微積分/極值和拐點

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最大值和最小值分別是函式達到最高值或最低值的點。極值（表示最大值或最小值）有兩種型別：全域性和區域性，有時分別稱為“絕對”和“相對”。全域性最大值是指在函式的整個範圍內取最大值的點，而全域性最小值是指在函式的整個範圍內取最小值的點。另一方面，區域性極值是指函式在緊鄰區域內的最大值或最小值。

在許多情況下，極值看起來像函式圖形上的山峰或碗底。全域性極值也總是區域性極值，因為它是在函式的整個範圍內取得最大值或最小值，因此也是其鄰近範圍內的最大值或最小值。函式也可以沒有極值，無論是全域性還是區域性： $y=x$ 就是一個簡單的例子。

在任何極值處，圖形的斜率必然為 0（或未定義，例如 $-|x|$ ），因為圖形必須在極值處停止上升或下降，並開始向相反方向移動。因此，極值也常稱為駐點或拐點。因此，函式的一階導數在極值處等於 0。如果圖形有一個或多個這些駐點，可以透過將一階導數設為 0 並求解所得方程的根來找到這些點。

但是，斜率為零並不保證是最大值或最小值：還存在第三類稱為鞍點的駐點。考慮函式

f(x)=x^{3}

導數為

f'(x)=3x^{2}

在 $x=0$ 處的斜率為 0。我們有一個斜率為 0 的點，但雖然這使其成為一個駐點，但這並不意味著它是最大值或最小值。檢視函式圖形你會發現 $x=0$ 既不是最大值也不是最小值，它只是一個函式變平的點。真正的極值要求一階導數的符號發生變化。這很有道理 - 你必須上升（正斜率）到最大值並下降（負斜率）從最大值。在上升和下降之間，在光滑的曲線上，會出現一個斜率為零的點 - 最大值。最小值將表現出類似的性質，只是順序相反。

這導致了一個對駐點進行分類的簡單方法 - 將 x 值稍微左移和右移代入函式的導數。如果結果的符號相反，那麼它就是一個真正的最大值/最小值。你也可以使用這些斜率來確定它是最大值還是最小值：左邊的斜率對於最大值是正的，對於最小值是負的。但是，你必須謹慎使用這種方法，因為如果你選擇的點離極值太遠，你可能會在另一個極值的另一側取點，從而錯誤地對該點進行分類。

極值測試

對駐點進行分類的一種更嚴格的方法稱為極值測試或二階導數測試。如前所述，一階導數的符號必須發生變化，駐點才能成為真正的極值。現在，函式的二階導數告訴我們一階導數的變化率。因此，如果二階導數在駐點處為正，則梯度正在增加。事實上，它是一個駐點本身意味著這隻能是一個最小值。相反，如果二階導數在該點處為負，則它是一個最大值。

現在，如果二階導數為 0，我們遇到了問題。它可能是一個拐點，也可能仍然是一個極值。下面的例子說明了這兩種情況 - 所有這些情況在所討論的駐點處都有二階導數等於 0

$y=x^{3}$ 在 $x=0$ 處有一個拐點
$y=x^{4}$ 在 $x=0$ 處有一個最小值
$y=-x^{4}$ 在 $x=0$ 處取得最大值。

然而，這不是一個無法解決的問題。我們需要做的是繼續求導，直到在第 $(n+1)$ 次導數處，在駐點獲得非零結果。

f'(x)=0\ ,\ f''(x)=0\ ,\ \ldots \ ,\ f^{(n)}(x)=0\ ,\ f^{(n+1)}(x)\neq 0

如果 $n$ 為奇數，則駐點為真正的極值點。如果第 $(n+1)$ 次導數為正，則為最小值；如果第 $(n+1)$ 次導數為負，則為最大值。如果 $n$ 為偶數，則駐點為拐點。

例如，讓我們考慮函式

f(x)=-x^{4}

現在我們求導，直到在駐點 $x=0$ 處獲得非零結果（假設我們已經像往常一樣找到了這個點）。

f'(x)=-4x^{3}

f''(x)=-12x^{2}

f'''(x)=-24x

f^{(4)}(x)=-24

因此， $n+1$ 為 4，所以 $n$ 為 3。這是一個奇數，四階導數為負，因此我們有一個最大值。請注意，所給出的方法都不能告訴您這是一個全域性極值還是區域性極值。為此，您需要將函式設定為極值的高度，然後尋找其他根。

臨界點

臨界點 是函式導數為 0 或未定義的點。假設我們想要在一個閉區間上找到一個連續函式的最大值或最小值。該函式在該區間上的極值將出現在一個或多個臨界點和/或一個或兩個端點處。我們可以用反證法證明這一點。假設函式 $f(x)$ 在區間 $(a,b)$ 的點 $x=c$ 處取得最大值，其中函式的導數已定義且不為 $0$ 。如果導數為正，則比 $c$ 略大的 $x$ 值將導致函式增加。由於 $c$ 不是端點，其中至少一些值在 $[a,b]$ 中。但這與 $f(c)$ 是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值的假設相矛盾。類似地，如果導數為負，則比 $c$ 略小的 $x$ 值將導致函式增加。由於 $c$ 不是端點，其中至少一些值在 $[a,b]$ 中。這與 $f(c)$ 是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值的假設相矛盾。對於最小值也可以進行類似的論證。

示例 1

考慮區間 $[-1,1]$ 上的函式 $f(x)=x$ 。不受限制的函式 $f(x)=x$ 沒有最大值或最小值。然而，在區間 $[-1,1]$ 上，很明顯最小值將是 $-1$ ，出現在 $=-1$ 處，最大值將是 $1$ ，出現在 $x=1$ 處。由於不存在臨界點（ $f'(x)$ 存在且處處等於 $1$ ），極值必須出現在端點處。