微積分/中值定理

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中值定理

如果 $f(x)$ 在閉區間 $[a,b]$ 上連續，並在開區間 $(a,b)$ 上可微，則存在一個數 $c\in (a,b)$ 使得

f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}

示例

這意味著什麼？像往常一樣，讓我們使用一個例子來理解這個概念。視覺化（或繪製）函式 $f(x)=x^{3}$ 。選擇一個區間（任何區間都可以），但為了簡單起見，選擇 [0,2]。畫一條從點 (0,0) 到 (2,8) 的直線。在點 $x=0$ 和 $x=2$ 之間存在一個數 $x=c$ ，其中 $f$ 在點 $c$ 處的導數等於你所畫直線的斜率。

解答

1：使用中值定理的定義

{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}

代入值。我們選擇的區間是 [0,2]。因此，我們有

{\frac {f(2)-f(0)}{2-0}}={\frac {8}{2}}=4

2：根據中值定理的定義，我們知道在該區間記憶體在一個點的斜率與該點相同。因此，讓我們求導數以找到這個點 $x=c$ 。

{\frac {dy}{dx}}=3x^{2}

現在，我們知道該點的斜率是 4。因此，該點處的導數 $c$ 是 4。因此， $4=3x^{2}$ 。4/3 的平方根就是該點。

示例 2： 在函式 $f(x)=\sin(x)$ 和區間 $[0,\pi ]$ 上，找到滿足均值定理的點。

解答

1：始終從定義開始

{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}

所以，

{\frac {\sin(\pi )-\sin(0)}{\pi -0}}=0

（請記住， $\sin(\pi )$ 和 $\sin(0)$ 都為 0。）

2：現在我們有了直線的斜率，我們必須找到具有相同斜率的點 $x=c$ 。現在我們必須求導數！

{\frac {d\sin(x)}{dx}}=\cos(x)=0

餘弦函式在 ${\frac {\pi }{2}}+k\pi$ 處為 0，其中 $k$ 是一個整數。請記住，我們受區間 $[0,\pi ]$ 的限制，因此 ${\frac {\pi }{2}}$ 是滿足均值定理的點 $c$ 。

微分

假設一個在開區間 $(a,b)$ 內可微分的函式 $y=f(x)$ ，其中包含 $x$ 。 $\Delta y={\frac {dy}{dx}}\cdot \Delta x$

" $x$ 的微分" 是 $\Delta x$ 。這是一種近似 $x$ 的變化，可以被認為是 $dx$ 的“等價”。對於 $y$ 也是如此。這意味著什麼？我們可以透過知道 $x$ 的變化和在非常接近的點處 $x$ 的變化率，來近似 $y$ 的變化。讓我們看一個例子。

例子：一位老師要求她的學生找出 $4.1^{2}$ 等於多少。學生們沒有計算器，懶得用手或腦子裡計算，想用微積分來解決。他們該如何近似這個值？

1：建立一個模擬過程的函式。他們在做什麼？他們取一個數字（稱為 $x$ ），然後平方得到一個新數字（稱為 $y$ ）。因此， $y=x^{2}$ 。寫一個小的表格，記錄 $x,y,\Delta x,\Delta y,{\frac {dy}{dx}}$ 的值。我們想要知道 $y$ 的真實值，但我們需要先知道 $y$ 的變化。