微積分/鏈式法則

鏈式法則是一種計算兩個或多個函式的函式複合的導數的方法。

如果一個函式 $f$ 依賴於一個變數 $u$ ，而 $u$ 又依賴於另一個變數 $x$ ，也就是說 $f=y{\bigl (}u(x){\bigr )}$ ，那麼 $f$ 相對於 $x$ 的變化率可以計算為 $y$ 相對於 $u$ 的變化率乘以 $u$ 相對於 $x$ 的變化率。

鏈式法則 如果一個函式 $f$ 由兩個可微函式 $y(x)$ 和 $u(x)$ 複合而成，使得 $f(x)=y{\bigl (}u(x){\bigr )}$ ，那麼 $f(x)$ 是可微的，並且， ${\frac {df}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}$

該方法被稱為“鏈式法則”，因為它可以依次應用於巢狀在彼此內部的任意多個函式。 例如，如果 $f$ 是 $g$ 的函式，而 $g$ 又是一個 $h$ 的函式，而 $h$ 又是一個 $x$ 的函式，即

$f{\bigl (}g(h(x)){\bigr )}$

關於 $x$ 的 $f$ 的導數由下式給出：

${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}\cdot {\frac {dg}{dh}}\cdot {\frac {dh}{dx}}$ 等等。

一個有用的記憶方法是將微分視為可以代數抵消的個體實體，例如

${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{\cancel {dg}}}\cdot {\frac {\cancel {dg}}{\cancel {dh}}}\cdot {\frac {\cancel {dh}}{dx}}$

但是，請記住，這種技巧是透過巧妙的符號選擇實現的，而不是透過實際的代數抵消。

鏈式法則在物理學、化學和工程學中有著廣泛的應用，同時也被用於研究許多學科中的相關變化率。鏈式法則也可以推廣到多個變數的情況，其中巢狀函式依賴於多個變數。

例子

例子 I

假設一位登山者以 $0.5{\frac {km}{h}}$ 的速度攀登。氣溫隨海拔升高而降低；假設其降低率為 $6^{\circ }C$ 每公里。要計算登山者每小時感受到的氣溫下降量，將 ${\frac {6^{\circ }C}{km}}$ 乘以 $0.5{\frac {km}{h}}$，得到 ${\frac {3^{\circ }C}{h}}$。此計算是一個典型的鏈式法則應用。

例子 II

考慮函式 $f(x)=(x^{2}+1)^{3}$。根據鏈式法則，我們可以得到

$f(x)=(x^{2}+1)^{3}$	需要求導的函式
$u(x)=x^{2}+1$	定義 $u(x)$ 為內部函式
$f(x)=u(x)^{3}$	用 $u(x)$ 表示 $f(x)$
${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}$	表示此處適用的鏈式法則
${\frac {df}{dx}}={\frac {d}{du}}u^{3}\cdot {\frac {d}{dx}}(x^{2}+1)$	代入 $f(u)$ 和 $u(x)$
${\frac {df}{dx}}=3u^{2}\cdot 2x$	使用冪法則計算導數
${\frac {df}{dx}}=3(x^{2}+1)^{2}\cdot 2x$	將 $u(x)$ 用 $x$ 表示代回
${\frac {df}{dx}}=6x(x^{2}+1)^{2}$	化簡。

示例 III

為了對三角函式

$f(x)=\sin(x^{2})$

進行求導，我們可以寫成

$f(x)=\sin(x^{2})$	需要求導的函式
$u(x)=x^{2}$	定義 $u(x)$ 為內部函式
$f(x)=\sin(u)$	用 $u(x)$ 表示 $f(x)$
${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}$	表示此處適用的鏈式法則
${\frac {df}{dx}}={\frac {d}{du}}\sin(u)\cdot {\frac {d}{dx}}(x^{2})$	代入 $f(u)$ 和 $u(x)$
${\frac {df}{dx}}=\cos(u)\cdot 2x$	計算導數
${\frac {df}{dx}}=\cos(x^{2})\cdot 2x$	將 $u$ 用 $x$ 表示。

示例 IV: 絕對值

鏈式法則可以用來求導 $|x|$，即絕對值函式

$f(x)=|x|$	需要求導的函式
$f(x)={\sqrt {x^{2}}}$	等效函式
$u(x)=x^{2}$	定義 $u(x)$ 為內部函式
$f(x)=u(x)^{\frac {1}{2}}$	用 $u(x)$ 表示 $f(x)$
${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}$	表示此處適用的鏈式法則
${\frac {df}{dx}}={\frac {d}{du}}u^{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {d}{dx}}(x^{2})$	代入 $f(u)$ 和 $u(x)$
${\frac {df}{dx}}={\frac {u^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}\cdot 2x$	使用冪法則計算導數
${\frac {df}{dx}}={\frac {(x^{2})^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}\cdot 2x$	將 $u(x)$ 用 $x$ 表示代回
${\frac {df}{dx}}={\frac {x}{\sqrt {x^{2}}}}$	化簡
${\frac {df}{dx}}={\frac {x}{|x|}}$	將 ${\sqrt {x^{2}}}$ 表達為絕對值。

