微積分/洛必達法則

洛必達法則

有時，我們會遇到一個極限，其結果為 ${\frac {0}{0}}$ 或 ${\frac {\infty }{\infty }}$，被稱為不定極限。然而，仍然可以透過洛必達法則來解決這些問題。這個法則在解釋其他極限如何推匯出方面至關重要。

定義：不定極限

如果 ${\frac {f(a)}{g(a)}}$ 存在，其中 $\lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}g(x)=0$ 或 $\lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}g(x)=\infty$，則極限 $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}$ 被稱為不定極限。

以下所有表示式都是不定形式。

${\frac {0}{0}},{\frac {\pm \infty }{\pm \infty }},\infty -\infty ,0\cdot \infty ,0^{0},\infty ^{0},1^{\infty }$

這些表示式被稱為不定，因為你無法在不定形式中確定它們的確切值。根據具體情況，每個不定形式都可能計算為各種不同的值。

定理

如果 $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}$ 是型別為 ${\frac {0}{0}}$ 或 ${\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}$ 的不定極限，

然後 $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$，其中 $a\in {\overline {\mathbb {R} }}$。

換句話說，如果函式的極限是不定式的，則該極限等於分子導數除以分母導數。如果 _該_ 極限也是不定式的，則可以重複使用洛必達法則，直到極限不再是 ${\frac {0}{0}}$ 或是 ${\frac {\infty }{\infty }}$。

0/0 情況的證明

假設對於實函式 $f$ 和 $g$，$\lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}g(x)=0$，並且 $\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ 存在。因此 $f'(x)$ 和 $g'(x)$ 在 $a$ 周圍的區間 $(a-\delta ,a+\delta )$ 記憶體在，但可能在 $a$ 本身不存在。因此，對於任意 $x\in (a-\delta ,a+\delta )$，在任意區間 $[x,a]$ 或 $[a,x]$ 內，$f$ 和 $g$ 是連續且可微的，除了可能在 $a$。定義

${\begin{array}{l}F(x)={\begin{cases}f(x)&x\neq a\\\lim \limits _{x\to a}f(x)&x=a\end{cases}}\\G(x)={\begin{cases}g(x)&x\neq a\\\lim \limits _{x\to a}g(x)&x=a\end{cases}}\end{array}}$

注意 $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {F(x)}{G(x)}}$，$\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {F'(x)}{G'(x)}}$，以及 $F,G$ 在任何區間 $[a,x]$ 或 $[x,a]$ 內連續，在任何區間 $(a,x)$ 或 $(x,a)$ 內可微，當 $x\in (a-\delta ,a+\delta )$ 時。

柯西中值定理（參見 3.9）告訴我們，對於某個 $c\in (a,x)$ 或 $c\in (x,a)$，有 ${\frac {F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}}={\frac {F'(c)}{G'(c)}}$。由於 $F(a)=G(a)=0$，我們有 ${\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {F'(c)}{G'(c)}}$，對於 $x,c\in (a-\delta ,a+\delta )$。

由於 $c\in (x,a)$ 或 $c\in (a,x)$，根據 夾逼定理

$\lim _{x\to a}x=a\quad \Rightarrow \quad \lim _{x\to a}c=a$

這意味著

$\lim _{x\to a}{\frac {F'(c)}{G'(c)}}=\lim _{x\to a}{\frac {F'(x)}{G'(x)}}$

所以，當 $x\to a$時，對最後一個等式取極限得到 $\lim _{x\to a}{\frac {F(x)}{G(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {F'(x)}{G'(x)}}$，這等價於更常用的形式 $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$。

例子

示例 1

求 $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}$

由於將 0 代入 x 會得到 ${\frac {0}{0}}$，使用洛必達法則對分子和分母求導，得到

$\lim _{x\to 0}{\frac {{\frac {d}{dx}}\left(\sin(x)\right)}{{\frac {d}{dx}}(x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos(x)}{1}}$

將 0 代入 x，這裡得到 1。請注意，用洛必達法則證明這個極限在邏輯上是錯誤的，因為需要使用同一個極限來證明正弦函式的導數存在：這將是迴圈論證的一種形式。證明這個極限等於一的另一種方法是使用夾逼定理。

示例 2

求 $\lim _{x\to 0}x\cot(x)$

首先，需要將函式改寫成不確定的極限分數

$\lim _{x\to 0}{\frac {x}{\tan(x)}}$

現在它是不確定的。對分子和分母求導

$\lim _{x\to 0}{\frac {1}{\sec ^{2}(x)}}$

再次將 0 代入 $x$ 得到 1。

示例 3

求 $\lim _{x\to \infty }{\frac {4x+22}{5x+9}}$

這次，將 $\infty$ 代入 x，得到 ${\frac {\infty }{\infty }}$。因此，使用洛必達法則得到

$\lim _{x\to \infty }{\frac {4}{5}}$

因此，${\frac {4}{5}}$ 是答案。

示例 4

找到$\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}$

將x的值代入極限得到

$\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=1^{\infty }$（不定式）。

設$k=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=1^{\infty }$

$\ln(k)$	$=\lim _{x\to \infty }\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}$
	$=\lim _{x\to \infty }x\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)$
	$=\lim _{x\to \infty }{\frac {\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)}{\frac {1}{x}}}={\frac {\ln(1)}{\frac {1}{x}}}={\frac {0}{0}}$

現在我們透過對$x$求分子和分母的導數來應用洛必達法則。

$\ln(k)=\lim _{x\to \infty }{\frac {\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)}{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {{\frac {d}{dx}}\left[\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)\right]}{{\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{x}}\right)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{x+1}}$

因為

$\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{x+1}}={\frac {\infty }{\infty }}$

我們再次應用洛必達法則

$\ln(k)=\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{x+1}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{1}}=1$

所以

$k=e$

並且

$\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e$

同樣地，此極限也得到相同的結果

$\lim _{x\to \infty }\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}=e$

注意

這並沒有證明 $1^{\infty }=e$，因為使用相同的方法

$\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {2}{x}}\right)^{x}=1^{\infty }=e^{2}$

練習

使用洛必達法則計算以下極限

1. $\lim _{x\to 0}{\frac {x+\tan(x)}{\sin(x)}}$

2. $\lim _{x\to \pi }{\frac {x-\pi }{\sin(x)}}$

3. $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(3x)}{\sin(4x)}}$

4. $\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{5}}{e^{5x}}}$

5. $\lim _{x\to 0}{\frac {\tan(x)-x}{\sin(x)-x}}$