微積分/級數

簡介

級數是數列各項的和。無窮級數是無窮多個項的和（級數的實際和不一定是無窮大，正如我們將在下面看到的那樣）。

等差級數是數列各項的和，其中各項具有公差（連續項之間的差）。例如

$1+4+7+10+13+\cdots$

是一個公差為 3 的等差級數，因為 $a_{2}-a_{1}=3$, $a_{3}-a_{2}=3$，依此類推。

等比級數是各項具有公比的級數。例如，一個有趣的級數出現在科學、工程和數學中的許多實際問題中，它是等比級數 $r+r^{2}+r^{3}+r^{4}+\cdots$，其中 $\cdots$ 表示級數無限地繼續下去。研究特定級數的一種常見方法（遵循柯西）是定義一個數列，該數列包含前 $n$ 項的總和。例如，為了研究等比級數，我們可以考慮將前 n 項相加的數列

$S_{n}(r)=\sum _{i=1}^{n}r^{i}$

一般來說，透過研究部分和數列，我們可以瞭解整個無窮級數的行為。

關於級數，有兩個最重要的問題是

• 它收斂嗎？
• 如果是，它收斂到什麼？

例如，對於 $r>1$，等比級數 $S_{n}(r)$ 不會收斂到一個有限數（即它會發散到無窮大）。要看到這一點，請注意，每次我們增加級數中的項數時，$S_{n}(r)$ 會增加 $r^{n+1}$，因為對於所有 $r>1$（正如我們定義的那樣），$r^{n+1}>1$，$S_{n}(r)$ 必須在每一項增加超過 1 的數值。當每一項增加的數值都超過 1 時，它就會發散。

也許更令人驚訝和有趣的事實是，對於 $|r|<1$，$S_{n}(r)$ 會收斂到一個有限值。具體來說，可以證明

$\lim _{n\to \infty }S_{n}(r)={\frac {r}{1-r}}$

事實上，考慮數量

$(1-r)S_{n}(r)=(1-r)\sum _{i=1}^{n}r^{i}=\sum _{i=1}^{n}r^{i}-\sum _{i=2}^{n+1}r^{i}=r-r^{n+1}$

由於 $r^{n+1}\to 0$ 作為 $n\to \infty$ 對於 $|r|<1$，這表明 $(1-r)S_{n}(r)\to r$ 作為 $n\to \infty$。數量 $1-r$ 不為零並且不依賴於 $n$ 所以我們可以用它來除，從而得到我們想要的公式。

我們希望能夠對任何級數得出類似的結論。

不幸的是，沒有簡單的方法來求級數的和。在大多數情況下，我們所能做的就是確定它是否收斂。幾何級數和伸縮級數是我們唯一可以輕鬆求和的級數型別。

收斂性

很明顯，對於一個級數收斂，$a_{n}$ 必須趨於零（因為無限多個大於任何給定正數的項的和將是無窮大），但即使序列的極限為 0，這也不足以說明它收斂。

考慮調和級數，${\frac {1}{n}}$ 的和，並將項分組

${\begin{matrix}\sum \limits _{n=1}^{2^{m}}{\frac {1}{n}}&=&1+{\frac {1}{2}}&+&{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}&+&{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}&+\ \cdots &+&\sum \limits _{p=1+2^{n-1}}^{2^{n}}{\frac {1}{p}}\\\\&>&{\frac {3}{2}}&+&{\frac {2}{4}}&+&{\frac {4}{8}}&+\ \cdots &+&{\frac {2^{n-1}}{2^{n}}}\\\\&=&{\frac {3}{2}}&+&{\frac {1}{2}}&+&{\frac {1}{2}}&+\ \cdots &+&{\frac {1}{2}}\end{matrix}}$