示例 V：三個巢狀函式

該方法被稱為“鏈式法則”，因為它可以依次應用於巢狀在彼此之內的任意多個函式。例如，如果 $f{\bigl (}g(h(x)){\bigr )}=e^{\sin(x^{2})}$，鏈式法則的依次應用會產生以下導數（我們利用了 ${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$ 的事實，這將在後面的部分中證明）。

$f(x)=e^{\sin(x^{2})}=e^{g}$	原始（最外層）函式
$h(x)=x^{2}$	將 $h(x)$ 定義為最內層函式
$g(x)=\sin(h)=\sin(x^{2})$	$g(h)=sin(h)$ 作為中間函式
${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}\cdot {\frac {dg}{dh}}\cdot {\frac {dh}{dx}}$	表示此處適用的鏈式法則
${\frac {df}{dg}}=e^{g}=e^{\sin(x^{2})}$	對 f(g) 求導
${\frac {dg}{dh}}=\cos(h)=\cos(x^{2})$	對 $g(h)$ 求導
${\frac {dh}{dx}}=2x$	對 $h(x)$ 求導
${\frac {d}{dx}}e^{\sin(x^{2})}=e^{\sin(x^{2})}\cdot \cos(x^{2})\cdot 2x$	代入鏈式法則。

物理學中的鏈式法則

由於一個物理量通常依賴於另一個物理量，而另一個物理量又依賴於其他物理量，因此鏈式法則在物理學中有著廣泛的應用。本節將介紹鏈式法則在運動學和簡諧運動中的應用例項。鏈式法則在電磁感應中也很有用。

物理學示例 I：兩輛車的相對運動學

一輛車正向北行駛，目前位於 $(0,3)$ ; 另一輛車正向西行駛，目前位於 $(4,0)$ 。可以使用鏈式法則來判斷它們是越來越近還是越來越遠。

例如，可以考慮一個運動學問題，一輛車以 80 英里/小時的速度向西行駛至十字路口，而另一輛車以 60 英里/小時的速度向北行駛遠離十字路口。可以問這兩輛車是越來越近還是越來越遠，以及當北行車距離十字路口 3 英里，而西行車距離十字路口 4 英里時，它們之間的距離變化率是多少。

核心思想：使用鏈式法則計算兩輛車之間距離的變化率。

計劃

1. 選擇座標系
2. 識別變數
3. 繪製圖形
4. 核心思想：使用鏈式法則計算兩輛車之間距離的變化率
5. 使用勾股定理將 $c$ 表示為 $x$ 和 $y$ 的表示式。
6. 使用鏈式法則將 ${\frac {dc}{dt}}$ 表示為 ${\frac {dx}{dt}}$ 和 ${\frac {dy}{dt}}$ 的表示式。
7. 代入 $x,y,{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}$
8. 化簡。

選擇座標系：令 $y$-軸指向北方，$x$-軸指向東方。

識別變數：定義 $y(t)$ 為向北行駛的車輛與原點的距離，並定義 $x(t)$ 為向西行駛的車輛與原點的距離。

使用勾股定理將 $c$ 表示為 $x$ 和 $y$ 的表示式。

$c=(x^{2}+y^{2})^{\frac {1}{2}}$

使用鏈式法則將 ${\frac {dc}{dt}}$ 表示為 ${\frac {dx}{dt}}$ 和 ${\frac {dy}{dt}}$ 

${\frac {dc}{dt}}={\frac {d}{dt}}(x^{2}+y^{2})^{\frac {1}{2}}$	對整個函式應用導數運算子
$={\frac {(x^{2}+y^{2})^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}{\frac {d}{dt}}(x^{2}+y^{2})$	函式內部是平方和
$={\frac {(x^{2}+y^{2})^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}\left[{\frac {d}{dt}}(x^{2})+{\frac {d}{dt}}(y^{2})\right]$	分配微分運算子
$={\frac {(x^{2}+y^{2})^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}\left[2x\cdot {\frac {dx}{dt}}+2y\cdot {\frac {dy}{dt}}\right]$	對 $x(t)$ 和 $y(t)$ 應用鏈式法則
$={\frac {x\cdot {\frac {dx}{dt}}+y\cdot {\frac {dy}{dt}}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$	化簡。

