微積分/羅爾定理

羅爾定理

如果一個函式，$f(x)\$，在閉區間$[a,b]\$上連續，在開區間$(a,b)\$上可微，且$f(a)=f(b)\$，那麼在區間$(a,b)\$中至少存在一個數 c，使得$f'(c)=0\ .$

羅爾定理在證明均值定理中很重要。

示例

示例

$f(x)=x^{2}-3x$。證明羅爾定理在這個函式中某個地方成立。為此，計算x截距，並將這些點用作你的區間。

解決方案

1: 問題希望我們使用x截距作為我們區間的端點。

將表示式因式分解得到$x(x-3)=0$。x = 0 和x = 3 是我們的兩個端點。我們知道f(0) 和f(3) 相同，因此滿足羅爾定理的第一部分 (f(a) = f(b))。

2: 現在根據羅爾定理，我們知道在這些點之間，斜率將為零。在哪裡？很簡單：求導數。

$dy \over dx$ $=2x-3$

因此，在$x=3/2$處，我們有一個斜率為零的位置。我們知道$3/2$（或 1.5）位於 0 和 3 之間。因此，羅爾定理對這種情況（對所有情況而言）都是正確的。這只是一個演示。