這個最終的和包含m項。當m趨於無窮大時，和也趨於無窮大，因此級數發散。

我們也可以推斷出它發散的速度。使用相同的項分組方法，我們可以得到前若干項的和（即部分和）的上界。

$1+{\frac {m}{2}}\leq \sum _{n=1}^{2^{m}}{\frac {1}{n}}\leq 1+m$

或者

$1+{\frac {\log _{2}(m)}{2}}\leq \sum _{n=1}^{m}{\frac {1}{n}}\leq 1+\log _{2}(m)$

部分和像$\log _{2}(m)$一樣增長，速度非常慢。

比較檢驗

上面的論證，基於考慮項的上界和下界，可以修改為提供一個通用的收斂和發散檢驗方法，稱為比較檢驗（或直接比較檢驗）。它可以應用於任何具有非負項的級數

• 如果$\sum b_{n}$收斂並且$0\leq a_{n}\leq b_{n}$，則$\sum a_{n}$收斂。
• 如果$\sum b_{n}$發散並且$0\leq b_{n}\leq a_{n}$，則$\sum a_{n}$發散。

有許多這樣的收斂和發散檢驗方法，我們將在下面描述其中最重要的幾種。

絕對收斂

定理：如果絕對值序列 $\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ 收斂，那麼序列 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ 也收斂。

我們稱這樣的序列絕對收斂。

證明

令 $\epsilon >0$

根據級數收斂的柯西準則，存在 $N$ 使得對於所有 $N<m,n$ 

$\sum _{k=n}^{m}|a_{k}|<\epsilon$

我們知道

$\left|\sum _{k=n}^{m}a_{k}\right|\leq \sum _{k=n}^{m}|a_{k}|$

然後我們得到

$\left|\sum _{k=n}^{m}a_{k}\right|\leq \sum _{k=n}^{m}|a_{k}|<\epsilon$

現在我們得到

$\left|\sum _{k=n}^{m}a_{k}\right|<\epsilon$

這正是級數收斂的柯西準則。

$Q.E.D$

反過來不成立。序列 $1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots$ 收斂，即使其絕對值的序列發散。

像這樣收斂但不是絕對收斂的序列被稱為條件收斂。

如果一個序列絕對收斂，我們可以按任何順序新增項。極限仍然相同。

如果一個序列條件收斂，重新排列項會改變極限。事實上，我們可以透過選擇合適的重新排列來使序列收斂到我們想要的任何極限。

例如，在序列 $1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots$ 中，我們可以只新增正項直到部分和超過 100，然後減去 1/2，然後再只新增正項直到部分和超過 100，然後減去 1/4，以此類推，得到一個具有相同項的序列，該序列收斂到 100。

這使得絕對收斂序列更容易處理。因此，本章中除了一個之外的所有收斂性測試都是針對所有項均為正的序列，這些序列必須是絕對收斂或發散序列。其他序列將透過考慮相應的絕對值序列來研究。

比值測試

對於一個項為 $a_{n}$ 的序列，如果

$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r$

那麼

• 當 $r<1$ 時，該級數收斂（絕對收斂）
• 當 $r>1$（或 $r$ 為無窮大）時，該級數發散
• 當 $r=1$ 時，該級數可能收斂也可能發散，因此在這種情況下該檢驗不具有確定性。

例如，假設

$a_{n}={\frac {n!n!}{(2n)!}}$

那麼

${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {(n+1)^{2}}{(2n+1)(2n+2)}}={\frac {n+1}{4n+2}}\to {\frac {1}{4}}$

因此，該級數收斂。

積分檢驗

如果 $f(x)$ 是一個單調遞減的，始終為正的函式，那麼級數

$\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$

收斂當且僅當積分

$\int _{1}^{\infty }f(x)\,dx$

收斂。

例如，考慮 $f(x)={\frac {1}{x^{p}}}$，對於固定的 $p$。

• 如果 $p=1$，這就是調和級數，它發散。
• 如果 $p<1$，每一項都比調和級數更大，因此它發散。
• 如果 $p>1$，那麼

$\int _{1}^{\infty }x^{-p}dx$	$=\lim _{s\to \infty }\int _{1}^{s}x^{-p}dx$
	$=\lim _{s\to \infty }-{\frac {1}{(p-1)x^{p-1}}}{\Bigg |}_{1}^{s}$
	$=\lim _{s\to \infty }\left({\frac {1}{p-1}}-{\frac {1}{(p-1)s^{p-1}}}\right)$
	$={\frac {1}{p-1}}$

