微積分/極值定理

極值定理

如果f是一個連續函式，在區間[$a,b$]上封閉，那麼f在該區間上同時具有最小值和最大值。

這引入了我們關於全域性極值和區域性極值的概念。（分別也稱為絕對極值或相對極值。）

這是為什麼呢？讓我們舉個例子。

$f(x)=x^{2}$，並在區間[-1,2]上封閉。找出所有極值。

${\frac {dy}{dx}}=2x$

在(0,0)處存在一個臨界點（導數為零的點）。為了練習，讓我們用二階導數檢驗來評估它是否是極小值或極大值。（你應該從圖中知道它是極小值。）

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=2$

$f''(c)>0$，因此它一定是極小值。

如前所述，可以在封閉區間上找到全域性極值。如何找到呢？評估區間端點處的y座標，並將它與臨界點的y座標進行比較。在封閉區間上尋找極值時，它被稱為區域性極值；而在整個圖形上尋找極值時，它被稱為全域性極值。

1: 臨界點: (0,0) 這是區間內最低的值。因此，它是區域性極小值，同時也是全域性極小值。

2: 左端點 (-1, 1) 這個點既不是臨界點，也不是最高/最低值，因此它不屬於任何類別。

3: 右端點 (2, 4) 這是區間內最高的值，因此它是區域性極大值。

這個例子是為了向你展示極值定理。關鍵點是：在一個封閉區間上，函式將同時具有極小值和極大值。但是，如果該區間是所有實數的開放區間，那麼(0,0)將是一個區域性極小值。在封閉區間上，始終記得評估端點以獲得全域性極值。

一階導數檢驗

回想一下，函式的一階導數描述了函式圖形上每個點的斜率，只要函式在該點被定義並可微分。

遞增/遞減

• 如果 $f'(x)<0\$，那麼 $f(x)\$ 正在遞減。

• 如果 $f'(x)>0\$，那麼 $f(x)\$ 正在遞增。

區域性極值

• 如果 ${\frac {dy}{dx}}|_{x=c}=f'(c)=0$ 且 $f'(x)\$ 在 $x=c\$ 處改變符號，那麼在 $x=c\$ 處存在一個區域性極值。

• 如果 $f'(x)<0\$ 對於 $x<c\$ 且 $f'(x)>0\$ 對於 $x>c\$，那麼 $f(c)\$ 是一個區域性最小值。

• 如果 $f'(x)>0\$ 對於 $x<c\$ 且 $f'(x)<0\$ $x>c\$，那麼 $f(c)\$ 是一個區域性最大值。

例 1

Let $f(x)=3x^{2}+4x-5\$. Find all local extrema.

• 求 ${\frac {dy}{dx}}$

$f(x)=3x^{2}+4x-5\$

$f'(x)=6x+4\$

• 令 ${\frac {dy}{dx}}=0$ 來尋找區域性極值。

$6x+4=0\$

$6x=-4\$

$x=-{\frac {2}{3}}$

• 確定在 $x=-{\frac {2}{3}}$ 處是否存在區域性最小值或最大值。

選擇一個比 $-{\frac {2}{3}}$ 小的x值

$f'(-1)=6(-1)+4=-2<0\$

選擇一個比 $-{\frac {2}{3}}$ 大的x值

$f'(1)=6(1)+4=10>0\$

因此，在 $x=-{\frac {2}{3}}$ 處存在區域性最小值，因為 $f'(-{\frac {2}{3}})=0$ 並且 $f'(x)\$ 在 $x=-{\frac {2}{3}}$ 處改變符號。

Answer: local minimum: $x=-{\frac {2}{3}}$.

二階導數測試

回顧一下，函式的二階導數描述了該函式圖形的凹凸性。

• 如果 ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}|_{x=c}=f''(c)=0$ 並且 $f''(c)\$ 在 $x=c\$ 處改變符號，則在 $x=c\$ 處存在拐點（凹凸性改變）。

• 如果 $f''(x)<0\$，則 $f(x)\$ 的圖形是凹向下的。

• 如果 $f''(x)>0\$，則 $f(x)\$ 的圖形是凹向上的。

示例 2

Let $f(x)=x^{3}+2x+7\$.  Find any points of inflection on the graph of $f(x)\$.

• 求 ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$.

$f(x)=x^{3}+2x+7\$

$f'(x)=3x^{2}+2\$

$f''(x)=6x\$

• 令 ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0$.

$6x=0\$

$x=0\$

• 確定 $f''(x)\$ 在 $x=0\$ 處是否改變符號。

選擇一個小於 0 的 x 值。

$f''(-1)=6(-1)=-6<0\$

選擇一個大於 0 的 x 值。

$f''(1)=6(1)=6>0\$

因此，在 $x=0\$ 處存在拐點，因為 $f''(0)=0\$ 且 $f''(x)\$ 在 $x=0\$ 處改變符號。

Answer: point of inflection: $x=0\$.