微積分/乘積與商法則

乘積法則

當我們想要對更復雜的表示式，例如

$h(x)=(x^{2}+5x+7)(x^{3}+2x-4)$

進行微分時，我們唯一的方法（到目前為止）是將該表示式展開得到一個多項式，然後對該多項式進行微分。這種方法在手工計算時會變得非常複雜，並且容易出錯。初學者可能會猜測乘積的導數等於導數的乘積，類似於和差法則，但這並不正確。為了對乘積進行微分，我們使用乘積法則。

乘積的導數（乘積法則） ${\frac {d}{dx}}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$

它也可以表示為

$(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'$

或者用萊布尼茲符號表示為

${\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v)=u\cdot {\dfrac {dv}{dx}}+v\cdot {\dfrac {du}{dx}}$

三個函式乘積的導數為

${\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v\cdot w)={\dfrac {du}{dx}}\cdot v\cdot w+u\cdot {\dfrac {dv}{dx}}\cdot w+u\cdot v\cdot {\dfrac {dw}{dx}}$ .

由於兩個或多個函式的乘積在許多物理現象的數學模型中出現，因此乘積法則在物理、化學和工程中有著廣泛的應用。

示例

• 假設我們想要對 $f(x)=x^{2}\sin(x)$ 進行微分。透過使用乘積法則，我們可以得到導數 $f'(x)=2x\sin(x)+x^{2}\cos(x)$ （因為 ${\frac {d}{dx}}(x^{2})=2x$ 以及 ${\frac {d}{dx}}(\sin(x))=\cos(x)$）。
• 乘積法則的一個特例是**常數倍乘法則**，它指出：如果$c$ 是一個實數，並且$f(x)$ 是一個可微函式，則$c\cdot f(x)$ 也是可微的，它的導數是$(c\cdot f)'(x)=c\cdot f'(x)$。這從乘積法則得出，因為任何常數的導數為0。這與導數的和法則相結合，表明微分是線性的。

物理示例一：電磁感應

法拉第電磁感應定律指出，感應電動勢等於穿過導電迴路的磁通量的時間變化率的負值。

${\mathcal {E}}=-{\frac {d\Phi _{B}}{dt}}$

其中${\mathcal {E}}$ 是以伏特為單位的電動勢，Φ_B 是以韋伯為單位的磁通量。對於面積為 A 的迴路，在磁場 B 中，磁通量由以下公式給出：

$\Phi _{B}=B\cdot A\cdot \cos(\theta )$

其中 θ 是迴路法線與磁場方向之間的夾角。

對磁通量關於時間求負導數，得到電動勢為：

${\begin{aligned}{\mathcal {E}}&=-{\frac {d}{dt}}{\big (}B\cdot A\cdot \cos(\theta ){\big )}\\&=-{\frac {dB}{dt}}\cdot A\cos(\theta )-B\cdot {\frac {dA}{dt}}\cos(\theta )-B\cdot A{\frac {d}{dt}}\cos(\theta )\\\end{aligned}}$

在許多實際應用中，只有一個變數（A、B 或 θ）在變化，因此三個項中的兩個項通常為 0。

物理示例二：運動學

一個粒子在數軸上相對於固定點 O 的位置是$4t^{3}\sin(t)\sec ^{2}(t)$，其中$t$ 表示時間。它在$t=7$ 相對於 O 的瞬時速度是多少？距離以米為單位，時間以秒為單位。

答案

注意：要解決此問題，我們需要來自下一節的一些“工具”。

我們可以將函式簡化為 $4t^{3}\tan(t)\sec(t)$，因為 ($\sin(t)\sec(t)=\tan(t)$)

$v(t)={\frac {d}{dt}}{\Big [}4t^{3}\tan(t)\sec(t){\Big ]}=\tan(t)\sec(t)\cdot {\frac {d}{dt}}[4t^{3}]+4t^{3}\sec(t)\cdot {\frac {d}{dt}}[\tan(t)]+4t^{3}\tan(t)\cdot {\frac {d}{dt}}[\sec(t)]$

$=12t^{2}\tan(t)\sec(t)+4t^{3}\sec ^{3}(t)+4t^{3}\tan ^{2}(t)\sec(t)$

將 $t=7$ 代入我們的速度函式

$v(7)=12(7)^{2}\tan(7)\sec(7)+4(7)^{3}\sec ^{3}(7)+4(7)^{3}\tan ^{2}(7)\sec(7)=1496.72\ {\frac {m}{s}}$（保留兩位小數）。

乘積法則證明

證明該規則相對直接；首先，我們給出導數的方程

${\frac {d}{dx}}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h}}$

然後我們將應用一個最古老的技巧——在中間新增一個自相抵消的項

${\frac {d}{dx}}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)\cdot g(x+h)-{\color {blue}f(x+h)\cdot g(x)+f(x+h)\cdot g(x)}-f(x)\cdot g(x)}{h}}$

