微積分/平均值定理

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平均值定理

如果 $f(x)$ 在閉區間 $[a,b]$ 上連續，在開區間 $(a,b)$ 上可微，則存在一個數 $c\in (a,b)$ 使得

f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}

例子

這意味著什麼？為了更好地理解這個概念，我們還是以一個例子來解釋。想象（或者畫出）函式 $f(x)=x^{3}$ 的影像。選擇一個區間（任意區間都可以），為了簡單起見，我們選擇 [0,2]。從點 (0,0) 到 (2,8) 畫一條直線。在點 $x=0$ 和 $x=2$ 之間存在一個點 $x=c$ ，在該點的 $f$ 導數等於你畫的那條直線的斜率。

解法

1: 使用平均值定理的定義

{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}

代入數值。我們選擇的區間是 [0,2]。因此，我們有

{\frac {f(2)-f(0)}{2-0}}={\frac {8}{2}}=4

2: 根據平均值定理的定義，我們知道在區間中某個地方存在一個點，該點的斜率與該點相同。因此，我們求導來找到這個點 $x=c$ 。

{\frac {dy}{dx}}=3x^{2}

現在，我們知道該點的斜率是 4。因此，在點 $c$ 處的導數是 4。因此， $4=3x^{2}$ 。 4/3 的平方根就是這個點。

示例 2： 找到滿足函式 $f(x)=\sin(x)$ 和區間 $[0,\pi ]$ 的平均值定理的點。

解法

1：總是從定義開始

{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}

所以，

{\frac {\sin(\pi )-\sin(0)}{\pi -0}}=0

（記住， $\sin(\pi )$ 和 $\sin(0)$ 都是 0。）

2：現在我們有了線的斜率，我們必須找到具有相同斜率的點 $x=c$ 。現在我們必須求導數！

{\frac {d\sin(x)}{dx}}=\cos(x)=0

餘弦函式在 ${\frac {\pi }{2}}+k\pi$ 處為 0，其中 $k$ 是一個整數。記住，我們受區間 $[0,\pi ]$ 的限制，所以 ${\frac {\pi }{2}}$ 是滿足平均值定理的點 $c$ 。

微分

假設一個函式 $y=f(x)$ 在包含 $x$ 的開區間 $(a,b)$ 內可微。 $\Delta y={\frac {dy}{dx}}\cdot \Delta x$

“ $x$ 的微分”是 $\Delta x$ 。這是一個對 $x$ 變化的近似值，可以認為等效於 $dx$ 。對於 $y$ 也是一樣。這是什麼意思呢？我們可以透過知道 $x$ 的變化以及 $x$ 在一個非常接近的點的變化來近似 $y$ 的變化。讓我們看一個例子。

例子：一位老師讓她的學生們算出 $4.1^{2}$ 等於多少。學生們沒有計算器，又懶得用手或腦子裡算，於是就想利用微積分來算。他們如何近似這個結果呢？

1: 建立一個反映計算過程的函式。他們在做什麼？他們取一個數字（稱之為 $x$ ），然後將其平方得到一個新數字（稱之為 $y$ ）。因此， $y=x^{2}$ 。寫一個小的表格。記錄 $x,y,\Delta x,\Delta y,{\frac {dy}{dx}}$ 的值。我們想要知道 $y$ 的確切值，但首先我們需要知道 $y$ 的變化。