微積分/隱函式微分

通常情況下，你會遇到以顯式形式表達的函式，即以 $y=f(x)$ 的形式表達。為了求 $y$ 關於 $x$ 的導數，你需要對等式兩邊求關於 $x$ 的導數，得到

${\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}[f(x)]=f'(x)$

但假設你有一個形式為 $f{\bigl (}x,y(x){\bigr )}=g{\bigl (}x,y(x){\bigr )}$ 的關係。在這種情況下，將 $y$ 表示為 $x$ 的函式可能很麻煩，甚至不可能。一個很好的例子是關係式 $y^{2}+2yx+3=5x$ 。在這種情況下，你可以利用 **隱函式微分** 來求導數。為此，你需要對等式兩邊求關於 $x$ 的導數，並求解 $y'$ 。也就是說，形成

${\frac {d}{dx}}{\bigl [}f{\bigl (}x,y(x){\bigr )}{\bigr ]}={\frac {d}{dx}}{\big [}g{\bigl (}x,y(x){\bigr )}{\big ]}$

並求解 ${\frac {dy}{dx}}$ 。每當你對一個變數關於另一個變數求導時，都需要使用鏈式法則。例如，

${\frac {d}{dx}}(y^{3})={\frac {d}{dy}}[y^{3}]\cdot {\frac {dy}{dx}}=3y^{2}\cdot y'$

隱函式求導與鏈式法則

要理解隱函式求導的原理並熟練運用它，必須認識到其關鍵思想就是鏈式法則。首先讓我們回顧一下鏈式法則。假設我們有兩個可微函式 $f(x),g(x)$ ，我們感興趣的是計算函式 $f{\bigl (}g(x){\bigr )}$ 的導數，鏈式法則表明

${\frac {d}{dx}}{\bigl [}f{\bigl (}g(x){\bigr )}{\bigr ]}=f'{\bigl (}g(x){\bigr )}\cdot g'(x)$

也就是說，我們像正常一樣對 $f$ 求導，然後代入 $g$ ，最後將結果乘以 $g$ 的導數。

現在假設我們要對類似 $y^{2}$ 的項進行微分，相對於 $x$ ，我們認為 $y$ 是 $x$ 的函式，所以在這個計算的剩餘部分，我們將其寫成 $y(x)$ 而不是僅僅寫成 $y$ 。 $y^{2}$ 只是 $f(x)=x^{2}$ 和 $y(x)$ 的複合函式。也就是說， $f{\bigl (}y(x){\bigr )}=y(x)^{2}$ 。 回想一下 $f'(x)=2x$ ，那麼鏈式法則指出

${\frac {d}{dx}}{\bigl [}f{\bigl (}y(x){\bigr )}{\bigr ]}=f'{\bigl (}y(x){\bigr )}\cdot y'(x)=2y(x)y'(x)$

當然，通常我們認為 $y$ 是 $x$ 的函式，而不必總是寫成 $y(x)$ ，所以這個計算通常只寫成

${\frac {d}{dx}}(y^{2})=2yy'$

不要被我們還不知道 $y'$ 是什麼這個事實所迷惑，它是一個函式，而且通常如果我們對兩個相等的量求導，就可以顯式地解出 $y'$ （正如我們將在下面的例子中看到的）。這使得它成為求導數的一種非常強大的技術。

顯式微分

例如，假設我們對 $y$ 相對於 $x$ 的導數感興趣，其中 $x,y$ 由以下方程相關聯

$x^{2}+y^{2}=1$

這個方程表示一個以原點為中心的半徑為 1 的圓。請注意，$y$ 不是 $x$ 的函式，因為它不滿足 垂直線測試 ($y=\pm 1$ 當 $x=0$ 時，例如）。

要找到 $y'$ ，首先我們可以分離變數得到

$y^{2}=1-x^{2}$

對等式兩邊開平方根，我們得到兩個關於 $y$ 的獨立函式 

$y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}$

我們可以將其改寫為分數冪

$y=\pm (1-x^{2})^{\frac {1}{2}}$

利用鏈式法則，我們得到：

$y'=\pm {\frac {(1-x^{2})^{-{\frac {1}{2}}}\cdot (-2x)}{2}}=\mp {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

並透過將 $y$ 代回這個方程進行簡化，得到

$y'=-{\frac {x}{y}}$

隱函式微分

使用相同的方程

$x^{2}+y^{2}=1$

首先，對等式兩邊關於 $x$ 求導

${\frac {d}{dx}}[x^{2}+y^{2}]={\frac {d}{dx}}[1]$

${\frac {d}{dx}}[x^{2}]+{\frac {d}{dx}}[y^{2}]=0$

為了對等式左邊第二項（記為 $f(y(x))=y^{2}$）進行求導，可以使用鏈式法則

${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}=2y\cdot y'$

因此，該方程變為

$2x+2yy'=0$

分離變數

$2yy'=-2x$

兩邊同除以 $2y$，並簡化得到與上面相同的解

$y'=-{\frac {2x}{2y}}$

$y'=-{\frac {x}{y}}$

應用

當對無法顯式求導的方程進行求導時，隱式求導非常有用，因為無法將變數分離。

例如，考慮方程

$x^{2}+xy+y^{2}=16$

對等式兩邊進行求導（記住對項 $xy$ 使用乘積法則）

$2x+y+xy'+2yy'=0$

將包含 $y'$ 的項分離出來

$xy'+2yy'=-2x-y$

提取公因子 $y'$，並將兩邊除以另一項

$y'={\frac {-2x-y}{x+2y}}$

例子

$xy=1$

可以解為

$y={\frac {1}{x}}$

然後求導

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{x^{2}}}$

然而，使用隱式微分，也可以這樣進行微分

${\frac {d}{dx}}[xy]={\frac {d}{dx}}[1]$

使用乘積法則

$x{\frac {dy}{dx}}+y=0$

解出 ${\frac {dy}{dx}}$

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {y}{x}}$

注意，如果我們將 $y={\frac {1}{x}}$ 代入 ${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {y}{x}}$，我們將再次得到 ${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{x^{2}}}$。

應用：反三角函式

反正弦、反餘弦、反正切。這些函式允許你根據一個角的正弦、餘弦或正切來確定這個角。

首先，我們從反正弦開始，使得

$y=\arcsin(x)$

為了找到 ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$，我們需要首先把它分解成我們可以處理的形式

$x=\sin(y)$

然後我們可以對它求導

$1=\cos(y)\cdot {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$

…並解出 ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$ 

$y=\arcsin(x)$ 給我們這個單位三角形。

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{\cos(y)}}$

此時，我們需要回到單位圓三角形。由於 $y$ 是角，而對邊是 $\sin(y)=x$ ，鄰邊是 $\cos(y)={\sqrt {1-x^{2}}}$ ，斜邊是 1。 由於我們已經根據單位圓三角形確定了 $\cos(y)$ 的值，我們可以將其代回上面的方程，得到

反正弦函式的導數 ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

我們可以對反餘弦和反正切函式使用相同的步驟

反餘弦函式的導數 ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arccos(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arcsin(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

反正切函式的導數 ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$