微積分/隱函式求導

通常，你會遇到以顯式形式表達的函式，即 $y=f(x)$ 的形式。要找到 $y$ 相對於 $x$ 的導數，你對等式兩邊求導，得到

${\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}[f(x)]=f'(x)$

但假設你有一個 $f{\bigl (}x,y(x){\bigr )}=g{\bigl (}x,y(x){\bigr )}$ 的關係。在這種情況下，將 $y$ 解為 $x$ 的函式可能不方便，甚至不可能。一個很好的例子是關係 $y^{2}+2yx+3=5x$。在這種情況下，你可以利用 **隱函式求導** 來求導數。為此，對等式兩邊求導，並解出 $y'$。也就是說，形成

${\frac {d}{dx}}{\bigl [}f{\bigl (}x,y(x){\bigr )}{\bigr ]}={\frac {d}{dx}}{\big [}g{\bigl (}x,y(x){\bigr )}{\big ]}$

並解出 ${\frac {dy}{dx}}$。每當你對一個變數相對於另一個變數求導時，都需要使用鏈式法則。例如，

${\frac {d}{dx}}(y^{3})={\frac {d}{dy}}[y^{3}]\cdot {\frac {dy}{dx}}=3y^{2}\cdot y'$

隱函式求導和鏈式法則

要理解隱函式微分法並有效地使用它，重要的是要認識到其核心思想就是鏈式法則。首先讓我們回顧一下鏈式法則。假設我們有兩個可微函式 $f(x),g(x)$，我們想知道函式 $f{\bigl (}g(x){\bigr )}$ 的導數，鏈式法則指出

${\frac {d}{dx}}{\bigl [}f{\bigl (}g(x){\bigr )}{\bigr ]}=f'{\bigl (}g(x){\bigr )}\cdot g'(x)$

也就是說，我們先對 $f$ 進行正常的求導，然後代入 $g$，最後將結果乘以 $g$ 的導數。

現在假設我們要對像 $y^{2}$ 這樣的項求導，相對於 $x$ ，我們認為 $y$ 是 $x$ 的函式，所以在接下來的計算中，我們將其寫成 $y(x)$ ，而不是僅僅寫成 $y$ 。項 $y^{2}$ 只是 $f(x)=x^{2}$ 和 $y(x)$ 的複合函式。也就是說，$f{\bigl (}y(x){\bigr )}=y(x)^{2}$ 。回想一下 $f'(x)=2x$ ，那麼鏈式法則指出

${\frac {d}{dx}}{\bigl [}f{\bigl (}y(x){\bigr )}{\bigr ]}=f'{\bigl (}y(x){\bigr )}\cdot y'(x)=2y(x)y'(x)$

當然，我們通常認為 $y$ 是 $x$ 的函式，而並非總是寫成 $y(x)$ ，所以這個計算通常簡寫為

${\frac {d}{dx}}(y^{2})=2yy'$

不要因為我們還不知道 $y'$ 是什麼而感到困惑，它只是一個函式，而且經常地，如果我們對兩個相等的量求導，那麼就可以顯式地解出 $y'$ （正如我們將在下面的例子中看到的）。這使得它成為求導的一種非常強大的技術。

顯式微分

例如，假設我們對$y$ 相對於 $x$ 的導數感興趣，其中 $x,y$ 由以下等式關聯

$x^{2}+y^{2}=1$

此等式表示一個以原點為中心，半徑為 1 的圓。請注意 $y$ 不是 $x$ 的函式，因為它不滿足 垂直線測試（例如，當 $x=0$ 時，$y=\pm 1$）。

為了找到 $y'$，首先我們可以分離變數得到

$y^{2}=1-x^{2}$

兩邊開平方，我們得到 $y$ 的兩個獨立函式 

$y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}$

我們可以將其改寫為分數冪

$y=\pm (1-x^{2})^{\frac {1}{2}}$

使用鏈式法則，我們得到

$y'=\pm {\frac {(1-x^{2})^{-{\frac {1}{2}}}\cdot (-2x)}{2}}=\mp {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

簡化並代入 $y$ 到這個方程中，我們得到

$y'=-{\frac {x}{y}}$

隱函式求導

使用相同的方程

$x^{2}+y^{2}=1$

首先，對等式兩邊求導 $x$

${\frac {d}{dx}}[x^{2}+y^{2}]={\frac {d}{dx}}[1]$

${\frac {d}{dx}}[x^{2}]+{\frac {d}{dx}}[y^{2}]=0$

為了對等式左側的第二項（稱為 $f(y(x))=y^{2}$）求導，使用鏈式法則

${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}=2y\cdot y'$

所以等式變為

$2x+2yy'=0$

分離變數

$2yy'=-2x$

將等式兩邊除以 $2y$，並簡化得到與上面相同的結論

$y'=-{\frac {2x}{2y}}$

$y'=-{\frac {x}{y}}$

應用

當求導無法顯式求導的方程時，隱式求導非常有用，因為無法分離變數。

例如，考慮方程：

$x^{2}+xy+y^{2}=16$

對等式兩邊求導（記住對項 $xy$ 使用乘積法則）

$2x+y+xy'+2yy'=0$

將包含 $y'$ 的項分離

$xy'+2yy'=-2x-y$

提取公因子 $y'$ 並將等式兩邊除以另一項

$y'={\frac {-2x-y}{x+2y}}$

例子

$xy=1$

可以解為

$y={\frac {1}{x}}$

然後求導

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{x^{2}}}$

然而，使用隱函式求導也可以像這樣求導

${\frac {d}{dx}}[xy]={\frac {d}{dx}}[1]$

使用乘積法則

$x{\frac {dy}{dx}}+y=0$

解出 ${\frac {dy}{dx}}$

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {y}{x}}$

注意，如果我們將 $y={\frac {1}{x}}$ 代入 ${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {y}{x}}$，我們最終得到 ${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{x^{2}}}$。

應用：反三角函式

反正弦、反餘弦、反正切。這些函式允許你根據某個角度的正弦、餘弦或正切來確定該角度。

首先，讓我們從反正弦開始，使得

$y=\arcsin(x)$

為了找到 ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$，我們首先需要將其分解成我們可以處理的形式

$x=\sin(y)$

然後我們可以對它求導

$1=\cos(y)\cdot {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$

…並解出 ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$ 

$y=\arcsin(x)$ 給我們這個單位三角形。

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{\cos(y)}}$

在這一點上，我們需要回到單位三角形。由於 $y$ 是角度，對邊是 $\sin(y)=x$ ，鄰邊是 $\cos(y)={\sqrt {1-x^{2}}}$ ，斜邊是 1。由於我們已經根據單位三角形確定了 $\cos(y)$ 的值，我們可以將其代入上面的方程，得到

反正弦函式的導數 ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

我們可以對反餘弦函式和反正切函式使用相同的方法

反餘弦函式的導數 ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arccos(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arcsin(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

反正切函式的導數 ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$