請注意，這些項之和為0，因此我們只是在方程式中加了0。現在我們可以將方程式分解為我們已經知道如何求解的形式

${\frac {d}{dx}}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x+h)\cdot g(x)}{h}}+{\frac {f(x+h)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x)}{h}}\right]$

觀察這個，我們看到我們可以從分子中分解出共同項得到

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}&=\lim _{h\to 0}\left[f(x+h)\cdot {\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}+g(x)\cdot {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right]\\&=\lim _{h\to 0}\left[f(x+h)\cdot {\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right]+\lim _{h\to 0}\left[g(x)\cdot {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right]\\&=\lim _{h\to 0}f(x+h)\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}+\lim _{h\to 0}g(x)\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\end{aligned}}$

當我們取極限時，它會變成

${\frac {d}{dx}}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}=f(x)\cdot g'(x)+f'(x)\cdot g(x)$ ，或者用記憶方法“一D二加二D一”。

這可以擴充套件到 3 個函式

${\frac {d}{dx}}[f\cdot g\cdot h]=f(x)g(x)h'(x)+f(x)g'(x)h(x)+f'(x)g(x)h(x)$

對於任意數量的函式，它們的乘積的導數是每個函式的導數乘以其他函式的總和。

回到我們最初的乘積示例， $h(x)=(x^{2}+5x+7)(x^{3}+2x-4)$ ，我們透過乘積法則發現導數是

$h'(x)=(x^{2}+5x+7)(3x^{2}+2)+(2x+5)(x^{3}+2x-4)=5x^{4}+20x^{3}+27x^{2}+12x-6$

請注意，它的導數將不是

${\color {red}(2x+5)(3x^{2}+2)=6x^{3}+15x^{2}+4x+10}$

這是你假設乘積的導數是導數的乘積時會得到的。

為了應用乘積法則，我們將第一個函式乘以第二個函式的導數，然後加上第一個函式的導數乘以第二個函式。有時記住這句話“第一個乘以第二個的導數加上第二個乘以第一個的導數”會有所幫助。

概括

萊布尼茲給出了乘積的 n 次導數的以下推廣；

$(f(x)g(x))^{(n)}=\sum _{i=0}^{n}\left({\begin{matrix}n\\i\end{matrix}}\right)f^{(n-i)}(x)g^{(i)}(x)$

其中 $\left({\begin{matrix}n\\i\end{matrix}}\right)$ 是二項式係數，也可以寫成 $n{\text{ choose }}i$ 或 ${}_{n}C_{i}$。

商法則

商的導數也有類似的規則。為了證明它，我們回到導數的定義

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]&=\lim _{h\to 0}{\dfrac {{\dfrac {f(x+h)}{g(x+h)}}-{\dfrac {f(x)}{g(x)}}}{h}}\\\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x+h)}{h\cdot g(x)\cdot g(x+h)}}\\\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)\cdot g(x)-{\color {blue}f(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g(x)}-f(x)\cdot g(x+h)}{h\cdot g(x)\cdot g(x+h)}}\\\\&=\lim _{h\to 0}{\dfrac {g(x)\cdot {\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}-f(x)\cdot {\dfrac {g(x+h)-g(x)}{h}}}{g(x)\cdot g(x+h)}}\\\\&={\dfrac {\lim \limits _{h\to 0}\left[g(x)\cdot {\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}-f(x)\cdot {\dfrac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right]}{\lim \limits _{h\to 0}{\Big [}g(x)\cdot g(x+h){\Big ]}}}\\\\&={\dfrac {\lim \limits _{h\to 0}\left[g(x)\cdot {\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right]-\lim \limits _{h\to 0}\left[f(x)\cdot {\dfrac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right]}{\lim \limits _{h\to 0}{\Big [}g(x)\cdot g(x+h){\Big ]}}}\\\\&={\dfrac {\lim \limits _{h\to 0}g(x)\cdot \lim \limits _{h\to 0}{\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}-\lim \limits _{h\to 0}f(x)\cdot \lim \limits _{h\to 0}{\dfrac {g(x+h)-g(x)}{h}}}{\lim \limits _{h\to 0}g(x)\cdot \lim \limits _{h\to 0}g(x+h)}}\\\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}\end{aligned}}$

這導致了所謂的“商法則”

商的導數（商法則） ${\frac {d}{dx}}\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]={\frac {g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}$

有些人用助記符來記住這條規則：“低 D-高 減 高 D-低，平方底部，然後我們走！”

示例

${\frac {4x-2}{x^{2}+1}}$ 的導數是

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {4x-2}{x^{2}+1}}\right]&={\frac {(4)(x^{2}+1)-(2x)(4x-2)}{(x^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {(4x^{2}+4)-(8x^{2}-4x)}{(x^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {-4x^{2}+4x+4}{(x^{2}+1)^{2}}}\end{aligned}}$

記住：乘積/商的導數不是導數的乘積/商。（也就是說，微分不滿足乘法或除法的分配律。）但是可以在求導之前進行分配。也就是說 ${\frac {d}{dx}}{\big (}(a+b)\times (c+d){\big )}={\frac {d}{dx}}(ac+ad+bc+bd)$