曲正弦 (sinh)、雙曲餘弦 (cosh) 或雙曲正切 (tanh)。那麼雙曲角問題就被指數函式的使用所迴避了。

$e^{x}\ =\ \exp(x)\ =\ \sum _{0}^{\infty }x^{n}/n!,$

以及 $\cosh x={\frac {1}{2}}(e^{x}+e^{-x}),\quad \sinh x={\frac {1}{2}}(e^{x}-e^{-x}),\quad \tanh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}.$

更令人滿意的雙曲角描述來自於與圓角的類比，圓角即所謂的“普通角”，它在圓上對應360度或2π弧度。兩種角度都可以作為由指向圓或雙曲線的徑向線所包圍的區域來發展。

首先考慮一個半徑為√2的圓，那麼圓的面積為2π，所以對於圓的任何扇形，其面積等於兩條邊界半徑之間的弧度。類似地，雙曲線 *xy* = 1 限制了雙曲線扇形，而扇形的面積就是雙曲角的大小。

當 *p* = *e* 時單位面積，正如尤拉所利用的。

圓的旋轉不會改變圓角的大小，雙曲角也有類似的不變性。考慮將正方形變換為面積相同的矩形的線性變換。這些變換可以用一個矩陣表示，矩陣的對角線上是倒數。由於雙曲線 *xy* = 常數保持不變，因此這種變換是一種“雙曲旋轉”或“擠壓對映”（考慮到正方形到相同面積矩形的性質）。

當考慮雙曲角的潛在大小時，類比就失效了。圓角是有界的，而雙曲角不是。應該回想一下調和級數，其中各項越來越小，但和卻是無界的。雙曲線及其漸近線之間的面積是無界的，雙曲角也是如此。

雙曲角的模糊性源於其起源。這個量本質上是雙曲線的求積，直到1647年格雷瓜爾·德·聖-文森特才完成這一工作。這項挑戰自亞里士多德寫下他的《拋物線的求積》以來已持續了2000年。雙曲線的求積本質上是種信念的飛躍，即一個函式可以透過其性質而不是代數表示式來定義。所識別的性質是在擠壓下面積保持不變。那麼對於一個數字 *p* > 1，雙曲線下的面積被稱為“*p* 的雙曲對數”，後來簡稱為“自然對數”。一般來說，面積是在 *x* = 1 和 *x* = *p* 之間觀察到的，但它顯然等於 (1,1) 和 ( *p*, 1/ *p* ) 之間的雙曲線扇形：只需加上三角形 {(0,0), (1,0), (1,1)}，然後減去三角形 {(0,0), ( *p*,0), ( *p*, 1/ *p*)}（它們的面積都為二分之一）。

萊昂哈德·尤拉巧妙地發展了這一主題，首先尋找一個單位面積：當 *p* = 2.71828... 時，凹陷的梯形或雙曲線扇形恰好具有一個單位面積。這個數字現在簡稱為 e。一個對角線上有 e 和 1/e 的矩陣將單位扇形變換為另一個扇形，該扇形位於 (e, 1/e) 和 (e², e⁻²) 之間，更細更長（但面積仍然為一個單位）。尤拉的方法使用這個數字作為指數的底數，類似於 10ⁿ 或 2ⁿ。微積分課程中的標準處理使用指數函式的逆函式來定義自然對數。這樣就避免了求積，也迴避了雙曲角。

快度

不同的 *t* 軸代表運動觀察者的時間，相應的 *x* 軸是他們的同時性線

對速度的樸素方法沒有上限，但宇宙的特徵是光速 c：一秒鐘一英尺，500 秒鐘一個天文單位，或者一年一個光年。這個速度是距離與時間之比很高，但它是有限的。物理學中所有速度 *v* 都位於區間 [−c, c] 內，因此 *v*/c 的值在 [−1, 1] 內。這個區間是雙曲正切函式的值域；現代運動學使用 tanh(φ) = *v*/c，其中 φ 代表快度而不是速度。雖然原始速度受 c 限制，但快度是一個雙曲角，它是無界的。在狹義相對論中，速度的變化是由雙曲旋轉完成的。由於這種變換保持了面積，因此不同參考系的快度得到了保留。在物理學教科書中，這種變換被稱為洛倫茲變換或參考系的提升。