當 $p>1$ 時，積分收斂，因此級數也收斂。

我們可以透過將積分寫成以下形式來證明該測試有效：

$\int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx$

並比較每個積分與矩形，得出以下不等式：

$f(n)\geq \int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\geq f(n+1)$

將這些應用於和，就能證明收斂性。

極限比較測試

給定一個無窮級數 $\sum a_{n}$，其中所有項均為正數，如果能找到另一個無窮級數 $\sum b_{n}$，其所有項均為正數，且滿足以下條件：

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=L$

其中 $L$ 為一個正的有限值（即極限存在且不為零），那麼這兩個級數要麼都收斂，要麼都發散。也就是說：

• $\sum a_{n}$ 收斂，如果 $\sum b_{n}$ 收斂，並且
• $\sum a_{n}$ 發散，如果 $\sum b_{n}$ 發散。

例子

$a_{n}=n^{-{\frac {n+1}{n}}}$

對於較大的 $n$，此級數的項與調和級數的項類似，但比調和級數的項要小。我們比較極限。

$\lim {\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\lim {\frac {n^{-{\frac {n+1}{n}}}}{\frac {1}{n}}}=\lim {\frac {n}{n^{\frac {n+1}{n}}}}=\lim {\frac {1}{n^{\frac {1}{n}}}}=1>0$

所以這個級數發散。

交替級數

給定一個無窮級數 $\sum a_{n}$，如果 $a_{n}$ 的符號交替，即如果

$a_{n}=(-1)^{n}|a_{n}|$

對於所有 n 或

$a_{n}=(-1)^{n+1}|a_{n}|$

對於所有 $n$，那麼我們稱它為一個 交替級數。

交替級數檢驗指出這樣的級數收斂當且僅當

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$

以及

${\bigl |}a_{n+1}{\bigr |}<|a_{n}|$

（也就是說，項的大小正在減小）。

注意，這個檢驗 不能得出級數發散的結論；如果不能得出級數收斂的結論，那麼這個檢驗是不確定的，雖然其他檢驗當然可以用來給出結論。

估計交替級數的和

使用交替級數的部分和來估計無窮級數的最終和所產生的絕對誤差小於第一個被省略項的大小。

$\left|\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}-\sum _{n=1}^{m}a_{n}\right|<{\bigl |}a_{m+1}{\bigr |}$

幾何級數

幾何級數可以採用以下兩種形式之一

$\sum _{n=0}^{\infty }ar^{n}$ 或 $\sum _{n=1}^{\infty }ar^{n-1}$

正如開頭所見，等比級數的和為

$s=\lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}={\frac {a}{1-r}}\quad {\mbox{ for }}|r|<1$.

伸縮級數

$\sum _{n=0}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})$

展開（或“伸縮”）這種型別的級數是有啟發性的。如果我們展開這個級數，我們得到

$\sum _{n=0}^{k}(b_{n}-b_{n+1})=(b_{0}-b_{1})+(b_{1}-b_{2})+\cdots +(b_{k-1}-b_{k})$

加法抵消留下

$\sum _{n=0}^{k}(b_{n}-b_{n+1})=b_{0}-b_{k}$

因此，

$\sum _{n=0}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})=\lim _{k\to \infty }\sum _{n=0}^{k}(b_{n}-b_{n+1})=\lim _{k\to \infty }(b_{0}-b_{k})=b_{0}-\lim _{k\to \infty }b_{k}$

剩下的就是評估極限。

還有其他測試可以使用，但這些測試足以應對所有常見的級數。