代入 $x=4\ mi\ ,\ y=3\ mi\ ,\ {\frac {dx}{dt}}=-80\ {\frac {mi}{h}}\ ,\ {\frac {dy}{dt}}=60\ {\frac {mi}{h}}$ 並簡化

${\frac {dc}{dt}}$	$={\frac {4\ mi\cdot \left(-80\ {\frac {mi}{h}}\right)+3\ mi\cdot \left(60\ {\frac {mi}{h}}\right)}{\sqrt {(4\ mi)^{2}+(3\ mi)^{2}}}}$
	$={\frac {-320\ {\frac {mi^{2}}{h}}+180\ {\frac {mi^{2}}{h}}}{\sqrt {25\ mi}}}$
	$={\frac {-140\ {\frac {mi^{2}}{h}}}{5\ mi}}$
	$=-28\ {\frac {mi}{h}}$

因此，兩輛車以$=28\ {\frac {mi}{h}}$ 的速度互相靠近。

物理示例二：諧振子

無阻尼的彈簧-質量系統是一個簡單的諧振子。

如果一個簡單諧振子偏離平衡位置的位移為$x$，並且在時間$t=0$ 時從其最大位移$A$ 釋放，則之後的時間位置由下式給出：

$x(t)=A\cos(\omega t)$

其中$\omega ={\frac {2\pi }{T}}$ 是角頻率，$T$ 是振盪週期。速度$v$，作為位置的一階時間導數，可以用鏈式法則計算

$v(t)={\frac {dx}{dt}}$	一維速度定義
$={\frac {d}{dt}}A\cos(\omega t)$	代入$x(t)$
$=A{\frac {d}{dt}}\cos(\omega t)$	將常數$A$ 提取到導數之外
$=A{\bigl (}-\sin(\omega t){\bigr )}\cdot {\frac {d}{dt}}(\omega t)$	對外部函式（餘弦）求導
$=-A\sin(\omega t)\cdot {\frac {d}{dt}}(\omega t)$	將負號移到前面
$=-A\sin(\omega t)\omega$	計算剩下的導數
$v(t)=-\omega A\sin(\omega t)$	化簡。

加速度是位置的二階導數，或者簡稱為 ${\frac {dv}{dt}}$ .

$a(t)={\frac {dv}{dt}}$	一維加速度的定義
$={\frac {d}{dt}}{\bigl (}-\omega A\sin(\omega t){\bigr )}$	代入 $v(t)$
$=-\omega A\cdot {\frac {d}{dt}}\sin(\omega t)$	將常數項移到導數的外面
$=-\omega A\cos(\omega t)\cdot {\frac {d}{dt}}(\omega t)$	對外部函式（正弦）求導
$=-\omega A\cos(\omega t)\omega$	計算剩下的導數
$a(t)=-\omega ^{2}A\cos(\omega t)$	化簡。

根據牛頓第二定律， ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$ ，其中 ${\vec {F}}$ 是合力， $m$ 是物體的質量。

${\vec {F}}=m{\vec {a}}$	牛頓第二定律
$=m{\bigl (}-\omega ^{2}A\cos(\omega t){\bigr )}$	將 $a(t)$ 代入
$=-m\omega ^{2}A\cos(\omega t)$	化簡
${\vec {F}}=-m\omega ^{2}x(t)$	將原始 $x(t)$ 代入。

因此可以看出，這些結果與對簡單諧振子施加的力是位移負常數倍的觀測結果一致。

化學中的鏈式法則

鏈式法則在化學中有許多應用，因為化學中的許多方程描述了某個物理量如何依賴於另一個量，而另一個量又依賴於另一個量。例如，理想氣體定律描述了壓力、體積、溫度和摩爾數之間的關係，所有這些量也可能隨時間變化。

化學示例 I：理想氣體定律

理想氣體的等溫線。曲線表示理想氣體在不同溫度下壓力和體積之間的關係：離原點越遠的曲線（即靠近圖表右上角的曲線）代表更高的溫度。

假設一個 $n$ 摩爾的理想氣體被儲存在一個等溫（恆溫，$T$）容器中，初始體積為 $V_{0}$ 。理想氣體被活塞壓縮，使其體積以恆定速率變化，使得 $V(t)=V_{0}-kt$ ，其中 $t$ 是時間。鏈式法則可以用來求壓力的變化率。 理想氣體定律可以求解壓力， $P$ ，得到

$P(t)={\frac {nRT}{V(t)}}$

其中 $P(t)$ 和 $V(t)$ 已被寫成時間的顯式函式，其他符號為常數。對兩邊求導得到

${\frac {dP(t)}{dt}}=nRT\cdot {\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{V(t)}}\right)$

