微積分/指數和對數函式的導數

對數函式

我們首先要看無理數 $e$，以便展示它在指數和對數函式的導數中使用的特殊性質。正如在 代數部分 中提到的，$e$ 的值大約是 $e\approx 2.718282$，但它也可以計算為 無限極限

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

現在我們使用導數的形式定義來求 $\ln(x)$ 的導數

${\frac {d}{dx}}\ln(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(x+h)-\ln(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\ln \left({\frac {x+h}{x}}\right)=\lim _{h\to 0}\ln \left({\frac {x+h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}$

令 $n={\frac {x}{h}}$。注意，當 $n\to \infty$ 時，我們得到 $h\to 0$。所以我們可以將我們的極限重新定義為

$\lim _{n\to \infty }\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{\frac {n}{x}}={\frac {1}{x}}\ln \left(\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right)={\frac {1}{x}}\ln(e)={\frac {1}{x}}$

這裡我們可以將自然對數取到極限之外，因為它與極限無關（我們可以選擇不這樣做）。然後我們代入了 $e$ 的值。

自然對數的導數 ${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}$

如果需要，我們可以對一個廣義的底數重複這個過程，但更簡單的方法是使用對數的性質，並認識到

$\log _{a}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(a)}}$

由於 ${\frac {1}{\ln(a)}}$ 是一個常數，我們可以直接將其移出導數運算

${\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{\ln(a)}}\cdot {\frac {d}{dx}}\ln(x)$

這使我們得到了以下廣義形式：

對數的導數 ${\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{\ln(a)x}}$

對數導數的另一種方法是參考對數作為雙曲線 *y* = 1/*x* 的求積的原始表示式。這種方法在 § 1.8 中對微積分的擴充套件中進行了描述。

指數函式

我們將採用兩種不同的方法來求 $\ln(e^{x})$ 的導數。第一種方法是

${\frac {d}{dx}}\ln(e^{x})={\frac {d}{dx}}x=1$

第二種方法是

${\frac {d}{dx}}\ln(e^{x})={\frac {1}{e^{x}}}\left({\frac {d}{dx}}e^{x}\right)$

注意，在第二種方法中我們使用了鏈式法則。因此

${\frac {1}{e^{x}}}\left({\frac {d}{dx}}e^{x}\right)=1$

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$

因此我們證明了以下規則

指數函式的導數 ${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$

現在我們已經推匯出一個特例，讓我們擴充套件到一般情況。假設 $a$ 是一個正實常數，我們希望計算

${\frac {d}{dx}}a^{x}$

數學中最古老的技巧之一是將問題分解成我們已經知道可以處理的形式。由於我們已經確定了 $e^{x}$ 的導數，我們將嘗試將 $a^{x}$ 改寫成這種形式。

利用 $e^{\ln(c)}=c$ 和 $\ln(a^{b})=b\cdot \ln(a)$ ，我們發現

$a^{x}=e^{\ln(a)x}$

因此，我們只需應用鏈式法則

${\frac {d}{dx}}e^{\ln(a)x}=e^{\ln(a)x}\cdot {\frac {d}{dx}}[\ln(a)x]=\ln(a)a^{x}$

指數函式的導數 ${\frac {d}{dx}}a^{x}=\ln(a)a^{x}$

對數微分

我們可以利用對數的性質，特別是自然對數，來微分更復雜的函式，比如含有許多項的乘積、複合函式的商，或者指數為變數或函式的函式。我們透過對等式兩邊取自然對數，利用下面的對數定律重新排列項，然後隱式地對等式兩邊進行微分，最後乘以 $y$ 。

$\log(a)+\log(b)=\log(ab)$ $\log \left({\frac {a}{b}}\right)=\log(a)-\log(b)$ $\log(a^{n})=n\log(a)$

請參考下面的例子。

例1

現在我們將利用對數微分法證明冪法則的正確性。

${\frac {d}{dx}}\ln(x^{n})=n{\frac {d}{dx}}\ln(x)=nx^{-1}$

${\frac {d}{dx}}\ln(x^{n})={\frac {1}{x^{n}}}\cdot {\frac {d}{dx}}x^{n}$

因此

${\frac {1}{x^{n}}}\cdot {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{-1}$

${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}$

示例 2

假設我們要對以下函式進行求導 $y={\frac {(6x^{2}+9)^{2}}{\sqrt {3x^{3}-2}}}$ 我們對等式兩邊取自然對數 ${\begin{aligned}\ln(y)&=\ln \left({\frac {(6x^{2}+9)^{2}}{\sqrt {3x^{3}-2}}}\right)\\&=\ln {\big (}(6x^{2}+9)^{2}{\big )}-\ln {\big (}(3x^{3}-2)^{\frac {1}{2}}{\big )}\\&=2\ln(6x^{2}+9)-{\frac {\ln(3x^{3}-2)}{2}}\end{aligned}}$ 對等式兩邊進行隱式求導，並使用鏈式法則 ${\begin{aligned}{\frac {1}{y}}\cdot {\frac {dy}{dx}}&=2\cdot {\frac {12x}{6x^{2}+9}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {9x^{2}}{3x^{3}-2}}\\&={\frac {24x}{6x^{2}+9}}-{\frac {{\frac {9}{2}}x^{2}}{3x^{3}-2}}\\&={\frac {24x(3x^{3}-2)-{\frac {9}{2}}x^{2}(6x^{2}+9)}{(6x^{2}+9)(3x^{3}-2)}}\end{aligned}}$ 乘以 $y$ , 即原函式 ${\frac {dy}{dx}}={\frac {(6x^{2}+9)^{2}}{\sqrt {3x^{3}-2}}}\cdot {\frac {24x(3x^{3}-2)-{\frac {9}{2}}x^{2}(6x^{2}+9)}{(6x^{2}+9)(3x^{3}-2)}}$

示例 3

讓我們對以下函式進行求導 $y=x^{x}$ 對等式兩邊取自然對數 ${\begin{aligned}\ln(y)&=\ln(x^{x})\\&=x\ln(x)\end{aligned}}$ 然後我們對等式兩邊進行求導，並使用乘積法則和鏈式法則 ${\begin{aligned}{\frac {1}{y}}\cdot {\frac {dy}{dx}}&=\ln(x)+x{\frac {1}{x}}\\&=\ln(x)+1\end{aligned}}$ 將原始函式 $y$ 乘以 ${\frac {dy}{dx}}=x^{x}(\ln(x)+1)$

例 4

取一個函式 $y=x^{6\cos(x)}$ 然後 ${\begin{aligned}\ln(y)&=\ln(x^{6\cos(x)})\\&=6\cos(x)\ln(x)\end{aligned}}$ 然後我們求導 ${\frac {1}{y}}\cdot {\frac {dy}{dx}}=-6\sin(x)\ln(x)+{\frac {6\cos(x)}{x}}$ 最後乘以 $y$ ${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=y\left(-6\sin(x)\ln(x)+{\frac {6\cos(x)}{x}}\right)\\&=6x^{6\cos(x)}\left({\frac {\cos(x)}{x}}-\sin(x)\ln(x)\right)\end{aligned}}$