微積分/三角函式的導數

正弦、餘弦、正切、餘割、正割、餘切。這些函式在數學和工程學中不斷出現，並且有很多實際應用。它們也出現在更高階的數學中，特別是在處理複數的線積分以及球面座標系和柱面座標系等空間的替代表示時。

我們使用導數的定義，即

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$ ,

來計算出前兩個。

讓我們使用上述定義找到 sin(x) 的導數。

$f(x)=\sin(x)$
$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(x+h)-\sin(x)}{h}}$	導數的定義
$=\lim _{h\to 0}{\frac {\cos(x)\sin(h)+\cos(h)\sin(x)-\sin(x)}{h}}$	三角恆等式
$=\lim _{h\to 0}{\frac {\cos(x)\sin(h)+(\cos(h)-1)\sin(x)}{h}}$	因式分解
$=\lim _{h\to 0}{\frac {\cos(x)\sin(h)}{h}}+\lim _{h\to 0}{\frac {(\cos(h)-1)\sin(x)}{h}}$	項的分解
$=\cos(x)\times 1+\sin(x)\times 0$	極限的應用
$=\cos(x)$	解

現在是 cos(x) 的情況。

$f(x)=\cos(x)$
$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\cos(x+h)-\cos(x)}{h}}$	導數的定義
$=\lim _{h\to 0}{\frac {\cos(x)\cos(h)-\sin(h)\sin(x)-\cos(x)}{h}}$	三角恆等式
$=\lim _{h\to 0}{\frac {\cos(x)(\cos(h)-1)-\sin(x)\sin(h)}{h}}$	因式分解
$=\lim _{h\to 0}{\frac {\cos(x)(\cos(h)-1)}{h}}-\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(x)\sin(h)}{h}}$	項的分解
$=\cos(x)\times 0-\sin(x)\times 1$	極限的應用
$=-\sin(x)$	解

因此，我們已經證明了

正弦和餘弦的導數 ${\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)$ ${\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)$

要找到正切的導數，我們只需記住

$\tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}$

這是一個商。應用商法則，我們得到

${\frac {d}{dx}}\tan(x)={\frac {\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}$

然後，記住 $\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1$ ，我們簡化

${\frac {\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}$	$={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}$
	$=\sec ^{2}(x)$

正切的導數 ${\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)$

對於正割函式，我們再次使用商法則。

$\sec(x)={\frac {1}{\cos(x)}}$

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sec(x)&={\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\cos(x)}}\\&={\frac {\cos(x){\frac {d1}{dx}}-1{\frac {d\cos(x)}{dx}}}{\cos(x)^{2}}}\\&={\frac {\cos(x)0-1(-\sin(x))}{\cos(x)^{2}}}\end{aligned}}$

最終得到

${\frac {d}{dx}}\sec(x)={\frac {\sin(x)}{\cos ^{2}(x)}}$

化簡後得到

正割函式的導數 ${\frac {d}{dx}}\sec(x)=\sec(x)\tan(x)$

對餘割函式使用相同的方法

$\csc(x)={\frac {1}{\sin(x)}}$

我們得到

餘割函式的導數 ${\frac {d}{dx}}\csc(x)=-\csc(x)\cot(x)$

對餘切函式使用與正切函式相同的方法，我們得到

餘切函式的導數 ${\frac {d}{dx}}\cot(x)=-\csc ^{2}(x)$