給定兩個快度 –∞ < x,y < ∞，雙曲正切的角和公式表示了它們快度之和所產生的速度。

$\tanh(x+y)={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}.$

假設 *v* = tanh *x* 和 w = tanh *y*（使用以光速為單位表示的速度），相對論中速度之和的公式為

${\frac {v+w}{1+vw}}.$

圖中的虛線是時空中的一條光跡。綠色雙曲線是從原點開始到未來的一個時間點，取決於速度。藍色線表示 (−∞, + ∞) 中的零速率，這在雙曲旋轉的情況下是任意的。因此，在用速率建模速度時，存在著固有的 相對性原理。

分裂複數理論

上一章中的複數 C 透過負一的平方根 i（X² + 1 的根）擴充套件 R。另一個複平面 D 透過 j（X² − 1 的根）擴充套件 R。但這個二項式等於 (X + 1)(X – 1)，因此它已經“分裂”了，這與第一個二項式不同，第一個二項式透過因式分解 (X + i)(X − i) 來“分裂”。因此 C 被稱為 分裂域，而 D 被稱為“分裂複數”，因為它的二項式在 R 中已經被分裂了。

D 中的元素寫成 $z=t+xj$，其中規則為 j² = +1。請注意，jz 然後等於 x + t j，因此 j 對 D 的作用是沿直線 x = t 反射平面。z 的共軛為 ${\bar {z}}=t-xj.$

參考上面的 e^x 級數，並注意當插入引數 jx 時，奇數項包含一個 j 因子，而 j 在偶數項中消失。

$\exp(jx)=\cosh x+j\sinh x.$

因此，exp 將 D 中的 j 軸對映到一個雙曲線分支。此外，$\exp(j(a+b))=\exp(ja)\exp(jb),$ 因此 exp 是 R 上的加法群到雙曲線分支上的乘法群的群同態。實際上，exp(jx) 對雙曲線分支的作用對應於上面提到的雙曲旋轉。

D 中從 0 到 w 和 z 的線在  $z{\bar {w}}+w{\bar {z}}=0.$ 時是雙曲正交的。

分裂複平面 D 用於表示一個具有一個空間維度和一個時間維度的世界，其中單位對應於光速，因此對角線 x = t 和 x = − t 表示透過原點的光線軌跡。按照慣例，時間在垂直方向上繪製，對應於此處的 t 軸。然後透過 (1,0) 的雙曲線分支 exp(ja) 表示 0 未來發生的事件，每個事件對應於一個速率 a。

這個世界上同時發生的事件的概念用雙曲正交來表達：如果 |t| > |x|，那麼 z 相對於 0 是一個時間事件，任何與 z 雙曲正交的 w 都是與 0 同時發生的事件。

對於實數 s，透過 $z\mapsto e^{sj}z$ 的變換被稱為D 由速率 s 增強的變換。

練習

1) 對於 R 中的 a，求   j e^{a j} 的共軛。

2) 證明 e^{a j} 與   j e^{a j} 雙曲正交。

3) 繪製一個圖，其中原點為 0，軸線透過 1 和 j。此圖中的點對應於一個具有時間但只有一個空間軸的世界中的事件。使用上一練習中的分裂複數，說明一個速率，以及一條與 0 同時發生的事件線，該線對應於該速率。

4) 如果 a 和 b 是兩個速率，則證明任何增強都會將事件 $e^{aj}\ {\text{and}}\ e^{bj}$ 對映到事件，其速率之差為 b – a。

5) 如果兩條線雙曲正交，則證明這兩條線在增強下的影像也雙曲正交。（提示：參見上一章中的練習 3）