微積分/高階導數

二階導數，或二階導數，是函式的導數的導數。 函式的導數 $f(x)$ 可以用 $f'(x)$ 表示，它的二階導數可以用 $f''(x)$ 表示。 這讀作 "$f$ 對 $x$ 的二階導數"，或"函式 $f(x)$ 的二階導數"。 因為函式 $f$ 的導數定義為表示函式 $f$ 斜率的函式，二階導數是表示一階導數函式斜率的函式。

此外，三階導數是函式的導數的導數的導數，可以用 $f'''(x)$ 表示。 這讀作 "$f$ 對 $x$ 的三階導數"，或"函式 $f(x)$ 的三階導數"。 只要得到的導數本身可微分，就可以一直繼續下去，得到四階導數、五階導數等等。 一階導數以外的任何導數都可以稱為高階導數。

符號

令 $f(x)$ 是關於 $x$ 的函式。 以下是高階導數的符號。

二階導數	三階導數	四階導數	$n$-階導數	備註
$f''(x)$	$f'''(x)$	$f^{(4)}(x)$	$f^{(n)}(x)$	這可能是最常見的符號。
${\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}$	${\frac {d^{3}f}{dx^{3}}}$	${\frac {d^{4}f}{dx^{4}}}$	${\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}$	萊布尼茲記號
${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}[f(x)]$	${\frac {d^{3}}{dx^{3}}}[f(x)]$	${\frac {d^{4}}{dx^{4}}}[f(x)]$	${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)]$	萊布尼茲記號的另一種形式
$D^{2}f$	$D^{3}f$	$D^{4}f$	$D^{n}f$	尤拉記號

警告: 你不應該寫 $f^{n}(x)$ 來表示第 $n$ 階導數，因為這很容易與 $f(x)$ 整個式子乘以 n 次冪混淆。

萊布尼茲記號，因為它精確，所以很有用，它來自

${\frac {d}{dx}}\left({\frac {df}{dx}}\right)={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}$

牛頓點記號 擴充套件到二階導數，${\ddot {y}}$，但在這種記號常用的應用中，通常不會再進一步使用。

示例

示例 1

求$f(x)=4x^{5}+6x^{3}+2x+1$ 對 $x$ 的三階導數。

重複使用冪法則 求導數。

• $f'(x)=20x^{4}+18x^{2}+2$
• $f''(x)=80x^{3}+36x$
• $f'''(x)=240x^{2}+36$

示例 2

求$f(x)=12\sin(x)+{\frac {1}{x+2}}+2x$ 對 $x$ 的三階導數。

• $f'(x)=12\cos(x)-{\frac {1}{(x+2)^{2}}}+2$
• $f''(x)=-12\sin(x)+{\frac {2}{(x+2)^{3}}}$
• $f'''(x)=-12\cos(x)-{\frac {6}{(x+2)^{4}}}$

應用

有關二階導數在求曲線凹凸性和拐點的應用，參見 “極值和拐點” 和 “極值定理”。有關高階導數在物理學中的應用，參見 “運動學” 部分。