其中常數項 $n,R,T$ 已經移到了導數運算子的左側。應用鏈式法則得到

${\frac {dP}{dt}}=nRT\cdot {\frac {d}{dV}}\left({\frac {1}{V(t)}}\right){\frac {dV}{dt}}=nRT\left(-{\frac {1}{V^{2}}}\right){\frac {dV}{dt}}$

其中，已使用冪法則對 ${\frac {1}{V}}$ 進行求導。由於 $V(t)=V_{0}-kt$，${\frac {dV}{dt}}=-k$。將 $V$ 和 ${\frac {dV}{dt}}$ 代入，得到 ${\frac {dP}{dt}}$。

${\frac {dP}{dt}}=-{\frac {nRTk}{(V_{0}-kt)^{2}}}$

化學例子二：氣體動理論

理想單原子氣體的溫度是其原子平均動能的量度。在 1950 個大氣壓下，氦原子的大小相對於其間距按比例顯示。原子具有特定的平均速度，這裡比室溫降低了 2 萬億倍。

鏈式法則在化學中的另一個應用是求理想氣體中平均分子速度 $v$ 隨絕對溫度 $T$ 以恆定速率增加時的變化率，使得 $T=T_{0}+at$ ，其中 $T_{0}$ 是初始溫度，而 $t$ 是時間。^[3] 氣體動理論將分子速度的 均方根 與溫度相關聯，因此如果 $v(t)$ 和 $T(t)$ 是時間的函式，

$v(t)={\sqrt {\frac {3R\cdot T(t)}{M}}}$

其中 $R$ 是理想氣體常數，而 $M$ 是分子量。

對等式兩邊關於時間求導得到

${\frac {d}{dt}}v(t)={\frac {d}{dt}}\left({\sqrt {\frac {3R\cdot T(t)}{M}}}\right)$

使用鏈式法則，以關於溫度 $T$ 和時間 $t$ 分別表示右側，得到

${\frac {dv}{dt}}={\frac {d}{dT}}\left({\sqrt {\frac {3RT}{M}}}\right)\cdot {\frac {dT}{dt}}$

計算關於溫度 $T$ 的導數得到

${\frac {dv}{dt}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {M}{3RT}}}\cdot {\frac {d}{dT}}\left({\frac {3RT}{M}}\right)\cdot {\frac {dT}{dt}}$

對剩餘的關於$T$ 的導數進行求解，取負次冪的倒數，並將$T=T_{0}+at$ 代入，得到

${\frac {dv}{dt}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {M}{3R(T_{0}+at)}}}\cdot {\frac {3R}{M}}\cdot {\frac {d}{dt}}\left(T_{0}+at\right)$

對關於$t$ 的導數進行求解，得到

${\frac {dv}{dt}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {M}{3R(T_{0}+at)}}}\cdot {\frac {3R}{M}}a$

簡化為

${\frac {dv}{dt}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {\frac {3R}{M(T_{0}+at)}}}$

鏈式法則證明

假設 $y$ 是 $u$ 的函式，而 $u$ 又 是 $x$ 的函式（假設 $y$ 在 $u$ 和 $x$ 處可微分，而 $u$ 在 $x$ 處可微分）。為了證明鏈式法則，我們使用導數的定義。

${\frac {dy}{dx}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

現在，我們將 ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ 乘以 ${\frac {\Delta u}{\Delta u}}$ ，並進行一些代數運算。

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta u}}\cdot {\frac {\Delta u}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta u}}\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta u}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta u}}\cdot {\frac {du}{dx}}$

請注意，當 $\Delta x$ 趨近於 $0$ 時，$\Delta u$ 也趨近於 $0$ 。因此，當 $\Delta x$ 趨近於 $0$ 時，對一個函式求極限與當 $\Delta u$ 趨近於 $0$ 時，對這個函式求極限是一樣的。因此

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta u}}=\lim _{\Delta u\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta u}}={\frac {dy}{du}}$

所以我們有

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}$

練習

1. 求 $f'(x)$ 的值，如果 $f(x)=(x^{2}+5)^{2}$ ，首先透過展開和直接求導，然後透過對 $f{\bigl (}u(x){\bigr )}=u^{2}$ 應用鏈式法則，其中 $u=x^{2}+5$ 。比較答案。

2. 使用鏈式法則求導數 $y={\sqrt {1+x^{2}}}$， 令 $y={\sqrt {u}}$ 和 $u=1+x^{2}$。

解答

外部連結

• http://calculusapplets.com/chainrule.html